第13讲 函数及其表示方法（知识清单+4题型讲解练+强化训练）讲义-2025-2026学年高一数学考试满分全攻略同步备考系列（沪教版必修第一册）

第13讲 函数及其表示方法 知识清单 知识点01：函数的概念 1 知识点02：函数的表示方法 2 题型归纳 题型01 函数关系与函数值 2 题型02 函数的定义域 3 题型03 函数的值域 4 题型04 函数的表示方法 4 强化训练 6 知识点01函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 知识点02 函数的表示方法 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 题型01 函数关系与函数值 【例1-1】（24-25高一上·上海·月考）若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例1-2】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【例1-3】（23-24高一上·上海虹口·期末）若表示不大于的最大整数，比如，则 ． 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 【变式1-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）函数，，其中，则 . 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）已知函数，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则 ． 题型02 函数的定义域 【例2-1】（25-26高一上·上海·期中）函数的定义域是 . 【例2-2】（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【例2-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【例2-4】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【变式2-3】已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为 .（请注明函数的定义域） 题型03 函数的值域 【例3-1】（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【例3-2】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 【例3-3】（25-26高一上·上海·阶段练习）已知正实数满足，，则的取值范围是 . 【变式3-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 【变式3-2】函数的值域为 . 【变式3-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【变式3-4】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围是 ． 题型04 函数的表示方法 【例4-1】（22-23高一上·上海闵行·期末）存在函数，满足对任意都有（    ） A． B． C． D． 【例4-2】（25-26高一上·上海·开学考试）下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【例4-3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知时，；为无理数时，；我们知道函数表示法有三种：①列表法；②图像法；③解析法，那么该函数不能用 表示． 【变式4-1】（23-24高一上·上海·期中）如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【变式4-2】（22-23高一下·上海杨浦·开学考试）已知等腰三角形的周长为1，把该三角形腰长表示为底边长的函数，则该函数为 .（要求：写出解析式和自变量的取值范围） 【变式4-3】（2023高一上·上海·专题练习）某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下： ①建1米新墙的费用为a元； ②修1米旧墙的费用为元； ③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元； 问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x). 一、单选题 1．（25-26高一上·上海·期中）下列选项中，是的函数的是（    ） A． B． C．   D． 1 2 1 3 1 2 3 4 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高一上·上海青浦·开学考试）当x分别取值 ，1，2.…， 2006， 2007， 2008时， 计算代数式 的值.将所得的结果相加，其和等于（    ） A． B．0 C．1 D．2008 4．（25-26高一上·上海·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 5．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，则（    ）. A．函数的最大值为3，最小值为1 B．函数的最大值为，无最小值 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最大值为3，最小值为 6．（25-26高一上·上海黄浦·阶段练习）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ）． A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数，则的值为 . 8．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）函数的定义域为 . 9．（24-25高一上·上海·期末）设函数，则 . 10．（25-26高一上·上海黄浦·阶段练习）设，若，则 ． 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若，则 . 12．（24-25高一上·上海松江·期末）函数 的定义域是 . 13．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数满足，则的解析式为 . 14．（24-25高一上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则 15．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 16．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 17．（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数表示不超过的最大整数，如，若，则A中所有元素之和为 . 三、解答题 18．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 19．（25-26高一上·上海·期中）对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点． (1)已知函数，求该函数的不动点； (2)若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围． 20．（25-26高一上·上海·期中）对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，. (1)根据定义作出函数和在的大致图像； (2)当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围； (3)求下列方程的解集：①；②. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第13讲 函数及其表示方法 知识清单 知识点01：函数的概念 1 知识点02：函数的表示方法 2 题型归纳 题型01 函数关系与函数值 2 题型02 函数的定义域 5 题型03 函数的值域 5 题型04 函数的表示方法 12 强化训练 16 知识点01函数的概念 定义 一般地，设A，B是非空的实数集，如果对于集合A中的任意一个数x按照某种确定的对应关系f，在集合B中都有唯一确定的数y和它对应，那么就称f：A→B为从集合A到集合B的一个函数 三要素 对应关系 y＝f(x)，x∈A 定义域 一般地，设D是非空的实数集，且对D中任意给定的实数x，按照某种确定法则，都有唯一确定的实数值y与之对应，则这种对应关系称为集合D上的一个函数；记作：y＝f(x)，x∈D. 其中x叫做自变量，其取值范围（数集D）称为 该函数的定义域； 值域 对于自变量x0,由法则f所确定的x0所对应的值y0，称为函数在x0处的函数值，记作y0=f(x0)； 所有函数值组成的集合{y|y＝f(x)，x∈D}称为这个函数的值域； 知识点02 函数的表示方法 函数的解析法 用一个数学表达式来表示两个变量之间的对应法则，这种表示函数的方法称为解析法； 函数的列表法 通过列出自变量的值与对应函数值的相应表格来表达函数关系的方法 函数的图像法 对于函数；由（其中）的全体组成的集合叫做函数图像； 题型01 函数关系与函数值 【例1-1】（24-25高一上·上海·月考）若函数的定义域和值域分别为和，则组成函数的个数是（） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【详解】由题意知：在集合A中有两个自变量取值对应集合B中的同一个值，另一个自变量取值对应剩余的值， 从集合A中的三个元素取出2个元素，共有3种选择，从集合B中的2个元素取出1个元素，共有2种选择， 因此满足题意的函数共有个， 故选：D. 【例1-2】（23-24高一上·上海·阶段练习）已知，则 ． 【答案】 【详解】令，故可得. 故答案为：. 【例1-3】（23-24高一上·上海虹口·期末）若表示不大于的最大整数，比如，则 ． 【答案】3 【详解】解：因为表示不大于的最大整数， 所以， 故答案为：3 【变式1-1】（24-25高一上·上海·期末）设是含数2的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（    ） A． B． C． D．0 【答案】A 【详解】问题相当于圆上由12个均匀分布的点为一组， 每次绕原点逆时针旋转个单位后会与下一个点重合， 我们可以通过代入和赋值的方法当时， 这12 个点对应的圆心角分别为， 然而此时有5组关于轴对称的点，即一个对应2个， 因为函数的定义要求一个只能对应一个，排除选项， 因此只有当时，旋转后得到的12个点，没有任何两个点关于轴对称， 此时每个都满足一个只会对应一个. 故选：A. 【变式1-2】（23-24高一上·上海浦东新·阶段练习）函数，，其中，则 . 【答案】2 【详解】函数与（）的定义域均为， 所以. 故答案为：2 【变式1-3】（24-25高一上·上海·期中）已知函数，且同时满足下列三个条件： ①对任意的，都有成立； ②对任意的，都有成立； ③对于，都有成立， 则 ． 【答案】 【详解】由①得，∴， 因此由②得， 又，而， 所以，所以， 所以，又，所以，从而， 由③得时，， 所以， 而，所以， 所以， 故答案为：． 题型02 函数的定义域 【例2-1】（25-26高一上·上海·期中）函数的定义域是 . 【答案】 【详解】依题意，， 解得且， 所以的定义域为. 故答案为： 【例2-2】（23-24高一上·上海·期末）函数的定义域为区间，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为区间，所以， 令，解得，所以函数的定义域为. 故答案为： 【例2-3】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数的定义域是，则函数的定义域为 . 【答案】 【详解】由题意知. 故答案为：. 【例2-4】（24-25高一上·上海·阶段练习）函数定义域为的一个充分不必要条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数的定义域为， 所以对任意的恒成立， 当时，不等式变形为，解得，不符合题意， 当时，不等式的解集为， 所以，解得， 综上所述：函数的定义域为，则的取值范围； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故A错误； 所以是函数的定义域为的一个必要不充分条件，故B错误； 所以是函数的定义域为的一个充分不必要条件，故C正确； 所以是函数的定义域为的一个充要条件，故D错误. 故选：C. 【变式2-1】（24-25高一上·上海·期中）已知函数的定义域为，则函数的定义域为 ． 【答案】 【详解】因为函数的定义域为， 由. 所以函数的定义域为：. 故答案为： 【变式2-2】（24-25高一上·上海·期末）函数的定义域为 . 【答案】； 【详解】函数的定义域应满足： ，解得且， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 【变式2-3】已知一等腰三角形的周长为12，则将该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为 .（请注明函数的定义域） 【答案】 【详解】解：根据题意得， 由三角形两边之和大于第三边得， 所以，即， 又因为，解得 所以该三角形的底边长y（单位：）表示为腰长x（单位：）的函数解析式为 故答案为： 题型03 函数的值域 【例3-1】（23-24高一上·上海·期末）函数的值域是 ． 【答案】 【详解】由题意可知，函数， 由，，或，则或， 即函数值域为. 故答案为： 【例3-2】（23-24高一上·上海·阶段练习）函数的值域为 【答案】 【详解】设，，所以， 由图象易知值域为. 故答案为：. 【例3-3】（25-26高一上·上海·阶段练习）已知正实数满足，，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】正实数满足，所以， 于是， 令， 该函数为二次函数，平方项系数为，图象是开口向上的二次函数，对称轴方程为， 由二次函数的性质得，， 所以的取值范围是， 故答案为： 【变式3-1】（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）函数的值域为 【答案】 【详解】函数的定义域为，， 而，则， 所以函数的值域是. 故答案为： 【变式3-2】函数的值域为 . 【答案】. 【详解】∵函数， ∴函数的定义域为R，又， ∴ ∴，即， ∴函数的值域为. 故答案为：. 【变式3-3】（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 【变式3-4】（24-25高一上·上海·期末）已知函数，若，则的取值范围是 ． 【答案】． 【详解】由题意，函数的定义域为， 令，解得或， ①若，当时，，且， 此时，不符合题意； ②若，当时，，且， 此时，不符合题意； ③若，当或时，，且， 此时， 当时，，故，符合题意； ④若，当时，，且， 此时，不符合题意； 综上所述，，即， 则， 所以当时，有最小值，则. 故答案为：. 题型04 函数的表示方法 【例4-1】（22-23高一上·上海闵行·期末）存在函数，满足对任意都有（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据函数的定义，对任意的，按照某种对应法则，存在唯一的与之对应. 对于选项A： 若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项A错误； 对于选项B： 若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项B错误； 对于选项C： 令，， 所以，即， 令，则有， 即， 所以存在这样的函数， C选项正确； 对于D选项： 若取，则有，取，则有，不满足函数定义，选项D错误； 故选：C. 【例4-2】（25-26高一上·上海·开学考试）下列各图象中，不能表示是的函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】根据函数定义，在自变量的取值范围内，任意的取值，有且只有一个值与之对应， 从图象上看就是在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，直线与函数图象有且仅有一个交点， 对于A、B、C三个选项中的图象，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线， 与图象有且只有一个交点，从而能表示是的函数； 对于D选项，在自变量的取值范围内作一条垂直于轴的直线，与图象有两个交点， 从而不能表示是的函数； 故选：D． 【例4-3】（24-25高一上·上海·单元测试）已知时，；为无理数时，；我们知道函数表示法有三种：①列表法；②图像法；③解析法，那么该函数不能用 表示． 【答案】①② 【详解】函数不能用列表法和图像法表示，只能用解析法表示. 利用解析法表示为 . 故答案为：①② 【变式4-1】（23-24高一上·上海·期中）如图是肖老师以恒定的速率夜跑时的离家距离（y）与跑步时间（x）之间的函数的图像，则肖老师跑步的路线可能是（    ）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【详解】开始离家越来越远，中间离家距离不变，后来离家距离越来越近，因此路线是D符合题意， 故选：D． 【变式4-2】（22-23高一下·上海杨浦·开学考试）已知等腰三角形的周长为1，把该三角形腰长表示为底边长的函数，则该函数为 .（要求：写出解析式和自变量的取值范围） 【答案】 【详解】根据题意：，，故，则函数为. 故答案为： 【变式4-3】（2023高一上·上海·专题练习）某工厂有一面长14米的旧墙，现在准备利用这面墙建造平面图为矩形的面积为126平方米的厂房，考虑到要节约费用因此利用旧墙（长度不得超过其总长），而没有利用的部分可拆去作为修建新墙的材料，具体工程条件如下： ①建1米新墙的费用为a元； ②修1米旧墙的费用为元； ③拆去1米旧墙，用所得的材料建1米新墙费用为元； 问：设利用旧墙为x，建墙费用为y，试建立y与x的函数关系式y=f(x). 【详解】结合题意：利用旧墙的一段米为矩形一面边长，则修旧墙费用为元， 将剩余的旧墙拆得材料建新墙的费用为元， 其余建新墙的费用为元， 故总费用为. 一、单选题 1．（25-26高一上·上海·期中）下列选项中，是的函数的是（    ） A． B． C．   D． 1 2 1 3 1 2 3 4 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用函数的意义逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，对于的每个值，都有唯一值与之对应， 因此是的函数，A是； 对于B，由，得，此不等式组无解，不是的函数，B不是； 对于C，由图象知，存在值（如），有两个值与之对应，不是的函数，C不是； 对于D，与对应的值有1和3两个，不是的函数，D不是. 故选：A 2．（24-25高一上·上海长宁·期末）下列函数中与是同一个函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】通过函数定义域及解析式逐个判断即可； 【详解】的定义域为， 对于A：易知，定义域为，错； 对于B: ，定义域为，对； 对于C：，定义域为，错； 对于D：，错； 故选：B 3．（24-25高一上·上海青浦·开学考试）当x分别取值 ，1，2.…， 2006， 2007， 2008时， 计算代数式 的值.将所得的结果相加，其和等于（    ） A． B．0 C．1 D．2008 【答案】B 【分析】设，则，结合，将所得的结果相加，其和为0. 【详解】设，则， 故， 其中，所以将所得的结果相加，其和为0. 故选：B 4．（25-26高一上·上海·期中）已知函数则（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据给定的分段函数，分段判断代入求值. 【详解】依题意，. 故选：B 5．（24-25高一上·上海虹口·期末）设，则（    ）. A．函数的最大值为3，最小值为1 B．函数的最大值为，无最小值 C．函数的最大值为，无最小值 D．函数的最大值为3，最小值为 【答案】C 【分析】在同一坐标系中先画出与的图象，然后根据定义画出，就容易看出有最大值，无最小值，解出两个函数的交点，即可求得最大值． 【详解】在同一坐标系中先画出与的图象，由图像可知，当时，取得最大值， 所以由得（舍去）或， 即当时，函数有最大值，无最小值. 故选：C 6．（25-26高一上·上海黄浦·阶段练习）如果一个函数的图象通过平移后可以得到函数的图象，那么这个函数可以是（   ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】逐项对函数解析式进行变形，结合图象变换方法判断即可. 【详解】对于A，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故A错误， 对于B，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故B错误， 对于C，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故C错误， 对于D，因为， 所以将函数的图象向左平移一个单位，可得函数的图象， 再将函数的图象向上平移一个单位，可得函数的图象，故D正确. 故选：D. 二、填空题 7．（24-25高一上·上海·阶段练习）设函数，则的值为 . 【答案】/ 【分析】先计算出的值，然后可计算出的值. 【详解】因为，所以， 故答案为：. 8．（24-25高一上·上海奉贤·阶段练习）函数的定义域为 . 【答案】 【分析】根据解析式有意义列不等式组求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，解得， 所以的定义域为. 故答案为： 9．（24-25高一上·上海·期末）设函数，则 . 【答案】 【分析】分析函数的定义域和其在不同定义域区间上的表达式，首先计算的值，可得 ，将代入即可求解. 【详解】将代入，得到， 所以， 将代入，得到. 因此，. 故答案为：6. 10．（25-26高一上·上海黄浦·阶段练习）设，若，则 ． 【答案】2 【分析】直接代入求值即可. 【详解】因为，所以. 故答案为：2 11．（24-25高一上·上海·阶段练习）已知，若，则 . 【答案】/ 【分析】首先求出解析式，再代入计算可得. 【详解】因为， 所以， 因为，所以，解得. 故答案为： 12．（24-25高一上·上海松江·期末）函数 的定义域是 . 【答案】 【分析】根据对数函数定义域及根式求解即可. 【详解】因为函数 ， 所以,解得， 函数定义域为. 故答案为：. 13．（24-25高一上·上海浦东新·阶段练习）已知函数满足，则的解析式为 . 【答案】 【分析】用换元法求解． 【详解】令. 即， 故答案为：． 14．（24-25高一上·上海·期末）若函数的图像关于直线对称，则 【答案】120 【分析】利用图像的对称性列方程组求解即可. 【详解】由题意得函数的图像关于直线对称， 则， ， 解得：，. 故答案为：120. 15．（24-25高一上·上海·期末）已知函数在区间上的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】根据函数解析式作出函数图象，求方程的解，结合图象确定的范围. 【详解】因为， 又，， 所以函数的图象为开口向下，对称轴为，过点的抛物线， 作函数的图象如下： 结合对称性可得， 因为函数在区间上的值域为， 所以， 所以的取值范围是. 故答案为：. 16．（24-25高一下·上海·期中）已知函数的值域为，则实数的取值范围为 ． 【答案】; 【分析】根据时，，由值域为判断出，再求出时的范围，从而 ，解不等式即可. 【详解】当时，，因为值域为， 所以，即， 此时时，，即， 由值域为得：， 综上：， 故答案为：. 17．（24-25高一上·上海·期中）对于任意实数表示不超过的最大整数，如，若，则A中所有元素之和为 . 【答案】 【分析】设，其中，对讨论可得当时，所以函数值的和为，再分析即可. 【详解】设，其中， 若，则， 可得， 所以； 若，则， 可得， 所以； 若，则， 可得， 所以； 若，则， 可得， 所以； 综上所述：当时，所以函数值的和为， 又因为，此时，且当时，， 所有函数值的和为，即A中所有元素之和为28. 故答案为：28. 三、解答题 18．（25-26高一上·上海·期中）（1）已知是一次函数且，求的解析式； （2）已知求的解析式； （3）若对任意实数x，均有，求的解析式. 【答案】 （1） （2） （3） 【分析】根据求函数解析式的三种方法：待定系数法，配凑法，解方程组法，分别求解（1）（2），（3）小题. 【详解】（1） （待定系数法）∵是一次函数，可设， 由题可知：，即， 因为，所以，解得. 所以函数的解析式为. （2）(配凑法)， 又， 当且仅当即时等号成立. 设则，∴， ∴函数的解析式为. （3）(解方程组法)∵，① ∴，② 由得，∴. ∴函数的解析式为. 19．（25-26高一上·上海·期中）对于二次函数，若存在，使成立，则称为该二次函数的不动点． (1)已知函数，求该函数的不动点； (2)若对于任意的，二次函数恒有两个相异的不动点，求实数的取值范围． 【答案】(1)，3； (2). 【分析】（1）根据不动点的定义列出方程并求解即得. （2）根据不动点的定义，结合一元二次方程的判别式列式，再利用基本不等式求解. 【详解】（1）设为函数的不动点，则，即， 解得或，所以所求不动点为，3. （2）由，二次函数恒有两个相异的不动点， 得，方程有两个不等实根， 则，，且， 由，得，则， 当且仅当，即时取等号，因此，且，即且， 所以实数的取值范围是. 20．（25-26高一上·上海·期中）对于实数，定义符号表示不大于的最大整数，例如：，，. (1)根据定义作出函数和在的大致图像； (2)当时，求表达式的最小值及取到最小值时的取值范围； (3)求下列方程的解集：①；②. 【答案】(1)图象见详解 (2)的最小值为8，此时的取值范围为 (3)①；② 【分析】（1）根据题意化简函数解析式，进而作出函数图象； （2）根据题意结合基本不等式求最小值，并结合成立的条件求的取值范围； （3）分类讨论，结合的定义以及指数函数的性质化简方程，进而分析求解. 【详解】（1）因为，则， 所以函数在的大致图像如图所示： 且， 所以函数在的大致图像如图所示： （2）因为，且，可得， 又因为， 当且仅当，即，时，等号成立， 所以的最小值为8，此时的取值范围为. （3）对于①：，可得， 若，则， 可得，解得； 若，则，不合题意； 若，则， 可得，解得； 综上所述：的解集为； 对于②：， 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 但，即不成立，不合题意； 若，则，可得， 即，解得； 若，则，，即成立，符合题意； 若，由图象可知， 可得，即不成立，不合题意； 综上所述：的解集为. 1 学科网（北京）股份有限公司 $