精品解析：黑龙江省齐齐哈尔市龙江县育英中学2025-2026学年上学期10月月考九年级数学试题考试 （一元二次方程、二次函数、旋转）

第二次阶段测试卷 考试范围（一元二次方程、二次函数、旋转） 时间：90分钟 满分：120分 一、单选题（共30分） 1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念逐项分析即可中心对称图形：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形能与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形． 【详解】A.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B.是中心对称图形，故该选项符合题意； C.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D.不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选B 【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念是解题的关键． 2. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（   ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】将代入方程，得到，再利用一元二次方程根的定义得到，确定出m的值即可． 【详解】解：将代入， 得：， 解得：， ∵， ∴， ∴ 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．也考查了一元二次方程的定义． 3. 如图，六角形组合图旋转一定度数可完全重合，旋转的度数可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查图形的旋转，正多边形的性质，图中六角形组合图可以被经过中心的射线平分成6个全等的部分，因此旋转的度数为的倍数即可． 【详解】解：， 因此旋转的度数为的数即可． 观察选项可知，只有B选项中符合要求， 故选B． 4. 二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（ ） A. －4 B. 4 C. 5 D. －5 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线对称轴的定义以及抛物线图象来求该抛物线与x轴的两个交点的横坐标． 【详解】解：由图象可知对称轴为，与x轴的一个交点横坐标是5， ∵交点到对称轴的距离是3个单位， ∴另外一个交点的横坐标是﹣1， ∴. 故选：D. 【点睛】此题考查了抛物线与x轴交点，抛物线与x轴两个交点关于对称轴对称是解题关键． 5. 下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有且只有一个实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，根据根的判别式与根的个数之间的关系，进行判断即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根； 故选A． 6. 如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长是，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程的知识，应熟记长方形的面积公式．另外求得剩余的空地的长和宽是解决本题的关键．可设原正方形的边长为，则剩余的空地长为，宽为．根据长方形的面积公式方程可列出． 【详解】解：设原正方形的边长为，依题意有 ， 故选：C． 7. 下列二次函数中，其图象的顶点在轴上的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象顶点坐标的求法，常用方法是利用配方法求出顶点坐标，或者利用二次函数顶点坐标公式求顶点坐标．本题根据二次函数的性质分别求出各抛物线的顶点坐标，即可求解． 【详解】解：A．二次函数图象的顶点是，不在x轴上，故不符合题意； B．二次函数图象的顶点是，不在x轴上，故不符合题意； C．二次函数图象的顶点是，在x轴上，符合题意； D．二次函数图象的顶点是，不在x轴上，故不符合题意． 故选：C． 8. 如图，在中，， 点 O 为的中点，将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、含角的直角三角形的性质等知识，设与交于点D，求出，，，即可求出答案． 【详解】解：设与交于点D， ∵，点 O 为的中点， ∴， 将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得：， ∴， 即两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为， 故选：D． 9. 规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与x轴分别交于M、N两点（点M在点N的左侧），，线段MN与抛物线围成的封闭区域记作G（包括边界），若区域G内有5个整点，求a的取值范围．嘉嘉的结果是，淇淇的结果是，则（ ） A. 嘉嘉的结果正确 B. 淇淇的结果正确 C. 嘉嘉、淇淇结果合在一起才正确 D. 