安徽省六安第一中学2026-2027学年高三上学期周末检测数学试卷（二）

六安一中2027届高三年级第一学期周末检测 数学试卷（二） 时间：120分钟 满分:150分 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知函数，则（     ） A． B． C． D． 2．函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 3．已知，则是的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要 4．已知函数在单调递减，则实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．已知，函数在区间上不单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．已知，，则（     ） A． B． C． D． 7．曲线的两条过坐标原点的切线与直线围成的三角形面积为（     ） A． B． C． D． 8．设定义在上的可导函数的导函数为，且满足，，若不等式有且只有一个整数解，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分． 9．下列求导运算正确的是（     ） A． B． C． D． 10．已知实数满足，则函数的图象可能为（    ） A． B．C． D． 11．在平面直角坐标系中，已知直线与函数的图象交于点，与轴交于点，其中，则（     ） A．为的极大值点 B． C． D．设直线的斜率为，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知曲线在点处的切线与曲线也相切.则______． 13．函数的最小值______． 14．若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（本小题满分13分） 已知三次函数，． （1）若在处取得极小值，求，； （2）若，的图象与轴有两个不同的交点，求的取值范围． . 16．（本小题满分15分） 已知函数 （1）判断是否为周期函数，并说明理由； （2）求的最大值和最小值． 17．（本小题满分15分） 已知函数. （1）若在，处导数相等，证明：； （2）在（1）的条件下，证明：． 18．（本小题满分17分） 已知函数，. （1）讨论函数在区间上的最大值； （2）当时，不等式恒成立，求实数t的取值范围. ． 19．（本小题满分17分） 对于函数，和，，设，若，，且，都有成立，则称是的“从属函数”． （1）若，是的“从属函数”，且是偶函数，求证：也是偶函数； （2）设，，，求证：是的“从属函数”； （3）设是的“从属函数”，且在区间上存在两个零点，，求证：． 六安一中2027届高三年级第一学期周末检测 数学试卷（一）参考答案 1．A 2．A 3．A 4．D 5．D 6．C 7．B【详解】设，则有，则， 当时，设切点为， ，所以切线方程为， 因为切线过原点，则有，解得，所以切线方程为，即， 当时，设切点为， ，所以切线方程为， 因为切线过原点，则有，解得，所以切线方程为，即，将代入到，则其交点为，将代入到，则其交点为， 则有，所在的直线的方程为，又两切线的交点为，易得点到直线的距离，则，即两条切线与直线围成的三角形面积为. 8．C 【详解】由已知得，即，令，其中为常数， 又，代入可得，故， ，解得，，解得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 作出函数和的图象，由图可知3是唯一的整数解， 故，解得. 9．AD 10．AC 【详解】令，，，解得， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 又，， 所以在和上各存在一个零点，即或， ，当时，在上单调递减，故A正确； 当时，幂函数的图象是下凸的，即增长速度越来越快，故C正确. 11. ACD 【详解】对于A，由题意得，由， 函数在上递减，在上递增，且当时，. 所以当时，，故；当时，，故； 由此是的极大值点，故A正确；对于B，令，则， 所以在上单调递增，由题意得， 由不等式，取，得，所以，由此， 又单调递增，所以，则，故B错误；对于C，由题意，， 要证，只需证，等价于，由，得， 所以只需证，由于，则成立，故C正确； 对于D，直线的斜率， 要证，等价于，等价于，因为，所以， 由于，由B已证，即，且， 又，所以，所以，故D正确. 12. 1 13. 14.． 【详解】由可得当时，， 即， 令，易知恒成立，即在R上单调递增， 由可得； 故，可得，即， 又是单调递增函数，故可得，令，则， 当时，，此时在上单调递增； 当时，，此时在上单调递减， 故，可得．故答案为：． 15．(1)， (2) 【详解】（1）由题意得，依题意，解得 ，......4分 此时，当或时，，当时， 所以在单调递减，在单调递增，所以在处取得极小值，符合题意； ......7分 （2）若，依题意，方程有两个根， 令，则方程有两个不同的正根，则， ......10分 解得，即的取值范围为. ......13分 16.【详解】（1）是周期函数， ......2分 理由如下： 由三角函数周期性知：，， 因此： ， 即是的一个周期，故是周期函数； ......7分 （2）由（1）可知求在上的最值即可. 对求导得： ， ......9分 令，得​或， 在一个周期内，当时，， 当时，，当时，， 故在，单调递增，在单调递减， ......13分 又，，，， 所以的最大值为​​​，最小值为； ......15分 17.【详解】(1),则, ......2分 因为在,处导数相等, 所以,即, 化简得:; ......7分 (2)由(1)得, 结合基本不等式得, 则,解得, ......9分 则, ......11分 设,则,, 故在上单调递增,所以, 所以; ......15分 18．(1)答案见解析. (2). 【详解】（1）由题意可得函数的定义域为. ， 令，得. 所以当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减. ......4分 当，即时，函数在区间上单调递增， 故函数的最大值为. 当，即时，函数在区间上单调递增，在上单调递减， 故函数的最大值为. 综上，当时，函数在区间上的最大值为； 当时，函数在区间上的最大值为. ......8分 （2）当时，不等式恒成立，即，也就是恒成立. 令，则 ......10分 ， 令，，在上单调递减， 又，，故在上有唯一零点， 不妨设该零点为，则， 则当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减. 故，又， 所以，，所以. 故，解得，故实数t的取值范围为. ......17分 另解： 当，不等式恒成立，即， 也就是恒成立. 令，则，则. ，故当时，，单调递增， 当时，，单调递减，故， 故，解得，故实数t的取值范围为. 19．(1)因为是偶函数，对于任意，都有， 因为是的“从属函数”，对于任意且，都有， 令，（其中），代入上式得， 因为，所以，而，故必有， 即对任意非零成立，当时，等式显然成立， 所以也是偶函数. ......3分 (2)方法一：对于任意且， ，， 因为，所以，同理， 因此，所以， 故，即成立， 所以是的“从属函数”。 ......9分 (3)因为是的“从属函数”， 对于任意且，都有， 已知是的两个零点，即，， 所以，故，即， ......11分 化简得，即， 令（且），则， 不妨设，令，则，且， 所以，即，解得， 要证明，需证，即， 因为，所以，得，即， 令，求导， 设，则， 所以在上单调递增，且， 当时，，则，在上单调递减，而， 所以时，恒成立，即成立，故， 所以，得证. ......17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $