第4章幂函数、指数函数与对数函数单元检测-2026-2027学年高一上学期数学沪教版必修第一册

**基本信息** 2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第4章单元检测巩固篇，聚焦幂函数、指数函数与对数函数，90分钟150分，适配单元复习，通过基础巩固与应用探究，培养抽象能力、运算能力及模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |填空题|12/54|定义域、值域、单调性（如幂函数在区间最小值）、对称性（指数与对数函数对称）|梯度设计，1-6题基础概念，7-12题综合应用（如幂函数参数范围）| |选择题|4/18|定义域判断、单调性参数（如幂函数单调递减求参数）、大小比较|选项设置区分度高，考查推理意识| |解答题|5/78|函数解析式与定义域（17题）、对数函数运算（18题）、指数不等式（19题）、含参函数最值（20题）、细菌分裂应用（21题）|分层递进，21题以细菌分裂为情境，体现模型意识与应用能力，契合真题命题趋势|

2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第4章幂函数、指数函数与对数函数单元检测·巩固篇（解析版） 考试时间：90分钟 满分：150分 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）幂函数 的定义域为__________，值域为__________。 答案： 定义域 ，值域 解析： ，对任意实数 ，，故定义域为 ，值域为 。 易错点提醒： 分数指数幂化为根式后判断定义域，注意偶次根式被开方数非负。 2.（4分）函数 的定义域为__________。 答案： 解析： 指数函数的定义域为全体实数， 为指数型函数，定义域为 。 易错点提醒： 指数函数的定义域为 ，注意与对数函数定义域区分。 3.（4分）函数 的定义域为__________。 答案： 解析： 真数 。 易错点提醒： 对数函数真数大于0，取不到端点。 4.（4分）幂函数 在区间 上的最小值为__________。 答案： 解析： 在 上单调递减，在 上的最小值为 。 易错点提醒： 单调递减函数在闭区间上的最小值在右端点取得。 5.（4分）指数函数 与对数函数 的图像关于直线__________对称。 答案： 解析： 指数函数 与对数函数 互为反函数，图像关于直线 对称。 易错点提醒： 同底指数函数与对数函数互为反函数，图像关于 对称。 6.（4分）已知 ，，，则 的大小关系为__________。（填“”“”或“”） 答案： 解析： ，，。指数函数 单调递增，，故 。 易错点提醒： 比较同底指数幂时，利用指数函数单调性；，注意与1比较。 7.（5分）（基础偏中档）已知 ，，，则 的大小关系为__________。（填“”“”或“”） 答案： 解析： 。，。比较 与 ：，，故 。 易错点提醒： 比较不同类函数值时，先判断与1的大小关系，再进一步比较。 8.（5分）（基础偏中档）已知幂函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为__________。 答案： 解析： 幂函数 在 上的单调性：当 时单调递增；当 时单调递减。故 。 易错点提醒： 幂函数在 上的单调性由指数符号决定：正增负减。 9.（5分）（基础偏中档）若不等式 的解集为 ，则实数 的值为__________。 答案： 2 解析： 。由题意 ，故 。 易错点提醒： 解对数不等式时需注意真数大于0，逆向求参时利用对数定义。 10.（5分）已知幂函数 的图像经过点 和 ，则 的值为__________。 答案： 解析： 由图像经过点 ，得 ，即 ，故 ，所以 ，解得 。 因此 ，当 时，。 易错点提醒： 先由已知点求 ，再代入求值，两步计算缺一不可。 11.（5分）（含参图像小题）指数函数 （）的图像经过点 ，则该函数的图像还经过点（　　） A.   B.   C.   D. 答案： B 解析： 由图像过点 ，得 ，故 。当 时，。 易错点提醒： 指数函数图像过点 ，利用对称性判断其他点。 12.（5分）（基础偏中档）已知函数 ，，则 __________。 答案： 3 解析： ，。 易错点提醒： 复合函数求值需从内层逐步向外层计算。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）下列函数中，定义域为 的是（　　） A.   B.   C.   D. 答案： C 解析： A项 ；B项 ；C项定义域为 ；D项 。 易错点提醒： 三种函数定义域的区别：幂函数看指数，指数函数为 ，对数函数真数大于0。 14.（4分）已知幂函数 在 上单调递减，则 的可能值为（　　） A.   B.   C.   D. 答案： C 解析： 幂函数在 上单调递减需 ，选项中只有 。 易错点提醒： 幂函数在 上单调性由指数正负决定。 15.（5分）已知 ，，，则 的大小关系为（　　） A.   B.   C.   D. 答案： B 解析： ，，，故 。 易错点提醒： 比较三类函数值时，先判断与0、1的关系，再比较。 16.（5分）已知函数 （）的图像过点 ，则不等式 的解集为（　　） A.   B.   C.   D. 答案： A 解析： 由图像过点 ，得 （）。故 。解 。 易错点提醒： 解对数不等式时需同时满足真数大于0；底数 时单调递增。 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 已知函数 ，。 （1）求函数 的定义域； （2）求函数 的解析式，并写出其定义域。 答案： （1）；（2），定义域 。 解析： （1）被开方数 ，定义域为 .........（6分） （2） .........（4分） 由（1）知定义域为 .........（4分） 易错点提醒： 复合函数的定义域由内层函数值域与外层函数定义域共同决定。 18.（14分） 已知对数函数 。 （1）求函数 的定义域； （2）求 的值。 答案： （1）；（2）2。 解析： （1）真数 ，定义域为 .........（8分） （2） .........（6分） 易错点提醒： 对数真数必须大于0，，不能取 。 19.（14分） 解下列不等式： （1）； （2）。 答案： （1）；（2）。 解析： （1），因 单调递增，故 .........（7分） （2），由对数定义得 .........（7分） 易错点提醒： 解对数不等式时需注意真数大于0，即 。 20.（18分） 已知函数 ，其中 且 。 （1）求函数 的定义域； （2）当 时，解不等式 ； （3）若函数 在区间 上的最大值为2，求实数 的值。 答案： （1）；（2）；（3）。 解析： （1）真数 ，定义域为 .........（4分） （2）当 时， .........（6分） （3）分情况讨论： ① 当 时， 在 上单调递增，最大值为 （） .........（4分） ② 当 时， 在 上单调递减，最大值为 ，不符合2 .........（2分） 综上： .........（2分） 易错点提醒： 含参对数函数最值需根据底数 的范围分类讨论。 21.（18分）【综合拓展：指数增长实际模型】 某种细菌在培养过程中，每经过20分钟分裂一次（一个分裂为两个），初始数量为100个。 （1）经过 小时后，写出细菌数量 关于时间 的函数解析式； （2）经过3小时后，细菌数量约为多少个？（参考数据：） （3）经过多少小时后，细菌数量达到3200个？ 答案： （1）；（2）51200个；（3） 小时。 解析： （1）每20分钟分裂一次，即每小时分裂3次，故 （） .........（6分） （2）当 时，（个） .........（6分） （3）令 ，即 .........（2分） ，即 ，故 ，解得 （小时） .........（4分） 易错点提醒： 细菌分裂模型中，分裂次数 = 时间 ÷ 每次分裂所需时间；注意指数函数的实际意义。 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年高中数学沪教版必修第一册第4章幂函数、指数函数与对数函数单元检测·巩固篇（原卷版） 考试时间：90分钟 满分：150分 班级：________ 姓名：________ 学号：________ 得分：________ 一、填空题（本大题共12小题，1-6题每题4分，7-12题每题5分，共54分。） 1.（4分）幂函数 的定义域为__________，值域为__________。 2.（4分）函数 的定义域为__________。 3.（4分）函数 的定义域为__________。 4.（4分）幂函数 在区间 上的最小值为__________。 5.（4分）指数函数 与对数函数 的图像关于直线__________对称。 6.（4分）已知 ，，，则 的大小关系为__________。（填“”“”或“”） 7.（5分）已知 ，，，则 的大小关系为__________。（填“”“”或“”） 8.（5分）已知幂函数 在 上单调递减，则实数 的取值范围为__________。 9.（5分）若不等式 的解集为 ，则实数 的值为__________。 10.（5分）已知幂函数 的图像经过点 和 ，则 的值为__________。 11.（5分）指数函数 （）的图像经过点 ，则该函数的图像还经过点__________。（填序号） A.   B.   C.   D. 12.（5分）已知函数 ，，则 __________。 二、选择题（本大题共4小题，13-14题每题4分，15-16题每题5分，共18分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 13.（4分）下列函数中，定义域为 的是（　　） A.   B.   C.   D. 14.（4分）已知幂函数 在 上单调递减，则 的可能值为（　　） A.   B.   C.   D. 15.（5分）已知 ，，，则 的大小关系为（　　） A.   B.   C.   D. 16.（5分）已知函数 （）的图像过点 ，则不等式 的解集为（　　） A.   B.   C.   D. 三、解答题（本大题共5小题，17-19题每题14分，20-21题每题18分，共78分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。） 17.（14分） 已知函数 ，。 （1）求函数 的定义域； （2）求函数 的解析式，并写出其定义域。 18.（14分） 已知对数函数 。 （1）求函数 的定义域； （2）求 的值。 19.（14分） 解下列不等式： （1）； （2）。 20.（18分） 已知函数 ，其中 且 。 （1）求函数 的定义域； （2）当 时，解不等式 ； （3）若函数 在区间 上的最大值为2，求实数 的值。 21.（18分） 某种细菌在培养过程中，每经过20分钟分裂一次（一个分裂为两个），初始数量为100个。 （1）经过 小时后，写出细菌数量 关于时间 的函数解析式； （2）经过3小时后，细菌数量约为多少个？（参考数据：） （3）经过多少小时后，细菌数量达到3200个？ 学科网（北京）股份有限公司 $