嘉嘉、淇淇结果合在一起也不正确 【答案】D 【解析】 【分析】先求出对称轴，再根据，求出M，N的坐标，可得到，从而得到顶点坐标为，再分两种情况讨论a的取值范围即可． 【详解】解：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵，点M在点N的左侧， ∴， ∴令，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴顶点坐标为， ∵， ∴线段上有3个整点， ∵区域G内有5个整点， 当时，， 即； 当时，， 即， 综上所述，a的取值范围为或， 即嘉嘉、淇淇结果合在一起也不正确． 故选：D 【点睛】本题考查了抛物线与c轴的交点，二次函数的性质，关键是根据二次函数的性质进行运算． 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论，正确的是（　　） ①； ②； ③若点，点是函数图象上的两点，则； ④． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质．观察图象可知，抛物线开口向下，故，对称轴在y轴右侧，故，交点在y轴正半轴，故，从而可判断①；根据对称轴和A点坐标为，可得出抛物线与x轴的另一交点坐标为，则当时，，从而可判断②；找到点的对称点为，利用增减性可判断③；对称轴为直线，从而，当时，，即，即，又由，可得，即可判断④． 【详解】解：∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴为直线， ∴2，即， ∵二次函数与y轴的交点与之间（不包括这两点）， ∴， ∴，故①正确； ∵二次函数的图象与x轴相交于点，对称轴为直线， ∴二次函数的图象与x轴相交于点，， ∴时，，故②正确； ∵抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴，故③不正确； ∵二次函数的图象与x轴交于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故④正确； 故选：B． 二、填空题（共15分） 11. 若点和关于原点对称，则__________． 【答案】-1 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反可得a、b的值，进而可得a+b的值． 【详解】解：∵点和关于原点对称， ∴a=2，b=-3， ∴a+b=-1． 故答案为：-1． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称的点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 12. 已知抛物线，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点，那么平移后的抛物线的表达式是______． 【答案】y=x2-2 【解析】 【分析】设所求的函数解析式为y=x2+h，然后将点A坐标代入求得k即可． 【详解】解：设所求的函数解析式为y=x2+h 将点A坐标代入得：2=22+h，解得h=-2 所以平移后的抛物线的表达式是y=x2-2． 故答案为y=x2-2． 【点睛】本题主要考查了二次函数的平移问题，上下平移不改变二次项系数及顶点的横坐标，只改变顶点的纵坐标，上加下减． 13. 设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根，一元二次方程根与系数的关系，由根与系数的关系可得，结合，推出，代入得到关于m的方程，解方程即可． 【详解】解：，是关于x的方程的两根， ， ， ， 将代入，得：， 解得， 故答案为：8． 14. 如图，在中，由绕点顺时针旋转得到，其中点与点、点与点是对应点，连接，且在同一条直线上，则的长为__________． 【答案】3 【解析】 【分析】先利用互余计算出∠BAC=30°，再根据含30度的直角三角形三边的关系得到AB=2BC=2，接着根据旋转的性质得A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°，于是可判断△CAA′为等腰三角形，所以∠CAA′=∠A′=30°，再利用三角形外角性质计算出∠B′CA=30°，可得B′A=B′C=1，然后利用AA′=AB′+A′B′进行计算． 【详解】解：∵∠ACB=90°，∠B=60°， ∴∠BAC=30°， ∴AB=2BC=2×1=2， ∵△ABC绕点C顺时针旋转得到△A′B′C′， ∴A′B′=AB=2，B′C=BC=1，A′C=AC，∠A′=∠BAC=30°，∠A′B′C=∠B=60°， ∴△CAA′为等腰三角形， ∴∠CAA′=∠A′=30°， ∵A、B′、A′在同一条直线上， ∴∠A′B′C=∠B′AC+∠B′CA， ∴∠B′CA=60°-30°=30°， ∴B′A=B′C=1， ∴AA′=AB′+A′B′=2+1=3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系． 15. 如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放_____个无盖圆柱形桶． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的实际应用，熟练掌握二次函数的图像和性质是解题的关键．先建立直角坐标系，求出函数解析式，根据二次函数的图像和性质即可得到答案． 【详解】解：先以所在直线为轴建立直角坐标系，二次函数的图像过，设抛物线的解析式为， ， ， 抛物线解析式为：， 当时，， 当时，， 桶高米，设可以摆放个桶 ， 解得， 故至少要摆个桶， 故答案为：． 三、解答题（共75分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． （1）利用因式分解法求解可得； （2）利用因式分解法求解可得． 【小问1详解】 解：， ， 则或， 解得； 【小问2详解】 解：． ， ， 则或， 解得． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根． 【答案】（1）且；（2）， 【解析】 【分析】（1）由Δ＞0，得到关于m的不等式，解之得到m的范围，根据一元二次方程的定义求得答案； （2）由（1）知m＝0，可得方程，利用因式分解法求解可得． 【详解】．解：（1）关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即． 又， ，即． 解得． 的取值范围是且． （2）在且的范围内，最大整数为． 此时，方程化为． 方程的根为，． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的定义及根的判别式，解题的关键是熟练掌握方程的根的情况与判别式的值之间的关系． 18. 如图，三个顶点的坐标分别是， （1）请画出向左平移6个单位后得到的，并写出的坐标； （2）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）在x轴上求一点P使周长最小（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 （1）如图△A1B1C1即为所求， （2）如图△A2B2C2即为所求 （3）如图所示，点P即为所求； 【解析】 【分析】（1）依据平移的方向和距离，即可得到△A1B1C1及的坐标； （2）依据中心对称，即可得到△A2B2C2及点的坐标； （3）依据轴对称的性质，做出点A关于x轴的对称点A′，连接A′C即可得点P． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了最短路线问题，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 19. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，直接写出函数的最大值和最小值． 【答案】（1）， （2）当时，的值最大，最大值为6，当时，的值最小，最小值为 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数的解析式，二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键． （1）把点，代入解析式，即可求解； （2）把解析式化为顶点式，可得当时，y的值最大，最大值为6． 【小问1详解】 解：函数的图象经过点，，将数据代入解析式可得： ， ； 【小问2详解】 解：由（1）得：函数解析式为， 抛物线开口向下，对称轴为直线，且当时，的值最大，最大值为6， ， 当时，的值最大，最大值为6， 当时，的值最小，最小值为． 20. 2024年“五一”假期期间，四面山景区特产店销售某种类特产，进价50元/件，售价为60元/件． （1）如果特产按原价销售每天可售出60件，经市场调查反映，特产每降价1元，每天可多售出10件，若特产供货充足，商家想要薄利多销，且每天获利630元，应降价多少元? （2）在（1）的条件下，每天的总利润为W，试求出特产降价多少元时，总利润W最大，最大利润是多少元? 【答案】（1）3元 （2）降价2元时，总利润W最大，最大利润是640元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的实际应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据利润单个利润数量列方程计算出x的值即可； （2）根据利润单个利润数量得到关于x的函数解析式，再配方求最值． 【小问1详解】 解：设降价x元， 则由题意得：， 整理得：， 解得：， ∵商家想要薄利多销， ∴应降价3元； 【小问2详解】 解：， ∵， ∴时，总利润W最大，最大值为640元， ∴特产降价2元时，总利润W最大，最大利润是640元． 21. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 【答案】（1）① ② （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握二次函数的性质． （1）①利用对称轴公式求得即可；②利用二次函数的性质判断即可； （2）由题意可知点在对称轴的左侧，点在对称轴的右侧，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，据此即可得到 ，解得 【小问1详解】 ①， ∴； ②∵抛物线中， ， ∴抛物线开口向上， ∵点点在抛物线上，对称轴为直线， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ∴； 【小问2详解】 由题意可知，点)在对称轴的左侧, 点在对称轴的右侧， ，都有， ∴点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离， ，解得 ， ∴的取值范围是 ． 22. （1）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为_______． （2）【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由． （3）【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，直接写出△BCD的面积（用含a的代数式表示）． 【答案】（1）【问题原型】32；（2）【初步探究】△BCD的面积为a2；（3）【简单应用】△BCD的面积为a2 【解析】 【分析】问题原型：如图1中，△ABC≌△BDE，就有DE=BC=8．进而由三角形的面积公式得出结论； 初步探究：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E，由垂直的性质就可以得出△ABC≌△BDE，就有DE=BC=a．进而由三角形的面积公式得出结论． 简单运用：如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E，由等腰三角形的性质可以得出BF=BC，由条件可以得出△AFB≌△BED就可以得出BF=DE，由三角形的面积公式就可以得出结论． 【详解】解：【问题原型】 如图1中， 如图1中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E． ∴∠BED=∠ACB=90°， ∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD， ∴AB=BD，∠ABD=90°． ∴∠ABC+∠DBE=90°． ∵∠A+∠ABC=90°． ∴∠A=∠DBE． 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（AAS） ∴BC=DE=8． ∵S△BCD=BC•DE ∴S△BCD=32， 故答案为：32 【初步探究】△BCD的面积为a2． 理由：如图2中，过点D作BC的垂线，与BC的延长线交于点E． ∴∠BED＝∠ACB＝90° ∵线段AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BE， ∴AB＝BD，∠ABD＝90°． ∴∠ABC+∠DBE＝90°． ∵∠A+∠ABC＝90°． ∴∠A＝∠DBE． 在△ABC和△BDE中， ， ∴△ABC≌△BDE（AAS） ∴BC＝DE＝a． ∵S△BCD＝BC•DE ∴S△BCD＝a2； 【简单应用】△BCD的面积为a2． 如图3中，过点A作AF⊥BC与F，过点D作DE⊥BC的延长线于点E， ∴∠AFB=∠E=90°，BF=BC=a． ∴∠FAB+∠ABF=90°． ∵∠ABD=90°， ∴∠ABF+∠DBE=90°， ∴∠FAB=∠EBD． ∵线段BD是由线段AB旋转得到的， ∴AB=BD． 在△AFB和△BED中， ， ∴△AFB≌△BED（AAS）， ∴BF=DE=a． ∵S△BCD=BC•DE， ∴S△BCD=•a•a=a2． ∴△BCD的面积为a2． 【点睛】本题考查了直角三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，三角形的面积公式的运用，解答时证明三角形全等是关键． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）①，；②存在，点P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的交点式求出函数表达式即可； （2）①用m和抛物线及一次函数的解析式表示出的长度，根据，列出方程，求出m，即可求出答案； ②分两种情况讨论：当时，当时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线交x轴于，两点， ∴抛物线的解析式可写为：； 【小问2详解】 解：①把代入得：， ∴直线与y轴交点为， 设直线与y轴交于点N，则， 把代入得：， 则点， 设直线的解析式为，则， 解得：， ∴直线的解析式为． 令， 解得， ∴， ∵，且轴， ∴， 设直线与y轴交于点N， ∵， ∴，且， ∴ 解得：，； ②存在，点P的坐标为或； ∵四边形是正方形， ∴，． ∵，且轴， ∴，． 分以下两种情况讨论： （i）当时，如图1，点F在的左侧， ∴ ∵， ∴， 解得，（舍去）， ∴， ∴； （ii）当时，如图2，点F在的右边， 同理得， 解得，（舍去）， 同理得； 故存在点P，使四边形为正方形，点P的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、正方形等综合知识点，难度较大，本题第（2）问中的第①小问通过面积关系列出关于m的方程是解题的关键，第②小问通过正方形的性质进行讨论即可解题，对于二次函数的综合题型要学会结合数形结合的方法解题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二次阶段测试卷 考试范围（一元二次方程、二次函数、旋转） 时间：90分钟 满分：120分 一、单选题（共30分） 1. 中秋节是中国的传统节日，有“团圆”、“丰收”的寓意．月饼是首选传统食品，不仅美味，而且设计多样．下列月饼图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若关于的一元二次方程的一个根为，则的值为（   ） A. B. C. D. 或 3. 如图，六角形组合图旋转一定度数可完全重合，旋转的度数可以是（ ） A. B. C. D. 4. 二次函数的部分图像如图所示，可知方程的所有解的积为（ ） A. －4 B. 4 C. 5 D. －5 5. 下列对一元二次方程根的情况的判断，正确的是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 有且只有一个实数根 6. 如图，公园原有一块正方形空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花，原空地一边减少了，另一边减少了，剩余空地面积为，设原正方形空地的边长是，根据题意，可列方程为（　　） A. B. C. D. 7. 下列二次函数中，其图象的顶点在轴上的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，， 点 O 为的中点，将 绕点O按逆时针方向旋转得到，点 A，B，C 的对应点分别为．当落在边上时，两个三角形重叠部分(阴影部分)的面积为（ ） A. B. 4 C. D. 9. 规定：在平面直角坐标系中，横坐标与纵坐标均为整数的点为整点．对于题目：抛物线与x轴分别交于M、N两点（点M在点N的左侧），，线段MN与抛物线围成的封闭区域记作G（包括边界），若区域G内有5个整点，求a的取值范围．嘉嘉的结果是，淇淇的结果是，则（ ） A. 嘉嘉的结果正确 B. 淇淇的结果正确 C. 嘉嘉、淇淇结果合在一起才正确 D. 嘉嘉、淇淇结果合在一起也不正确 10. 如图，二次函数的图象与x轴交于点，与y轴的交点B在与之间（不包括这两点），对称轴为直线．下列结论，正确的是（　　） ①； ②； ③若点，点是函数图象上的两点，则； ④． A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①③④ 二、填空题（共15分） 11. 若点和关于原点对称，则__________． 12. 已知抛物线，把该抛物线向上或向下平移，如果平移后的抛物线经过点，那么平移后的抛物线的表达式是______． 13. 设，是关于x的方程的两根，且，则m的值是______． 14. 如图，在中，由绕点顺时针旋转得到，其中点与点、点与点是对应点，连接，且在同一条直线上，则的长为__________． 15. 如图，在水平地面上的点A处有一网球发射器向空中发射网球，网球在地面上的落点为点B，网球的飞行路线是一段抛物线，小明在线段之间的点C的右侧竖直向上摆放若干个直径为米、高为米的无盖圆柱形桶（网球的体积和圆柱形桶的厚度忽略不计）已知米，米，网球飞行的最大高度米，若要使网球能落入桶内，则至少需摆放_____个无盖圆柱形桶． 三、解答题（共75分） 16. 解一元二次方程： （1）； （2）． 17. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当取满足条件的最大整数时，求方程的根． 18. 如图，三个顶点的坐标分别是， （1）请画出向左平移6个单位后得到的，并写出的坐标； （2）请画出关于原点对称的，并写出点的坐标； （3）在x轴上求一点P使周长最小（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知函数，为常数）的图象经过点，． （1）求，的值； （2）当时，直接写出函数的最大值和最小值． 20. 2024年“五一”假期期间，四面山景区特产店销售某种类特产，进价50元/件，售价为60元/件． （1）如果特产按原价销售每天可售出60件，经市场调查反映，特产每降价1元，每天可多售出10件，若特产供货充足，商家想要薄利多销，且每天获利630元，应降价多少元? （2）在（1）的条件下，每天的总利润为W，试求出特产降价多少元时，总利润W最大，最大利润是多少元? 21. 在平面直角坐标系中，点，点在抛物线 上．设抛物线的对称轴为直线． （1）当时， ①直接写出与满足的等量关系； ②比较，的大小，并说明理由； （2）已知点在该抛物线上，若对于，都有，求的取值范围． 22. （1）【问题原型】如图1，在等腰直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝8．将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连结CD，过点D作△BCD的BC边上的高DE，易证△ABC≌△BDE，从而得到△BCD的面积为_______． （2）【初步探究】如图2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD．用含a的代数式表示△BCD的面积并说明理由． （3）【简单应用】如图3，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，BC＝a，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到线段BD，连接CD，直接写出△BCD的面积（用含a的代数式表示）． 23. 在平面直角坐标系中，抛物线交x轴于，两点，交y轴于点C． （1）求抛物线的解析式． （2）如图，直线与抛物线交于A，D两点，与直线交于点E．若是线段上（不包括点A，B）的动点，过点M作x轴的垂线，交抛物线于点F，交直线AD于点G，交直线于点H． ①连接，，，当点F在直线上方的抛物线上，且时，求m的值． ②在平面内是否存在点P，使四边形为正方形?若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $