精品解析：河南郑州市金水外国语学校2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

2026-2027学年上期九年级数学随堂练习与课后作业题 分值：120分 时间：100分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义．根据一元二次方程的定义（只含一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程），进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； B、有两个未知数，不是一元二次方程，故该选项不符合题意 ； C、∵，∴的次数不是2，不是一元二次方程，故该选项不符合题意； D、是一元二次方程，故该选项符合题意 ； 故选：D 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，5 C. 1，2，3，5 D. 2，3，4，6 【答案】D 【解析】 【分析】根据比例线段的概念，让最小的和最大的相乘，另外两个相乘，看它们的积是否相等即可得出答案． 【详解】解：A、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； B、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； C、，故此选项中四条线段不成比例，故本选项不符合题意； D、，故此选项中四条线段成比例，故本选项符合题意． 3. 五边形∽五边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和，相似多边形的性质． 根据相似五边形的对应角相等，且五边形内角和为，通过计算未知角即可得解． 【详解】解：∵五边形∽五边形， ∴． ∵五边形内角和为，， ∴， ∴． 故选：B． 4. 如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似多边形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，如果两个四边形的四条边对应成比例，且四个角对应相等，那么这两个四边形相似，据此求解即可． 【详解】解：设每个小正方形的边长为1， 则已知四边形的四条边分别为1，，2，． 选项中的四边形的四条边分别为，2，2，，两个四边形的四条边对应不成比例，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，，4，两个四边形的四条边不是对应成比例，故选项中的四边形与已知四边形不相似，不符合题意； 选项中的四边形的四条边分别为2，，4，，两个四边形的四条边对应成比例． 将已知四边形表示为四边形，将选项中的四边形表示为． 如图，连接、，则，． 在与中， ， ， ，，． 在与中， ， ， ，，， ，，，， 又， 四边形四边形． 故选：D． 5. 如果x、y都不为零，且，那么下列比例中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查比例的性质，比例的内项之积等于外项之积； 根据比例的性质进行判断即可． 【详解】解：A. 由可得，故不正确； B. 由可得，故正确； C. 由可得，故不正确； D. 由可得，故不正确； 故选：B． 6. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 40 D. 24 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质与判定，平行四边形的性质，勾股定理，中位线的性质．证明是菱形，可得是的中位线，根据勾股定理求得，根据菱形的性质求得周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，， ∴是菱形， ∴； ∵点分别为的中点， ∴是的中位线，， ∴， 由（1）可知，四边形是菱形， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴菱形的周长． 故选：B． 7. 已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】方程有两个实数根，说明方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，同时根据一元二次方程根的判别式非负列不等式求解，即可得到a的取值范围． 【详解】解：∵方程有两个实数根， ∴，， ∴的取值范围是且． 8. 如图，已知，点分别为的中点，连接、，，．则的长为（ ）． A. 7 B. 5 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】由直角三角形斜边上的中线长等于斜边的一半可得，进而由等腰三角形的性质可得，，再利用勾股定理解答即可求解． 【详解】解：，点是的中点，， ， 同理可得：， ， ∵点是中点， ，， ． 9. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或4 【答案】A 【解析】 【分析】用含时间的代数式准确表示和的长度，再根据三角形的面积公式列出一元二次方程，进行求解． 【详解】解：点从到运动时间为：，点从到运动时间为：， 设点P，Q运动的时间为， ∴, ∴, 解得：或（舍去）． 10. 如图1，在矩形中，是上一定点，点从点出发，沿，两边匀速运动，运动到点停止．设点运动的路程为，的长为．关于的函数关系图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（ ） A. B. 点坐标为 C. 的最小值为 D. 点的横坐标为 【答案】D 【解析】 【分析】连接，过点分别作，根据图象可得，，是直角三角形，且，则有，然后根据函数图象及三角函数可进行求解． 【详解】解：连接，过点分别作， 由图象可知：当时，，即当点与点重合时，， 当时，，即，此时点与点重合，则， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴， 由是上一定点，点是动点可知：当点在线段上运动时，最小值为时，此时点与点重合， ∴， ∵是第一段曲线的最低点， ∴点坐标为，故B错误； 当点在上运动时，最小值为时，此时点与点重合， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴的最小值为，故C错误； 在中，， ∴，故A错误； ∴点运动的总路程为， ∴点的横坐标为，故D正确． 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 方程的解是_________________． 【答案】 【解析】 【详解】解：， 开平方得：， 解得：． 12. 已知：，且，那么______． 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用设参法进行求解即可. 【详解】解：设，则， ∴， ∴， ∴. 13. 如图，已知篱笆总长为，现利用一面墙墙的最大可用长度为和篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为，则花圃的宽为__________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，读懂题意，正确列出方程是解题的关键． 设的长为，则为，然后根据花圃面积为列关于x的方程，求解即可． 【详解】解：设的长为，则， 根据题意得：， 解得：，， 当时，不符合题意舍去， ∴的长为． 故答案为：5． 14. 如图，ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论： ①；②；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM． 其中正确的是___．（填写序号） 【答案】①②④． 【解析】 【分析】证出OC= BC，由等腰三角形的性质得CN⊥BD，①正确；证出MN是△AOB的中位线，得MN∥AB，MN=AB，由直角三角形的性质得NP=CD，则MN=NP，②正确；周长四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形，③错误；由平行线的性质和等腰三角形的性质证出∠MND=∠PND，则ND平分∠PNM，④正确；即可得出结论． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB=CD，AB∥CD，BC=AD，OA=OC=AC， ∵AD= AC， ∴OC= BC， ∵N是OB的中点， ∴CN⊥BD，①正确； ∵M、N分别是OA、 OB的中点， ∴MN是△AOB的中位线，MN∥AB,MN=AB， ∴MN∥AB，MN=AB， ∵CN⊥BD， ∴CND=90°， ∵P是CD的中点， ∴NP= CD= PD= PC， ∴MN=NP，②正确； ∵MN∥AB， AB∥CD， ∴MN∥CD， 又∵NP= PC，MN=NP， ∴MN= РС， ∴四边形MNCP是平行四边形，无法证明四边形MNCP是菱形，③错误； ∵ MN∥CD， ∴∠PDN= ∠MND， ∵NP=PD， ∴∠PDN=∠PND， ∴∠MND=∠PND， ∴ND平分∠PNM，④正确； 正确的个数有3个， 故答案为：①②④． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质，三角形中位线定理，菱形的判定定理，熟记各知识点并应用解决问题是解题的关键． 15. 如图，在中，，平面上有一点P，，连接，取的中点，连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是_____________． 【答案】7 【解析】 【分析】取的中点，连接，由勾股定理得，由三角形中位线性质得，可得点在以为圆心，为半径的圆上，即可得当点三点依次共线时最长，利用直角三角形斜边上的中线的性质求出即可求解． 【详解】解：取的中点，连接，如图所示： ∵， ， 点为中点，点为中点， 为的中位线， ， 则点在以点为圆心，为半径的圆上， 如图，连接， ∵为直角三角形，为的中点， ， 当点三点依次共线时最长， ∴的最大值为． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解关于的一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，涉及公式法、因式分解法解一元二次方程等知识，熟练掌握一元二次方程的解法步骤是解决问题的关键． （1）先求出判别式，再由求根公式，利用公式法解一元二次方程即可得到答案； （2）利用提公因式法分解因式后解一元二次方程即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， ， ， 即，； 【小问2详解】 解：， ， 则， ， 则或， 解得，． 17. 如图，已知菱形的对角线、相交于点O，，比长2．求菱形的面积． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，，利用勾股定理求出，再结合菱形的面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴，，， ∵比长2， ∴， 由勾股定理得， ∴， ∴或（负值不符合题意，舍去）， ∴， ∴，， ∴菱形的面积． 18. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）若，满足，求实数的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由一元二次方程根的判别式结合题意得出，求解即可； （2）由一元二次方程根与系数的关系得出，，将变形为，代入计算即可得解． 【小问1详解】 解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，即， 解得：， ∴实数的取值范围． 【小问2详解】 解：由根与系数关系可得，， ∵， ∴， ∴， ∴， 上式可化为， 解得，， ∵实数的取值范围， ∴． 19. 已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． （1）求证：； （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）四边形的形状是正方形，理由见解析 【解析】 【分析】（1）证明四边形是平行四边形，得出，证出，即可得出； （2）先证明四边形为正方形，得到，即可得出结论. 【小问1详解】 证明：，， 四边形是平行四边形，， ， 四边形是菱形， ， ， 在和中， ， ； 【小问2详解】 解：四边形的形状是正方形，理由如下： ∵菱形，， ∴四边形为正方形， ∴， 由（1）知：四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， 又∵， ∴四边形是正方形. 20. 如图，上午，一轮船在点处接到警报，台风中心位于轮船正南方向100海里的点处，轮船以10海里/时的速度由西向东航行，台风中心以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属于台风影响区． （1）若轮船继续向东航行小时至，此时台风中心位于，用含的代数式表示______； （2）若轮船不改变航行速度和方向，求轮船开始受台风影响的时刻． 【答案】（1） （2）轮船开始受台风影响的时刻为 【解析】 【分析】（1）建立坐标系，得到相应点的坐标，再利用勾股定理列式即可得到结果； （2）令，得到方程，解之，根据开始受台风影响进行取值即可． 【小问1详解】 解：建立坐标系如下： 由题意可得：，， 小时后，，， ∴； 【小问2详解】 令， 解得，，（舍去）． 则， ∴轮船开始受台风影响的时刻为． 【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形，一元二次方程的实际应用，解题关键是理解题意，读懂开始受台风影响的意义． 21. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为 （2）售价应降低元 【解析】 【分析】（1）根据9月、11月销售量及月平均增长率相同的条件，列一元二次方程求解； （2）利用总利润等于单件利润乘以销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取对应解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为， ∵9月份销售量为500件，月平均增长率为， ∴11月份销售量为件， 可得方程， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：月平均增长率为； 【小问2详解】 解：设售价应降低元，则降价后每件利润为元， ∵原每天销售20件，售价每降低1元每天多售出2件， ∴降价后每天销售量为件， ∵每天获利1200元， ∴可得， 解得， ∵要尽量减少库存，即销售量尽可能大， ∴取较大值20， 答：售价应降低20元． 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 【答案】（1）不是“邻根方程” （2）或； （3）的最大值为16 【解析】 【分析】（1）先解方程，再结合新定义可得答案； （2）先解方程，再利用新定义建立方程，再解方程即可； （3）利用根与系数的关系表示出，进一步化简得，整体代入，通过配方可求出t最大值． 【小问1详解】 解：∵， ∴， 解得：，， ∵，不符合邻根方程的定义， ∴不是邻根方程； 【小问2详解】 解：∵关于x的方程是邻根方程， ∴解方程可得：， ∴， ∴， 故或； 【小问3详解】 解：∵关于x的方程（a、b是常数）是邻根方程，设两个根分别为、， ∴， 由根与系数的关系：， ∴， ∴， 设， ∴， ∴当时，， 答：代数式的最大值为16． 23. 如图，在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F． （1）如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是_________； （2）如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； （3）若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】（1） （2），证明如下： 如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即． （3）的长为或20 【解析】 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到， ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得， 即， 解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得：． ∴． 综上所述，的长为或20． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年上期九年级数学随堂练习与课后作业题 分值：120分 时间：100分钟 一、选择题（共10小题，每小题3分） 1. 下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组中的四条线段成比例的是（ ） A. 1，2，3，4 B. 2，3，4，5 C. 1，2，3，5 D. 2，3，4，6 3. 五边形∽五边形，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，四边形的顶点在方格纸的格点上，下列方格纸中的四边形与已知四边形相似的是（ ） A. B. C. D. 5. 如果x、y都不为零，且，那么下列比例中，正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，对角线，相交于点O，．若点E，F分别为，的中点，连接，，，则四边形的周长为（ ） A. B. C. 40 D. 24 7. 已知关于x的方程有两个实数根，则a的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 8. 如图，已知，点分别为的中点，连接、，，．则的长为（ ）． A. 7 B. 5 C. D. 6 9. 如图，在中，，，点P从点A开始沿边向点B以的速度运动，与此同时，点Q从点B开始沿边向点C以的速度运动．当点Q到达点C时，点P停止运动．如果P，Q分别从A，B同时出发，经过t秒的面积等于，则t的值为（ ） A. 2 B. 3 C. 2或3 D. 2或4 10. 如图1，在矩形中，是上一定点，点从点出发，沿，两边匀速运动，运动到点停止．设点运动的路程为，的长为．关于的函数关系图象如图2所示，其中，分别是两段曲线的最低点．下列选项正确的是（ ） A. B. 点坐标为 C. 的最小值为 D. 点的横坐标为 二、填空题（共5小题，每小题3分） 11. 方程的解是_________________． 12. 已知：，且，那么______． 13. 如图，已知篱笆总长为，现利用一面墙墙的最大可用长度为和篱笆围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在上用其他材料做了宽为的两扇小门．若此时花圃的面积刚好为，则花圃的宽为__________． 14. 如图，ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，，M、N、P分别是OA、OB、CD的中点，下列结论： ①；②；③四边形MNCP是菱形；④ND平分∠PNM． 其中正确的是___．（填写序号） 15. 如图，在中，，平面上有一点P，，连接，取的中点，连接，在绕点的旋转过程中，则的最大值是_____________． 三、解答题（共8小题，满分75分） 16. 用适当的方法解关于的一元二次方程： （1）； （2）． 17. 如图，已知菱形的对角线、相交于点O，，比长2．求菱形的面积． 18. 已知，是一元二次方程的两个实数根． （1）求实数的取值范围． （2）若，满足，求实数的值． 19. 已知：如图，菱形的对角线、交于点，分别过点C、D作，，连接交于点． （1）求证：； （2）当时，判断四边形的形状，并说明理由． 20. 如图，上午，一轮船在点处接到警报，台风中心位于轮船正南方向100海里的点处，轮船以10海里/时的速度由西向东航行，台风中心以20海里/时的速度由南向北移动，距台风中心50海里（包括边界）的圆形区域都属于台风影响区． （1）若轮船继续向东航行小时至，此时台风中心位于，用含的代数式表示______； （2）若轮船不改变航行速度和方向，求轮船开始受台风影响的时刻． 21. 某网店为了弘扬航天精神，致敬航天人，特推出“神舟十八号”模型．9月份的销售量是500件，11月份的销售量是720件． （1）若该网店9月份到11月份销售量的月平均增长率都相同，求月平均增长率； （2）市场调查发现，该网店“神舟十八号”模型的进价为每件60元，若售价为每件100元，每天能销售20件，售价每降价1元，每天可多售出2件，为了推广宣传，商家决定降价促销，同时尽量减少库存，若使销售该模型每天获利1200元，则售价应降低多少元？ 22. 如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根比另一个根大1，那么称这样的方程为“邻根方程”，例如：一元二次方程的两个根是，，则方程是“邻根方程”． （1）判断方程是否是“邻根方程”，并说明理由； （2）已知关于的方程（是常数）是“邻根方程”，求的值； （3）若关于的方程（，是常数，且）是“邻根方程”，试求出代数式的最大值． 23. 如图，在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F． （1）如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是_________； （2）如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； （3）若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $