专题5.1 函数及其表示方法（高效培优讲义）数学沪教版2020必修第一册

专题5.1 函数及其表示方法 教学目标 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养． 3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养. 4.通过函数表示的图象法培养直观想象素养． 5．通过函数解析式的求法培养运算素养. 教学重难点 教学重点： ①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． ②掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法． 教学难点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 知识点01函数的概念 1、定义：一般地，设，是非空的 ，如果对于集合中的 按照某种确定的对应关系，在集合中都有 的数和它对应，那么就称：→为从集合A到集合的一个函数 2、对应关系：， 一般地，设是非空的 ，且对中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合上的一个函数；记作：， 其中叫做 ，其取值范围（数集）称为 该函数的 ； 对于自变量由法则所确定的所对应的值，称为函数在处的 ，记作； 所有函数值组成的集合称为这个函数的 ； 【即学即练】下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 知识点02 同一个函数 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练】下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 知识点03函数的表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 【即学即练】根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 知识点04 分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫 ． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【即学即练】已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 题型01函数关系的判断与求值 【典例1】下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 【变式1】下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【变式2】下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【变式4】已知，，则等于（    ） A．1 B．3 C．15 D．17 题型02同一函数 【典例1】下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 【变式2】下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式4】下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 判断同一函数的三个步骤和两个注意点 (1)判断同一函数的三个步骤 (2)两个注意点： ①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．　 题型03 根据函数值求自变量或参数 【典例1】已知函数，若，则实数的值为 ． 【变式1】已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【变式2】已知函数，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【变式3】已知，且，则 . 【变式4】已知函数，则 ；若，则 . 题型04 函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例1】函数的定义域为 ． 【变式1】函数的定义域为 ． 【变式2】函数的定义域为 ． 【变式3】函数的定义域为 ． 【变式4】函数的定义域是 求函数定义域的一般原则 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果是整式，那么函数的定义域是实数集. (2)如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合． (3)如果是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合． 题型05 函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例1】（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式1】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【变式3】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【变式4】已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 题型06 函数的值域 【典例1】函数的值域为 【变式1】函数，的值域为 . 【变式2】函数的值域是 ． 【变式3】函数的值域为 ． 【变式4】函数的值域为 ． 题型07 求函数的解析式（已知函数类型待定系数法） 【典例1】已知是二次函数，且，，则 ． 【变式1】已知一次函数满足，则 . 【变式2】已知为二次函数且，，则 ． 【变式3】已知是一次函数，且在上单调递增，，则 . 【变式4】已知二次函数，满足，.则 . 题型08 求函数的解析式（换元法） 【典例1】已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【变式1】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式3】已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【变式4】已知函数，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 题型09 求函数的解析式（消去法） 【典例1】已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【变式1】已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 【变式2】已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为 . 【变式3】已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【变式4】已知函数满足，则函数 ． 题型10 图象法表示函数 【典例1】某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（    ） A．       B．   C．   D．   【变式1】已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【变式2】某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带文具盒，于是开车去追，在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以下哪个图象表示随着时间变化两人之间距离的变化（    ） A． B． C． D． 【变式3】下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（   ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（4）（1）（3） D．（4）（1）（2） 【变式4】某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A． B． C． D． 题型11分段函数问题 【典例1】已知函数，若，则 ． 【变式1】已知函数且，则 ． 【变式2】已知函数，若，则x的可能取值为 . 【变式3】已知函数，则 . 【变式4】已知函数，则 . 1．函数的定义域为 ． 2．一次函数满足：，则的解析式可以是 ．（写出满足条件的一个解析式即可） 3．已知，则 . 4．已知的定义域为，则的定义域为 ． 5．若函数满足，则的解析式为 ． 6．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 7．设函数若，则实数 ． 8．若函数满足，则 ． 9．函数，则 . 10．定义为中的最小值，则的最大值为 . 11．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 12．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 13．设实数．已知，其中为二次函数，且当时，有最大值5．又的最小值为，且，求的解析式和实数的值． 14．分别求满足下列条件的函数的解析式： (1)已知是二次函数，且； (2)函数满足． 15．求函数的值域． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题5.1 函数及其表示方法 教学目标 1.通过学习函数的概念，培养数学抽象素养． 2．借助函数定义域的求解，培养数学运算素养． 3．借助f(x)与f(a)的关系，培养逻辑推理素养. 4.通过函数表示的图象法培养直观想象素养． 5．通过函数解析式的求法培养运算素养. 教学重难点 教学重点： ①了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域． ②掌握函数的三种表示方法：解析法、图象法、列表法． 教学难点：会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数 知识点01函数的概念 1、定义：一般地，设，是非空的实数集，如果对于集合中的任意一个数按照某种确定的对应关系，在集合中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：→为从集合A到集合的一个函数 2、对应关系：， 一般地，设是非空的实数集，且对中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合上的一个函数；记作：， 其中叫做自变量，其取值范围（数集）称为 该函数的定义域； 对于自变量由法则所确定的所对应的值，称为函数在处的函数值，记作； 所有函数值组成的集合称为这个函数的值域； 【即学即练】下列曲线中，不是函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数的定义逐项分析即可判断. 【详解】对于A，对于变量的每一个值，变量不是唯一的值与它对应，故y不是x的函数，符合题意； 对于B，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于C，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 对于D，对于变量的每一个值，变量都有唯一的值与它对应，故y是x的函数，不符合题意； 故选：A. 知识点02 同一个函数 只有当两个函数的定义域和对应关系都分别相同时,这两个函数才相等,即是同一个函数. 【即学即练】下列哪组中的两个函数是同一函数（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】根据函数相等的定义逐项判断即可. 【详解】对于A选项，函数的定义域为，函数的定义域为， A选项中的两个函数定义域不相同，故A选项中的两个函数不是同一个函数； 对于B选项，函数的定义域为，函数的定义域为， B选项中的两个函数的定义域不相同，故B选项中的两个函数不是同一个函数； 对于C选项，函数、的定义域为，且对应关系相同， 故C选项中的两个函数是同一函数； 对于D选项，函数的定义域为，函数的定义域为， D选项中两个函数的定义域不相同，故D选项中的两个函数不是同一函数. 故选：C. 知识点03函数的表示方法 1、解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 2、列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 3、图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系. 优点 缺点 联系 解析法 ①简明、全面的概括了变量之间的关系； ②可以通过解析式求出在定义域内任意自变量所对应的函数值； ③便于利用解析式研究函数的性质； ①并不是所有的函数都有解析式； ②不能直观地观察到函数的变化规律； 解析法、图象法、列表法各有各的优缺点，面对实际情境时，我们要根据不同的需要选择恰当的方法表示函数． 图象法 ①能直观、形象地表示自变量的变化情况及相适应的函数值的变化趋势； ②可以直接应用图象来研究函数的性质； ①并不是所有的函数都能画出图象； ②不能精确地求出某一自变量相应的函数值； 列表法 ①不需要计算就可以直接看出与自变量的值对应的函数值； ①不够全面，只能表示自变量取较少的有限值的对应关系； ②不能明显地展示出因变量随自变量变化的规律； 【即学即练】根据列表中的数据选择合适的模型，则（   ） 1 2 3 4 5 2 0 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】观察表格数据，检验选项中解析式即可得解. 【详解】A项：，A错误； B项：，B错误； C项：，C错误； D项： 满足表中的数据，D正确． 故选：D. 知识点04 分段函数 对于函数，若自变量在定义域内的不同范围取值时，函数的对应关系也不相同，则称函数叫分段函数． 注：(1)分段函数是一个函数，只是自变量在不同范围取值时，函数的对应关系不相同； （2）在书写时要指明各段函数自变量的取值范围； （3）分段函数的定义域是所以自变量取值区间的并集． 【即学即练】已知函数，则（    ） A． B．4 C． D．8 【答案】D 【分析】将自变量的值代入函数解析式，求值即可得到答案. 【详解】，所以， 故选：D. 题型01函数关系的判断与求值 【典例1】下列图形中，可以表示函数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据函数的定义判断即可. 【详解】作直线，，通过平移直线，只有B选项的图象满足：其图象和直线至多有一个交点，即只有B选项符合题意. 故选：B. 【变式1】下列关于，的关系式中，能表示是的函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据函数的定义依次判断各个选项. 【详解】对于A，，当时，得，即，不满足函数定义，故A错误； 对于B，，当时，得，即，不满足函数定义，故B错误； 对于C，即，满足函数的定义，故C正确； 对于D，，当时，得，即，不满足函数定义，故D错误. 故选：C. 【变式2】下列各图中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用函数的定义，对各个选项逐一分析判断，即可求出结果. 【详解】由函数的定义知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应， 由选项A，C和D的图象可知，每一个的取值，有且仅有一个值与之对应，所以选项A，C和D错误， 由选项B的图象知，存在的取值，一个的取值，有两个值与之对应，所以不能表示是的函数， 故选：B. 【变式3】已知函数，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】利用换元法求出函数的解析式，即可得解. 【详解】令，则， 则， 所以， 所以. 故选：D. 【变式4】已知，，则等于（    ） A．1 B．3 C．15 D．17 【答案】D 【分析】令，解得，代入运算即可. 【详解】令，解得， 所以. 故选：D. 题型02同一函数 【典例1】下列四组函数中，两个函数表示的是同一个函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】根据同一函数的概念逐项判断即可. 【详解】对于A，与的解析式不同，不是同一函数； 对于B，的定义域为， 的定义域为或，二者定义域不相同，不是同一函数； 对于C，的定义域为，而的定义域为，不是同一函数； 对于D，，二者定义域均为，解析式也相同，是同一函数． 故选：D 【变式1】下列各组函数中，表示同一个函数的是（    ） A．， B． C． D． 【答案】D 【分析】分别求出函数的定义域和对应关系，根据函数的概念判断是否为同一函数. 【详解】对于A，函数的定义域为，的定义域为 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为，的定义域为， 两个函数的定义域不同，不是同一个函数，故B错误； 对于C，函数与函数的对应关系不同，不是同一个函数，故C错误； 对于D，与函数定义域相同，对应关系也相同，是同一个函数，故D正确． 故选：D. 【变式2】下列函数中，与函数是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】定义域和对应关系均相同才是同一函数，从而对四个选项一一判断，得到答案. 【详解】对于A，，对应关系不同，与函数不是同一函数； 对于B，的定义域为，函数的定义域为， 定义域不同，所以与函数不是同一函数； 对于C，的定义域为，函数的定义域为， 定义域不同，所以与函数不是同一函数； 对于D，，与函数的定义域和对应关系都相同，所以它们是同一函数. 故选：D 【变式3】下列选项中表示同一函数的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】C 【分析】通过定义域和解析式都相同来判断是否是同一函数即可. 【详解】对于A．的定义域为，而定义域为R．故二者不是同一函数； 对于B．的定义域为R，的定义域为，故二者不是同一函数； 对于C．,的定义域以及对应关系、值域都相同，故二者为同一函数； 对于D．的值域为，的值域为R．故二者不是同一函数． 故选:C． 【变式4】下列四组函数中，同组的两个函数是相同函数的是（    ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】D 【分析】A选项，对应法则不同；BC选项，定义域不同，D选项，两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数. 【详解】A选项，，，两函数对应法则不同，故不是同一函数，A错误； B选项，令，解得，的定义域为， 的定义域为R，两函数定义域不同，不是同一函数，B错误； C选项，的定义域为，的定义域为， 两函数定义域不同，不是同一函数，C错误； D选项，，， 两函数定义域和对应法则均相同，为同一函数，D正确. 故选：D 判断同一函数的三个步骤和两个注意点 (1)判断同一函数的三个步骤 (2)两个注意点： ①在化简解析式时，必须是等价变形；②与用哪个字母表示无关．　 题型03 根据函数值求自变量或参数 【典例1】已知函数，若，则实数的值为 ． 【答案】 【分析】根据已知条件可得出关于、的方程组，进而可解得实数的值. 【详解】已知函数，若，则，解得. 故答案为：. 【变式1】已知函数，且，则（   ） A． B．3 C． D．17 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用赋值法代入计算得解. 【详解】函数，令，则，而， 所以. 故选：B 【变式2】已知函数，且，则实数的值等于（    ） A． B． C．2 D． 【答案】D 【分析】利用抽象函数定义域求法求解即可； 【详解】令，解得或由此解得， 故选：D 【变式3】已知，且，则 . 【答案】4 【分析】求出的解析式，再由求的值. 【详解】，所以， 由得. 故答案为：4 【变式4】已知函数，则 ；若，则 . 【答案】 4 0或1 【分析】先求，根据其大小与关系，选择对应解析式代值即可求得结果；分类讨论或，根据解析式即可求得参数. 【详解】；故； 若，则； 若，则，故或. 故答案为：4；0或1. 【点睛】本题考查分段函数的函数值求解，以及已知函数值求自变量，属基础题. 题型04 函数的定义域（具体函数的定义域） 【典例1】函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据对数以及分式的性质列不等式，即可求解. 【详解】的定义域满足，解得且， 故定义域为， 故答案为： 【变式1】函数的定义域为 ． 【答案】或． 【分析】根据偶次方根被开方数大于等于零，分母不为零，零次方底数非零即可求解. 【详解】 由题知，，即， 解得， 故函数的定义域为或． 故答案为：或． 【变式2】函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据函数特征得到不等式组，求出定义域. 【详解】由，解得，且． 所以的定义域为． 故答案为： 【变式3】函数的定义域为 ． 【答案】或 【分析】根据偶次根式的被开方数为非负数，列不等式求解． 【详解】由，即，解得或， 所以的定义域为或． 故答案为：或． 【变式4】函数的定义域是 【答案】 【分析】二次根式的被开方数非负，列不等式组求解即可 【详解】由， 得，解得， 所以的定义域为. 故答案为：. 求函数定义域的一般原则 求函数定义域时，要注意应用下列原则： (1)如果是整式，那么函数的定义域是实数集. (2)如果是分式，那么函数的定义域是使分母不等于零的实数的集合． (3)如果是偶次根式，那么函数的定义域是使根号内的式子不小于零的实数的集合． 题型05 函数的定义域（抽象函数的定义域） 【典例1】（1）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ； （2）若函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】（1）由的定义域可得到，进而求解即可得到的定义域； （2）设，先根据的定义域求得的定义域，进而即可求出的定义域． 【详解】（1）设． 因为的定义域为， 所以要使有意义，必须，解得， 所以的定义域为，即的定义域为． （2）设，考察函数． 因为的定义域为， 所以，得， 所以的定义域为． 设，要使有意义， 必须，解得． 故的定义域为． 故答案为：；． 【变式1】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质计算求解即可. 【详解】由题意知， ， 则函数的定义域为． 故答案为：． 【变式2】已知函数的定义域为，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据复合函数及抽象函数的定义域求法结合条件即得. 【详解】函数的定义域为，即，则， 所以函数的定义域为． 对于函数，需满足，解得， 即函数的定义域为． 故答案为：． 【变式3】已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据抽象函数定义域性质得出，再结合对数复合函数定义域求解. 【详解】函数的定义域是，所以，所以， 所以函数的定义域是， 则函数满足且且不是3， 则函数的定义域为. 故答案为：. 【变式4】已知函数的定义域为，函数的定义域是 ． 【答案】 【分析】根据抽象函数的定义域求解. 【详解】因为函数的定义域为， 所以，所以， 对于函数，有， 即函数的定义域为. 故答案为： 题型06 函数的值域 【典例1】函数的值域为 【答案】 【分析】根据换元法得到有关的函数，根据取值可得到值域. 【详解】令，则，，则在上是减函数， 所以， 所以，故的值域为， 故答案为：. 【变式1】函数，的值域为 . 【答案】 【分析】根据二次函数的知识求得正确答案. 【详解】二次函数的开口向上，对称轴为， 所以当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， 所以函数的值域为. 故答案为： 【变式2】函数的值域是 ． 【答案】 【分析】分离常数后，即可求解. 【详解】因为，所以， 故所求值域为． 故答案为：. 【变式3】函数的值域为 ． 【答案】且. 【分析】由题意得，其中且，由此即可得解. 【详解】，其中且， 所以， 所以且， 所以函数的值域为且. 故答案为：且.. 【变式4】函数的值域为 ． 【答案】 【分析】可以通过换元法转换为求二次函数在某区间上的值域即可求解. 【详解】令，因为，所以，则， 所以原函数可化为，其对称轴为， 所以函数在上单调递增，所以， 所以函数的值域为. 故答案为：. 题型07 求函数的解析式（已知函数类型待定系数法） 【典例1】已知是二次函数，且，，则 ． 【答案】 【分析】由题意设，通过待定系数法得出关于的方程组即可求解. 【详解】因为，是二次函数，所以设， 又因为， 所以， 所以，解得. 故答案为：. 【变式1】已知一次函数满足，则 . 【答案】 【分析】设，代入利用恒等式思想建立方程组，解之可得答案. 【详解】设，由， 即，即， 即，解得，所以. 故答案为：. 【变式2】已知为二次函数且，，则 ． 【答案】 【分析】根据条件设二次函数为，代入条件求解即可． 【详解】设， ， ， ． 又， . 故答案为： 【变式3】已知是一次函数，且在上单调递增，，则 . 【答案】 【分析】设出一次函数的表达式，利用待定系数法求解. 【详解】因为函数是一次函数，且在上单调递增， 所以，设， 因为，则， 故，解得， 故． 故答案为：. 【变式4】已知二次函数，满足，.则 . 【答案】 【分析】先根据，求出，进而根据对应系数相等即可求出结果. 【详解】因为，所以， 而， 又因为， 所以，解得， 因此的解析式为. 故答案为：. 题型08 求函数的解析式（换元法） 【典例1】已知函数满足，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法求解. 【详解】令，则，因为，所以， 则，故. 故选：B. 【变式1】若函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先配方，再利用整体法求函数的解析式即可. 【详解】由， 而， 所以． 故选：D． 【变式2】已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】令，则， 所以， 所以. 故选：A. 【变式3】已知，则函数的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用换元法令可得，代入解析式可得结果. 【详解】令，则，所以， 所以. 故选：D. 【变式4】已知函数，则函数的解析式为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用换元法计算可得. 【详解】设，则且，因为，可得， 所以函数. 故选：B. 题型09 求函数的解析式（消去法） 【典例1】已知定义在上的函数满足，则函数的解析式是 ． 【答案】 【分析】利用方程组法求解即可. 【详解】由，① 得，② 由得， 所以. 故答案为：. 【变式1】已知函数满足，则在区间内的最小值是 ． 【答案】 【分析】解方程组法求出的解析式，然后利用定义法判断其单调性，由单调性可得最值. 【详解】因为①，所以②， 由得，即． 设2，则，故在内单调递增，所以． 故答案为： 【变式2】已知函数的定义域是一切非零实数，且满足，则的表达式为 . 【答案】 【分析】用替换，联立解得. 【详解】由得， 联立两式解得. 故答案为：. 【变式3】已知函数的定义域为R，且满足，则的解析式是 ． 【答案】 【分析】根据给定条件，用换建立方程组求解. 【详解】由，得， 联立两式消去，得，解得， 所以的解析式是. 故答案为： 【变式4】已知函数满足，则函数 ． 【答案】 【分析】构造关于的方程组后可解得. 【详解】由题知用代换得到，， 与两式联立，消去， 解得． 故答案为：. 题型10 图象法表示函数 【典例1】某工厂近6年来生产某种产品的情况：前3年年产量的增长速度越来越快，后3年年产量保持不变．则可以描述该厂近6年这种产品的总产量c随时间t变化的图象是（    ） A．       B．   C．   D．   【答案】A 【分析】由题可知前三年年产量的增长速度越来越快，即的值逐渐增大，后三年年产量保持不变，即的值不变. 【详解】∵前3年年产量的增长速度越来越快，∴当时，总产量增长速度原来越快，图象上升的速度越来越快． 又后3年年产量的增长速度保持不变，∴当时，图象的上升速度不变，图象为直线型，且c随t的增大而增大． 故选：A． 【变式1】已知函数的对应关系如下表，函数的图象是如下图的曲线，其中，则（   ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【详解】由的图象与的对应法则表可知，所以． 【变式2】某同学坐公交车去上学，出发一段时间后他妈妈发现他忘记带文具盒，于是开车去追，在公交换乘时追上他，把文具盒交给他后便开车回家，忽略两人见面的时间，以下哪个图象表示随着时间变化两人之间距离的变化（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知条件进行分析，结合图象来确定正确答案. 【详解】设公交车行驶速度为，开车的速度为， 则该同学出门后到他妈妈发现他忘带文具盒这段时间两人之间的距离以的速度增大， 从妈妈出发到追上他这段时间两人之间的距离以的速度减小； 分别后两人之间的距离以的速度增大，C正确． 故选：C 【变式3】下列所给4个图象中，与所给3件事吻合最好的顺序为（   ） （1）我离开家不久，发现自己把作业本忘在家里了，于是立刻返回家里取了作业本再上学； （2）我骑着车一路以匀速行驶，只是在途中遇到一次交通堵塞，耽搁了一些时间； （3）我出发后，心情轻松，缓缓行进，后来为了赶时间开始加速. A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（4）（1）（3） D．（4）（1）（2） 【答案】D 【分析】根据每一个事件的意义，结合图象，即可判断. 【详解】（1）因为中途返回家中，所以离开家的距离先增大，后减小至0，中间保持一段时间，最后再增大，为图（4）， （2）开始匀速增加，中间不变，再增大，为图（1）， （3）开始增加的比较缓慢，后增加的速度比较快，为图（2）， 所以顺序为（4），（1），（2）， 故选：D 【变式4】某市一天内的气温（单位：℃）与时刻（单位：时）之间的关系如图所示，令表示时间段内的温差（即时间段内最高温度与最低温度的差），与之间的函数关系用下列图象表示，则下列图象最接近的是（    ）. A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据的图象确定的变化趋势，确定正确选项． 【详解】由题意，从0到4逐渐增大，从4到8不变，从8到12逐渐增大， 从12到20不变，从20到24又逐渐增大，从4到8不变， 是常数，该常数为2，只有D满足， 故选：D． 题型11分段函数问题 【典例1】已知函数，若，则 ． 【答案】0 【分析】根据求得的值，再代入求值即可. 【详解】因为，所以，解得，则， 所以. 故答案为：0. 【变式1】已知函数且，则 ． 【答案】2或 【分析】已知函数为分段函数，根据函数性质结合，分和两种情况讨论得出对应的值，并验证是否符合题意. 【详解】当时，，解得， 因为，故. 当时，，解得， 因为，故. 验证：当时，，符合题意； 当时，，符合题意. 故答案为：2或. 【变式2】已知函数，若，则x的可能取值为 . 【答案】1或 【分析】根据分段函数，进行分类讨论即可. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得； 综上，或． 故答案为：1或． 【变式3】已知函数，则 . 【答案】1 【分析】根据题意先求出，再求即可. 【详解】因为， 所以， 所以. 故答案为：1 【变式4】已知函数，则 . 【答案】 【分析】根据分段函数的性质和对数求值即可求解. 【详解】因为函数，且， 所以， 故答案为：. 1．函数的定义域为 ． 【答案】 【分析】根据题意得解出即可. 【详解】要使函数有意义， 则，即， 所以函数的定义域为：， 故答案为：. 2．一次函数满足：，则的解析式可以是 ．（写出满足条件的一个解析式即可） 【答案】（或） 【分析】利用待定系数法可求得函数解析式. 【详解】设， 则， 所以，解得或，即或． 故答案为：（或）. 3．已知，则 . 【答案】2 【分析】根据分段函数解析式求函数值即可. 【详解】因为， 所以, 故答案为：2 4．已知的定义域为，则的定义域为 ． 【答案】 【分析】由抽象函数的定义域求法，可得出关于的不等式组，由此可解得所求函数的定义域. 【详解】因为函数的定义域为， 所以对于函数，有， 解得， 故函数的定义域为． 故答案为： 5．若函数满足，则的解析式为 ． 【答案】（且） 【分析】利用换元法求解即可. 【详解】设，则， 由题意可知且，所以且， 将代入，得， 所以的解析式为（且）． 故答案为：（且）. 6．若函数的定义域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】 【分析】函数的定义域为，意味着根号下的二次函数的值恒大于等于；需要分和两种情况进行讨论. 【详解】由题意可知，对任意，恒成立． （ⅰ）当时，不恒成立，舍去； （ⅱ）当时，应满足，解得． 所以实数的取值范围为． 7．设函数若，则实数 ． 【答案】 【详解】由题意，函数即当，即时，令，解得；当，即或时，令，解得（舍去），故． 8．若函数满足，则 ． 【答案】2 【分析】分别令，，得到，，进而解方程组即可. 【详解】由， 令，得， 令，得， 两式联立，解得. 故答案为：2. 9．函数，则 . 【答案】 【分析】根据条件，利用指、对数的运算，即可求解. 【详解】因为， 所以 ,则， 故答案为：. 10．定义为中的最小值，则的最大值为 . 【答案】 【分析】根据给定条件，作出函数的图象，可得的图象及解析，再求出最大值． 【详解】令，在同一坐标系内作出函数，如图，    函数的图象如图中实线部分，由解得， 由解得，于是， 函数的图象的最高点为，而点， 所以当时，取得最大值. 故答案为： 11．下列从集合到集合的对应关系，其中是的函数的是（   ） A．，对应关系 B．，对应关系 C．，对应关系 D．，对应关系 【答案】B 【分析】根据函数的定义逐一判断即可. 【详解】对于A，因为，但是没有意义，故A错误； 对于B，因为对于任意一个实数，都有唯一确定的实数与其对应，符合函数的定义，故B正确； 对于C，显然，此时，有两个不同的实数与之对应，不满足唯一性，故C错误； 对于D，因为集合是自然数集，，但是，所以不是的函数，故D错误． 故选：B. 12．下列函数中，与函数是同一个函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据同一函数定义可知两函数定义域相同、化简后的解析式相同，逐个选项判断即可. 【详解】函数的定义域为，对应关系为 的定义域为，但对应关系不同，A错误； ，且定义域为，因为定义域与对应关系均相同，所以为同一函数，B正确； 的定义域为，C错误； 的定义域为，即或，D错误． 故选：B. 13．设实数．已知，其中为二次函数，且当时，有最大值5．又的最小值为，且，求的解析式和实数的值． 【答案】，的值为1 【分析】由题意可设，代入得，再利用一元二次函数的性质结合已知条件列式求解即可. 【详解】因为为二次函数，且当时，有最大值5， 所以设，其中， 则， 所以由题意可得， 因为，所以， 从而， 所以的解析式为，的值为1. 14．分别求满足下列条件的函数的解析式： (1)已知是二次函数，且； (2)函数满足． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，代入已知条件列出方程组，解方程组得出，得出方程为，代入验证成立. （2）根据得出，联立消去得出. 【详解】（1）设， 根据题意得 解得 则. 验证：，成立； ，成立； ，成立. 所以. （2）因为①， 所以②， ②①得，， 所以． 15．求函数的值域． 【答案】 【分析】方法1：利用分离常数的方法，结合二次函数的值域求解； 方法2：转化为方程有实数根．讨论和，利用判别式法求函数值域. 【详解】解法1：，因为， 所以，故． 解法2：由于，原函数转化为方程有实数根． 当时，，矛盾，方程无解； 当时，方程有实数根，则， 整理得，则． 综上所述，． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $