安徽省六安第一中学2026-2027学年高三上学期周末检测数学试卷（三）

六安一中2027届高三年级第一学期周末检测 数学试卷（三） 时间：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设全集，集合，则图中阴影部分表示的集合为（    ） A． B． C． D． 2．函数的单调递增区间是（ ） A． B． C． D． 3．如图是函数的导函数的图象，则下列说法错误的是（    ）  A．在处取极大值 B． C．在上存在最小值 D．在上至多有3个零点 4．已知函数在区间 内有极小值，则实数的取值范围是（　 ） A． B． C． D． 5．已知点P在曲线上，为曲线在点P处的切线的倾斜角，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知函数，若，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 7．设函数，若，则的最小值为（     ） A． B． C． D．1 8．是定义在上的非负可导函数，且满足．对任意正数，若则必有（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数，双曲余弦函数，双曲正切函数．则（    ） A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是减函数 D． 10．设 ,则下列结论正确的是（ ） A． B． C． D． 11．已知函数，其导函数为，则（ ） A．当时，有且只有1个零点 B．若，则 C．若恰有2个零点，，则 D．若恰有3个极值点，，，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知函数，则的极小值点为__________. 13．已知函数，若使得，则实数a的取值范围为________． 14．已知正实数 满足，则 __________. 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知函数． （1）求函数在上的最大值和最小值； （2）过点作曲线的切线，求此切线的方程． 16．（本小题满分15分） 已知函数． （1）讨论的单调性； （2）证明：当时，． 17．（本小题满分15分） 已知函数. （1）判断的奇偶性； （2）若，求证：． 18．（本小题满分17分） 设函数. （1）若，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）证明：（，）. 19．（本小题满分17分） 已知函数，． （1）若有两个极值点a，b. (i)求的取值范围； (ii)证明：； （2）若，关于x的方程在上有两个不同的实数根，，证明：． 六安一中2027届高三年级第一学期周末检测 数学试卷（三）参考答案 1. C. 2.D. 3.D. 4.B. 5.A. 6.B. 7.C. 8.A. 5. 解:．设，则， ，，∵，∴． 6.解:函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，故为奇函数， 对求导得， 由基本不等式得，当且仅当时取等号， 又，因此，故在上为单调递增函数，因为等价于， 由奇函数性质得， 因为在上为单调递增函数，所以，所以，所以实数的取值范围是. 7. 解:由题意可知：的定义域为，令解得；令解得；则当时，，故，所以；时，，故，所以；故， 则，当且仅当时，等号成立，所以的最小值为. 8. 解：令，，所以在上单调递减,所以，即①，又②，①②两式相乘得：所以. 9.AD. 10.ACD. 11.ACD. 10.解： 对于 A ,易知当时，所以， 所以 . 对于B ,由，得，故， ，B错误. 对于 C ,设 ,则 , ,所以 在 上单调递增,所以 ,即 ,所以 . 对于 D ,设 ，则 ，所以 在 上单调递增，由，得，即 ，所以 . 11.解:因为，，所以， 对于A，当时，，.设，，则，. 当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以（当且仅当时取“”）.所以的零点只有一个； 对于B，当时，，.则，. 当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，又，但，故要，未必要； 对于C，由，可得，. 设，.则，. 当时，；当时，.所以在上单调递减，在上单调递增，又，所以.所以，. 方程有两个零点，等价于，有两个解，设为，，且.即有（接下来由对数均值不等式可快速判断C正确）， 要证明，即证明，因为，即证明，即,令，因为，所以在单调递增，所以，即，所以； 对于D，因为有三个极值点，所以或者，且有两个零点， 设， 要证，即证，，令， ，当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减，， 当，，当，，故当时，有两个零点. 设，要证，即证，当时，，显然成立； 当时，，因为，所以， 两边同取对数得（接下来由对数均值不等式可快速判断D正确）， 令，则，，极小值在. 要证，即证，且， 因为在单调递增，只需证， 令， ，所以在单调递减， 又因为，所以时，，即成立， 所以，从而. 12. 【答案】（或1）. 13.【答案】. 解:若使得，则， ，时，，则在上单调递增，，又在单调递增，所以， ，解得，则实数a的取值范围为． 14.【答案】. 解:方 法一: 又 (切线不等式)，则 ,则 . 方法二: 令 ,则 ,则 在 上单调递增,在 上单调递减 所以 ; 令 ,则 在 上单调递减,在 上单调递增 所以 ，所以 . 15. 解：（1），， 令，解得：或，令，解得：， 故在单调递增，在单调递减，而，，， 的最小值是，的最大值是. ..............6分 （2），设切点坐标为，则切线方程为， ∵切线过点，∴， 化简得，∴或．∴切线的方程为或． .............13分 16.（1）解：因为，定义域为，所以， 当时，由于，则，故恒成立，所以在上单调递减； 当时，令，解得， 当时，，则在上单调递减； 当时，，则在上单调递增； 综上：当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. .............7分 （2）证明：由（1）得，， 要证，即证，即证恒成立， 令，则， 令，则；令，则； 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以，则恒成立， 所以当时，恒成立，证毕. ..............15分 17.（1）解:, 当时，定义域为，当时，定义域为，均关于原点对称， 且， 故为偶函数. ..........5分 （2）证明：当时，为偶函数， 要证，只需要证，当时，， 只需证明时，，即证， ..........10分 只需证，即证， 令在单调递增， 故，所以，得证. ..........15分 18. （1）解：，恒成立，即在上恒成立， 只需时，. 设，则，解得. 当时，，时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 所以，所以的取值范围为. ..............7分 （2）证明：由（1）知：当时，对任意成立，当且仅当时取等号. 对任意且，令，因，所以等号取不到， 故：两边同除以得： ..............10分 进行第一次放缩，对从到求和： ..............12分 进行第二次放缩，当时，，故， ..............14分 因此：代入求和式得： 综上可得： ..............17分 19.（1）(i)解：由题意得，． 因为有2个极值点a，b，则有两个正根a，b． 则，解得．即的取值范围为. ..............4分 (ii)证明：由(i)得 ． 设，，则．因为，所以， 则，所以在区间上单调递增．即， 所以． ..............9分 （2）证明：设， 当时，，，则在上单调递减； 当时，，，则在上单调递增． 因为方程在上有2个不同的根，， 又时，，如图所示： 所以，． 又在处的切线方程为， 设，． 当时，，所以在区间上单调递增， 则．即当时，． 设与的交点的横坐标为，则，，所以且． 过点和的直线方程为， 设，，， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减， 又时，，时，， 所以.即当时，. 设与的交点的横坐标为， 则，， 所以且， 所以． 即成立． ..............17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $