精品解析：河南驻马店市实验中学2026-2027学年九年级上学期第一次学情调研数学试卷

九年级（上）月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. （a、b为常数） 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的识别，形如（其中a、b、c为常数且）的方程叫作一元二次方程，由此逐项判断即可． 【详解】解：A．关于x的方程不是整式方程，不是一元二次方程，不符合题意； B．，含有两个未知数，不是一元二次方程，不符合题意； C．是一元二次方程，符合题意． D．（a、b为常数），当时，不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 2. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值是（    ） A. 1 B. 3 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，把代入方程得，再求解即可． 【详解】解：， ， 解得， 故选：C． 3. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程的综合应用，熟悉二次函数的图象与性质是解题的关键．通过观察表格中函数值的变化，当时函数值为负，时函数值为正，根据函数性质，所对应的方程的根在． 【详解】解：∵当时，， 当时，， ∴方程必有一个根满足，。 故选：C． 4. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查添加条件使三角形相似，根据相似三角形的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：在和中， ， ∴当时，；故选项 A 不符合题意； 当时，；故选项 B 不符合题意； 当时，；故选项 C 不符合题意； 当时，无法得到；故选项 D 符合题意； 故选：D． 5. 如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用矩形对角线互相平分且相等得出，结合判定为等边三角形，求出对角线长，再利用勾股定理求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形． ∴． ∴． ∴在中，． 6. 某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图)，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，利用平移和长方形的面积公式，列出一元二次方程即可． 【详解】解：设道路的宽为，由题意，得：； 故选C． 7. 关于一元二次方程（为常数）的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定根的情况 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程的判别式，得出，再根据平方的非负性，得出，即可得出答案． 【详解】解：∵一元二次方程（为常数）的判别式为：， 又∵， ∴， ∴， ∴一元二次方程（为常数）有两个不相等的实数根． 故选：A 【点睛】本题考查了一元二次方程的判别式，解本题的关键在熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的个数的关系．一元二次方程根的判别式与根的个数的关系：当时，方程有两个不等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． 8. 如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积，则S1、S2的大小关系是（ ） A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据黄金分割的定义得到PA2=PB•AB，再利用正方形和矩形的面积公式有S1=PA2，S2=PB•AB，即可得到S1=S2． 【详解】∵P是线段AB的黄金分割点，且PA＞PB， ∴PA2=PB•AB， 又∵S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长是AB，宽是PB的矩形的面积， ∴S1=PA2，S2=PB•AB， ∴S1=S2． 故选B． 【点睛】本题考查了黄金分割的定义：一个点把一条线段分成较长线段和较短线段，并且较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么就说这个点把这条线段黄金分割，这个点叫这条线段的黄金分割点． 9. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，对角线和交于点F，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质可得且，进而证得，利用相似比求出与的关系；结合的长求出的长；再利用角平分线和平行线的性质证得 为等腰三角形，即，从而得出答案． 【详解】解：四边形 是平行四边形 ， ， ，  ，  设，则，  ，  ，  又， ，解得，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  ． 10. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，再根据等边对等角可得，根据直角三角形两锐角互余求出，，故①正确；设，表示出，利用勾股定理求出，得到，再求出，得到，故③错误；求出，证明出，得到，求出，故②正确；再根据三角形的面积和矩形的面积列式求出判断出④正确． 【详解】解：∵，点G是中点， ∴， ∵， ∴， ∴，，故①正确； ∴是等边三角形， 设，则， 由勾股定理得，， ∵O为中点， ∴， ∴， ∴，故③错误； 在中，由勾股定理得，， ∵四边形是矩形， ∴， ∵ ∴ 又∵， ∴ ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，结论正确的是①②④． 故选：C． 【点睛】本题考查了矩形的性质、直角三角形斜边上的中线的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理，全等三角形的性质和判定等知识，设出，然后用a表示出相关的边是解题的关键． 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，根据一元二次方程的定义，常数项为0即，且有一个根为，因此可构造一个以和为根的一元二次方程。 【详解】解：设一元二次方程为， 由题意，常数项，故方程为， 由于有一个根为，代入方程得，即， 整理得，即， 取，则，因此方程为， 故答案为：． 12. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了成比例线段，写比例式的时候一定要注意顺序，再根据比例的基本性质进行求解． 根据a、b、c、d是成比例线段，得，再根据比例的基本性质，求出d的值即可． 【详解】解：∵a、b、c、d是成比例线段， ∴， ∵，， ∴ ∴． 故答案为：12． 13. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，利用一元二次方程的解的意义和根与系数的关系，将代数式变形后代入求值． 【详解】解：是方程 的根， ， 即 ， 由一元二次方程根与系数的关系得：， ． 故答案为：. 14. 如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 【答案】 【解析】 【分析】由菱形的对角线互相平分得到，，再由菱形的面积等于其对角线乘积的一半可得的长，最后根据直角三角形的性质可得答案． 【详解】解：∵菱形的对角线，相交于点O， ∴，， ∵菱形的面积为30， ∴， ∴， ∵， ∴． 15. 如图，在正方形中，为对角线上不与端点重合的一动点，作，交于点，已知．若是等腰三角形，则_________． 【答案】1或 【解析】 【分析】为等腰三角形有三种情况，即：，和，根据等腰三角形的性质讨论求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵， ∴， 所以，为等腰三角形有三种情况： ①当时，此时，则， ∴点与点重合，与已知矛盾， ∴此情况不成立； ②当时， ∵， ， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴, ∵，，， ∴，， ∴， 又， ∴， ∴； ③当时，此时， ∴，，， ∴为的中点， ∴, 综上，的值为1或． 三、简答题（共75分） 16. 用合适的方法解方程 （1）； （2）； （3）． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）直接运用因式分解法求解即可； （2）直接运用公式法求解即可； （3）直接运用因式分解法求解即可； 【小问1详解】 解：， ， ， ，， ，． 【小问2详解】 解：， ∵， ∴， ∴，． 【小问3详解】 解：， ， ， ， ，． 17. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 如图，即为所作； （2） 证明：由作图得 ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题主要考查作垂线和矩形的判定，平行四边形的性质，正确作出图形是解答本题的关键． （1）根据“过直线外一点作已知直线的垂线”进行作图即可； （2）根据证明，得，再根据平行四边形的性质可证，即可证明四边形是矩形 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 如图，每个小方格的边长为1个单位长度，和的顶点都在格点位置，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由． 【答案】这两个三角形相似，理由如下： 对： ​，，； 对： ​，​，． 计算三边的比值： ，，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】用勾股定理计算两个三角形各边的长度．将两个三角形的边按长度从小到大排序，计算对应边的比值．依据三边成比例的两个三角形相似的判定定理，判断两个三角形是否相似． 【详解】略 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 【答案】（1） 证明：∵， 则 ， ∴无论取何值，原方程总有两个不相等的实数根； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式与根的关系以及一元二次方程根与系数的关系． （1）根据一元二次方程根的判别式与根的关系即可求出答案； （2）根据一元二次方程的根与系数的关系以及配方法即可求出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ， 又， ， 整理得：， 解得：． 20. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为40，，求菱形的面积． 【答案】（1）证明：， ， 是对角线的垂直平分线， ， 在和中，， ， ， ， 四边形是平行四边形， 又， 平行四边形是菱形； （2）96 【解析】 【分析】（1）证明，得到，再由证出四边形是平行四边形，再由得到四边形是菱形． （2）由菱形的性质得到，再由勾股定理求出的长，然后由菱形面积计算公式得出答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 四边形是菱形，周长为40， ， ， ， ， ， ． 21. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 【答案】（1） （2）4条 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设第二，三季度生产量的平均增长率为，利用第三季度的生产量第一季度的生产量，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度，根据该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合在增加产能同时又要节省投入成本，即可得出应该再增加4条生产线． 【小问1详解】 解：设第二，三季度生产量的平均增长率为， 依题意得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， 答：第二，三季度生产量的平均增长率为． 【小问2详解】 解：设应该再增加条生产线，则每条生产线的最大产能为万个/季度， 依题意得：， 整理得：， 解得：， 又∵在增加产能同时又要节省投入成本， ∴． 答：应该再增加4条生产线． 22. 如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 【答案】或秒 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质．利用分类讨论思想解答是解题的关键． 分两种情况：当时，当时，即可求解． 【详解】解：设运动时间为t秒， 根据题意得：， ∴， 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 当时，， ∵，， ∴， 解得：； 综上所述，运动或秒后，与相似． 23. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 【答案】（1）②④； （2）证明：如图，连接、， 四边形是正方形， ，， ， ， ∴， ， 四边形是等角线四边形． （3）10或 【解析】 【分析】本题考查四边形的综合应用，主要考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，勾股定理，矩形的判定与性质，理解定义是解题关键． （1）根据“等角线四边形”的定义即可判断； （2）连接、，根据正方形的性质，证明，即可得证； （3）根据题意求出、、，根据题意，分两种情况：Ⅰ当点在的上方时，连接；Ⅱ当点在的下方时，连接，过点作，交的延长线于点，利用勾股定理及三角形的面积即可解答． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角线不一定相等，故①不符合题意； ②矩形的对角线相等，是”等角线四边形”，故②符合题意； ③菱形的对角线不一定相等，故③不符合题意； ④正方形的对角线相等，是”等角线四边形”，故④符合题意； 故答案为：②④； （2）略 （3）解：，，， ， 点为线段中点，点为线段的垂直平分线上异于E点的一动点， 是的垂直平分线， ， 根据题意，分两种情况： Ⅰ当点在的上方时，如图，连接， 四边形为等角线四边形， ， ， ． Ⅱ当点在的下方时，如图，连接，过点作，交的延长线于点， ， ，， 四边形是矩形， ，， 四边形为等角线四边形， ． ， ， ， 综上，这个等角线四边形的面积为10或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级（上）月考数学试卷 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 公元前5世纪，古希腊数学家毕达哥拉斯首次提出了关于一元二次方程的概念．下列关于x的方程中，是一元二次方程的为（ ） A. B. C. D. （a、b为常数） 2. 若关于x的一元二次方程有一个解为，则m的值是（    ） A. 1 B. 3 C. D. 4 3. 根据下列表格的对应值： 1 由此可判断方程必有一个根满足（ ） A. B. C. D. 4. 如图，点P是的边上一点，连结，以下条件中，不能判定的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线相交于点O，若，，则的长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 6. 某小区计划在一块长、宽的长方形空地上修建三条同样宽的道路(如图)，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为．设道路的宽为，则下面所列方程正确的是( ) A. B. C. D. 7. 关于一元二次方程（为常数）的根的情况，下列说法正确的是（　　） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 不能确定根的情况 8. 如图，P是线段AB的黄金分割点，且PA>PB，S1表示PA为一边的正方形的面积，S2表示长为AB、宽为PB的矩形面积，则S1、S2的大小关系是（ ） A. S1>S2 B. S1=S2 C. S1<S2 D. 无法确定 9. 如图，四边形是平行四边形，平分交于点E，对角线和交于点F，，若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. D. 10. 如图，在矩形中，为中点，过点且分别交于，交于，点是中点且，则下列结论正确的个数为（ ） ①；②；③；④． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每题3分，共15分） 11. 请写出一个常数项为0，有一个根为的一元二次方程：_______． 12. 若线段a、b、c、d是成比例线段，且，，，则d的值为______． 13. 已知方程：的两根为、，则代数式的值为_____． 14. 如图，菱形的面积为30，对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，则的长为_____________． 15. 如图，在正方形中，为对角线上不与端点重合的一动点，作，交于点，已知．若是等腰三角形，则_________． 三、简答题（共75分） 16. 用合适的方法解方程 （1）； （2）； （3）． 17. 如图，平行四边形中，点在上． （1）请用无刻度的直尺和圆规作于点．（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若，连接，求证：四边形是矩形． 18. 如图，每个小方格的边长为1个单位长度，和的顶点都在格点位置，试判断这两个三角形是否相似，并说明理由． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：无论取何值，方程总有两个不相等的实数根； （2）若是方程的两根，且，求的值． 20. 如图，在四边形中，，对角线的垂直平分线与边分别相交于点M、N． （1）求证：四边形是菱形； （2）若菱形的周长为40，，求菱形的面积． 21. 芯片目前是全球紧缺资源，某市政府通过招商引进“芯屏汽合、集终生智”等优势产业，发展新兴产业，某芯片公司引进了一条内存芯片生产线，开工第一季度生产200万个，第三季度生产288万个．试回答下列问题： （1）已知第二、三季度生产量的平均增长率相等，求第二、三季度生产量的平均增长率； （2）经调查发现，1条生产线最大产能是600万个/季度，若每增加1条生产线，每条生产线的最大产能将减少20万个/季度，现该公司要保证每季度生产内存芯片2600万个，在增加产能同时又要节省投入成本的条件下（生产线越多，投入成本越大），应该再增加几条生产线？ 22. 如图，在中，，，．点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，两点同时出发．问运动几秒后，与相似？ 23. 定义：我们把对角线相等的凸四边形叫做“等角线四边形”． 理解： （1）在已经学过的“①平行四边形；②矩形；③菱形；④正方形”中，一定是“等角线四边形”的是（填写序号）______； （2）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，且，连接，，求证：四边形ADFG是等角线四边形； 运用： （3）如图2，中，已知，，，点为线段中点，点D为线段AB的垂直平分线上异于E点的一动点，若以点，，，为顶点的四边形是等角线四边形，求该四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $