精品解析：陕西西安高新第一中学2026-2027学年高一上学期10月月考数学试卷

高一数学 （满分120分，90分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求，再求补集可得答案. 【详解】集合， 则. 故选：A. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词的否定，“改量词，否结论”即可解决. 【详解】命题“，”的否定是“，”. 3. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】，，所以， 当，，当且仅当，即时取等号，所以， 则，， 选项A，能推出，不能推出，故是它的一个充分不必要条件； 选项B是它的充分必要条件，选项C、D，是既不充分也不必要条件. 4. 奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，所以， 又乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，即，，故，， 将，代入得，即，故， 又， 即，故，即， 因为，，所以，又，，故. 5. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】根据题中函数解析式, 当时,, 所以当时,是周期为2的函数, 所以. 6. 已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用元素与集合的关系求解. 【详解】因为， 所以， 解得． 故选：D． 7. 已知函数，，当时，，的值分别为（ ） A. 1，0 B. 0，0 C. 1，1 D. 0，1 【答案】A 【解析】 【分析】分x为有理数和无理数，利用 和的解析式求解. 【详解】解：当x为有理数时，，, , 当x为无理数时，，， ，， 故选：A 8. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分和两种情况去掉绝对值符号结合不等式的解法讨论可得. 【详解】当时，恒成立， 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当即时，不等式的解集为或， 又当时，关于的不等式恒成立，所以需满足即； 当时，，而恒成立，此情况无解， 综上，时，；时，， 所以实数的取值范围是. 故选：B. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（　　　　） A. 命题“，”是真命题 B. 集合，，则“”是“”的充分不必要条件 C. 集合与是同一个集合 D. 已知集合，若，则的值为 【答案】BD 【解析】 【详解】，所以，，故A错误； 若，则，；若，则或，故“”是“”的充分不必要条件，故B正确； ，，所以两个集合不相等，故C错误； 若，则或，解得或， 由，故不合题意，故，D正确. 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据定义域以及对应关系即可判断A，由基本不等式即可求解B，根据配凑法求解析式判断C，由抽象函数定义域的性质即可求解D. 【详解】由，解得，所以的定义域为， 由，解得，所以的定义域为， 又， 故函数与是相同的函数，故A正确； ， 当且仅当时取等号，方程无解，等号不成立，故B错误； 因为，所以，故C正确； 由，得，所以的定义域为，故D正确． 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若实数x、y、z满足，则 C. 若，，，则ab的最小值是9 D. 若，，，则的最小值是 【答案】BCD 【解析】 【分析】运用不等式的性质，结合基本不等式逐一判断即可. 【详解】A，，又，，则，，可得 B，，，， 当且仅当时，等号成立；又， ，可得：. C，，当且仅当时取等号，，解得或（舍），故. D，，，，当且仅当，即，时，等号成立，故D正确. 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 函数的定义域为___________. 【答案】 【解析】 【分析】由题可列出不等式组，解之即得. 【详解】要使函数有意义， 须满足， 解得且， 故函数的定义域为． 故答案为：． 13. 若函数的定义域为，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【详解】函数的定义域为，即恒成立， 则，解得. 所以的取值范围是. 14. 已知且，若恒成立，则实数的范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】依题意得，利用基本不等式“1”的代换求出的最小值，即可得解. 【详解】因为且，若恒成立，则， 又 ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以，即实数的取值范围是． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数k的取值范围； （2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用分式不等式的解法，解得集合，根据集合之间的关系，可列不等式，可得答案； （2）根据必要不充分条件，可得集合之间的关系，利用分类讨论，可列不等式，可得答案. 【小问1详解】 由，移项可得，通分并合并同类项可得，等价于，解得，则； 由，则，即，解得. 【小问2详解】 p是q的必要不充分条件等价于是A的真子集. ①当时，，解得，满足. ②当时，原问题等价于（不同时取等号） 解得. 综上，实数k的取值范围是. 16. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【小问1详解】 若为真命题，则对恒成立， 又， 故当时，， ，即． 【小问2详解】 若为假命题，由（1）知， 若为假命题，则，为真命题， 即对恒成立， ，都为假命题时，． 至少有一个是真命题时，或． 17. 某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. （1）据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? （2）为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 【答案】（1）元 （2）万件，元 【解析】 【分析】（1）由题意列出一元二次不等式，结合一元二次不等式解法进行求解即可； （2）利用基本不等式进行求解即可. 【小问1详解】 设每件定价为元，由题意可， 整理可得，解得， 要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为元； 【小问2详解】 依题意，当时， 有解， 等价于当时，有解， 由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立，则， 所以，当该商品明年的销售量至少应达到万件时， 才可能使明年的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为元 18. 设是定义在实数集上的函数，且对任意实数、满足恒成立． （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式有且仅有个整数解，求实数的取值范围． （3）若方程恰有两个实数根在内，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）令得到，令得到，令得到； （2）求出的两个根、，由题意可得，分别按照，讨论求解，求出二次不等式的解集，根据题意得到不等式中的整数解集，从而得到的范围，解得的范围； （3）求出，通过换元法求解，设，求出的范围，从而得到方程在内只有一个解，设，是方程的两根，令，．分别按照，，讨论求解，从而得到的取值范围． 【小问1详解】 因为是定义在实数集上的函数， 且对任意实数、满足恒成立， 令，得，所以． 令，得．由，得． 令，得， 即，则． 【小问2详解】 不等式可化为． 方程的根为，， ①当时，即当时，不等式的解集为，不满足题意； ②当时，即当时，原不等式的解集为． 不等式中的整数解集为， 所以，解得； ③当时，即当时，原不等式的解集为． 不等式中的整数解集为， 所以，解得． 所以实数的取值范围是. 【小问3详解】 因为，所以，． 令，则，则方程在内只有一个解， 并且时，，原方程可化为，即， 该方程有三个根，，，，不符合题意； 设，是方程的两根， 令，． ①当，由题意可得，解得，符合题意； ②当或时，有， 即，所以． 综上，或． 故的取值范围是． 19. 记关于的不等式的解集为． （1）设，，求； （2）设，，若，求的取值范围； （3）设，，，若，求的取值范围． 【答案】（1）或或 （2） （3）． 【解析】 【分析】（1）由得到，利用高次不等式求解的方法求解； （2）由得到对任意的恒成立，分别按照和讨论求解，结合二次函数的图像和性质得到，计算得解； （3）由得到，解出的范围，由得到，即，求出此方程的两个根为，，当时，分别按照，和讨论求解，从而得到的的取值范围． 【小问1详解】 ，， 因为，所以， 即， 则， 不等式等价于， 即，解得或或， 故解集为或或． 【小问2详解】 记关于的不等式的解集为． ，， 因为，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 当时，即当时，恒成立，满足题意， 当时，即当时，，解得， 综上，． 【小问3详解】 ，，， 由，得，，解得． 由，得，等价于， 方程的两个根为，． 先考虑． 当时，即，要， 需满足 解得． 若使，则． 当时，即，要， 需满足， 解得， 若使，则． ③当时，即，由不等式，解得， 由不等式，解得且， 满足，则符合题意． 综上所述，的取值范围是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一数学 （满分120分，90分钟） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题4分，共32分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 设集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. “，”的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 奶茶店有甲、乙、丙、丁4名店员，星期五卖出的奶茶的杯数分别为，，，（，，，均为正整数且互不相等）．已知甲、乙卖出的杯数和与丙、丁卖出的杯数和相同，乙比甲多卖出2杯，丙比丁少卖出8杯，则，，，的大小关系正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知集合，若，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数，，当时，，的值分别为（ ） A. 1，0 B. 0，0 C. 1，1 D. 0，1 8. 当时，关于的不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在下列四个命题中，正确的是（　　　　） A. 命题“，”是真命题 B. 集合，，则“”是“”的充分不必要条件 C. 集合与是同一个集合 D. 已知集合，若，则的值为 10. 下列说法正确的是（ ） A. 函数与是相同的函数 B. 函数的最小值为6 C. 若，则 D. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为 11. 下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若实数x、y、z满足，则 C. 若，，，则ab的最小值是9 D. 若，，，则的最小值是 三、填空题：本题共3小题，每小题4分，共12分． 12. 函数的定义域为___________. 13. 若函数的定义域为，则的取值范围是______． 14. 已知且，若恒成立，则实数的范围是________． 四、解答题：本题共5小题，共58分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，. （1）若，求实数k的取值范围； （2）已知命题，命题，若p是q的必要不充分条件，求实数k的取值范围. 16. 设命题 对，不等式恒成立；命题，使得不等式成立． （1）若为真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题，至少有一个是真命题，求实数的取值范围． 17. 某公司的商品原来每件售价为元，年销售万件. （1）据市场调查，若价格每提高元，销售量将相应减少件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最高为多少元? （2）为了扩大该商品的影响力，提高销售量，公司决定对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到每件元. 公司拟投入万元作为技术革新，投入万元作为设备升级，投入万元作为广告宣传.试问：当该商品改革后的销售量至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和? 并求出此时商品的每件定价. 18. 设是定义在实数集上的函数，且对任意实数、满足恒成立． （1）求函数的解析式； （2）若关于的不等式有且仅有个整数解，求实数的取值范围． （3）若方程恰有两个实数根在内，求实数的取值范围． 19. 记关于的不等式的解集为． （1）设，，求； （2）设，，若，求的取值范围； （3）设，，，若，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $