6.1 二次函数的概念 课件 2026-2027学年苏科版数学九年级下册

6.1 二次函数的概念 兴化市戴泽初中 范和景 1 1、正方形的边长是x，周长为y，则y与x之间的函数表达式为 ，这是 函数. 2、已知长方形的长为x，宽为y .若面积为20，则y与x的函数表达式为 ，这是___________函数. 反比例 y=4x 一次 1.填一填： 函 数 一次函数 反比例函数 y=kx+b (k，b是常数，k≠0) 一条直线 双曲线 生活中还有哪些图像，它又对应着什么新的函数呢? 一般形式 图像 2.想一想： (k≠0) 知识回顾 问题1 一粒石子投入水中，激起的波纹不断向外扩展，所形成的圆的面积 S 与半径 r 之间有何关系？ S=πr2 问题2 如图，某人掷铅球时铅球距地面的高度y(m) 与距投掷点 的水平距离x(m)之间的函数表达式为 情境引入 方法引领 观察上面所列的函数关系式， S=πr2 ， ，y=240x2 +180x+45， 你能发现它们有哪些共同特征？ 二次函数的一般形式： y = ax² + bx + c（a、b、c是常数，且 a ≠ 0） a是二次项系数, 且 a ≠ 0 b是一次项系数 c是常数项 当b＝0，c＝0时， y＝ax2. 当b＝0时， y＝ax2＋c. 二次函数的特殊形式： 当c＝0时， y＝ax2＋bx. 自主构建 定义： 一般地，形如 y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，且a≠ 0)的函数叫做二次函数. 其中 x是自变量，y 是 x 的函数. 练一练：下列函数是二次函数吗？为什么？(口答) （1）y=2x2 +8x+5 （ ） （2）s=2t(3-t) （ ） （3） （ ） （4） （ ） （5）y=(x-3)2 -x2 （ ） （6）y = ax² + bx + c（a、b、c是常数） （ ） （7）y=x3 -x2 +1 （ ） 等式右边不是整式 自变量最高次数是3 √ =6t-2t2= -2t2+6t =-6x+9，自变量最高次数是1. √ √ × × × × 缺少a≠0 二次函数的概念 自主构建 要点识别： 2.a、b、c为常数，且a≠0，即二次项系数不等于0. 1.等号左边是变量y，右边是关于自变量x的整式，函数关系式是整式. 3.化简后，等式右边的自变量最高次数为2 ，可以没有一次项和常数项，但不能没有二次项. 4. x的取值范围是任意实数. 但是如果在实际问题中它的取值要受到实际意义的限制. 自主构建 【分析】 镜面宽为 x 米，则镜面的长为2x 米，镜面面积为2x2 平 方米，所以镜面的费用为 元；边框的费 用为 元；加工费为 元；所 以y与x之间的函数关系式为 . 例1. 一面长与宽之比为 2 :1 的矩形镜子，四周镶有边框，其中短边不少于 0.5 m,.已知镜面的价格是每平方米 120 元，边框的价格是每米 30元，加工费为45元.设镜面宽为 x 米，求总费用y(元)与镜面宽x(米)之间的函数关系式. 120×2x2=240x2 30(2x+x+2x+x)=180x 45 y=240x2 +180x+45 总费用= 镜面的费用 + 边框的费用 + 加工费用 互动体验 自变量x的取值范围是x≥0.5. 变式： 一农民用 40 m 长的篱笆围成一个一边靠墙的长方形菜园（墙足够长），和墙垂直的一边长为 x m，菜园的面积为 y m2，求y与x之间的函数关系式，并说出自变量的取值范围. 和墙垂直的一边长为 x m，则平行于墙 的一边长为(40-2x)m. 由题意，得 y = x(40 - 2x )， 即 y = -2x2 + 40x.（0<x<20） 解： y m2 x m (40-2x)m 互动体验 例2.已知 （1）m取什么值时，此函数是正比例函数？ （2）m取什么值时，此函数是反比例函数？ （3）m取什么值时，此函数是二次函数？ 解： （1）若此函数为正比例函数，则m2-7=0，即m= 或 （2）若此函数为反比例函数，则m2-7=-1，即m= 或 （3）若此函数为二次函数，则m2-7=2，且m +3≠0，解得m=3. 变式：（1）如果函数 是二次函数, 则k的值是_____； （2）如果函数 是二次函数, 则k 的值是____. 0或3 0 互动体验 例3.已知二次函数y＝ax2，当x＝2时，y＝－8；当x ＝－ 8时，求y的值． 解：由题意得 －8＝4a， 解得：a＝－2，∴ y＝－2x2 当x＝－8时， y＝－2×（－8）2＝－128． 互动体验 变式：二次函数 当x=0时，y= -2；当y= -1时，x=1.求y=2时x的值. 1.写出下列各函数关系，并判断它们是什么类型的函数： （1）正方体的表面积S(cm2)与棱长a(cm)之间的函数表达式； （2）已知圆柱的高14 cm，写出圆柱的体积 V(cm3)与底面半径 r(cm)之间的函数表达式； S=6a2，是S关于a的二次函数. V=14πr2，是V关于r的二次函数. （3）如图，把一张长30cm、宽20cm的矩形纸片的一角剪去一个正方形，写出矩形纸片的剩余面积 S(cm2)与所剪正方形边长 x(cm)之间的函数表达式. S=30×20-x2=600-x2，是S关于x 的二次函数. 30cm 20cm x x 互动体验 2.如图，学校准备在一块长200m、宽140m的矩形绿地内修建等宽的十字形道路，设道路宽为x m，写出绿地面积y(m2)与 x (m)之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围 . y=(200-x)(140-x)=28000-340x+x2， 其中0＜x＜140. 200 x x 140 解： 互动体验 3.某商场将进价为40元的某种服装按50元售出时，每天可以售出300套．据市场调查发现，这种服装一套的售价每提高1元，销量就减少5套，如果一套的售价为x(元)，请你得出每天销售利润y(元)与售价x的函数表达式． 能力提升 二次函数的概念 二次函数的表示 一般地，形如 y=ax²+bx+c(a、b、c是常数，且a≠ 0)的函数叫做二次函数. 其中 x是自变量，y 是 x 的函数. 通过这节课的学习,你有什么收获? 智慧建构 自变量x的最高次数是二次,自变量x的取值范围是全体实数. 从特殊到一般 类比 生活情境 $