第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优单元测试·提升卷）数学沪教版2020必修第一册

第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优单元测试·提升卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知幂函数过点，则 ． 2．已知函数且.若，则 . 3．函数（常数且）的图像必定经过点 ． 4．函数的值域为，能使成立的一个值为 ． 5．若函数，且，在上的最大值比最小值大，则 . 6．函数的增区间是 . 7．函数的值域是 . 8．已知幂函数，，的图象如图所示，则，，用<连接为 ． 9．若函数是函数的反函数，则函数的单调递减区间是 ． 10．甲说：在上单调递减，乙说：存在实数使得在成立，若甲，乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是 . 11．若函数的定义域中恰有个整数，则的取值范围是 . 12．定义设，则的最大值为 ． 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 14．设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 15．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 16．已知、是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知幂函数在上单调递增． (1)求的值； (2)当时，求函数的最小值． 18．已知函数． (1)完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图； 1 2 4 (2)根据（1）的结果，若，试猜想的值，并证明你的结论． 19．已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． (1)求的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 20．已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 21．若函数满足：对任意的，都有，且，则称为“超加性倾向函数”． (1)若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由． (2)证明：函数是“超加性倾向函数”． (3)若函数是“超加性倾向函数”，求的取值范围． 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $ 第4章 幂函数、指数函数与对数函数（高效培优单元测试·提升卷） 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知幂函数过点，则 ． 【答案】 【分析】先求出幂函数的解析式，然后代入求值即可. 【详解】设幂函数为 幂函数的图像过点，即，求出；幂函数的解析式为：,则. 故答案为： 2．已知函数且.若，则 . 【答案】/ 【分析】根据对数的运算性质即可求解. 【详解】， 故，即，故. 故答案为： 3．函数（常数且）的图像必定经过点 ． 【答案】 【分析】根据对数函数的性质计算可得. 【详解】对于函数（常数且）， 令，解得，此时， 即函数（常数且）的图像必定经过点. 故答案为： 4．函数的值域为，能使成立的一个值为 ． 【答案】0（答案不唯一） 【分析】首先求出函数的值域为，再利用集合间的包含关系即可求得的取值范围，即可得到答案. 【详解】函数的值域为，因为，所以. 故答案为：0 5．若函数，且，在上的最大值比最小值大，则 . 【答案】或 【分析】分和两种情况，根据指数函数的单调性确定最大值和最小值，由已知得到关于实数的方程求解即得. 【详解】若，则函数在区间上单调递减， 所以， 由题意得，又，故； 若，则函数在区间上单调递增， 所以， 由题意得，又，故. 所以的值为或. 故答案为：或. 6．函数的增区间是 . 【答案】/ 【分析】求出函数的定义域，再结合二次函数、对数函数的单调性求出递增区间. 【详解】函数中，由，即，解得， 函数在上单调递增，在上单调递减， 而函数在上单调递减， 因此函数在上单调递减，在上单调递增， 所以所求递增区间是. 故答案为： 7．函数的值域是 . 【答案】 【分析】应用换元法结合指数函数值域及二次函数求值域即可. 【详解】令，则， 当且仅当“”取等号，即原函数的值域为. 故答案为：. 8．已知幂函数，，的图象如图所示，则，，用<连接为 ． 【答案】 【分析】根据在时函数值的大小关系可判断，，的大小. 【详解】 由图可得，， 根据指数函数在上为增函数可得，. 故答案为：. 9．若函数是函数的反函数，则函数的单调递减区间是 ． 【答案】 【分析】利用反函数的性质得到，再结合复合函数性质建立不等式，求解单调区间即可. 【详解】因为函数是函数的反函数，所以， 故， 而的定义域为， 它由与复合而成． 由对数函数性质得在上单调递增， 若使单调递减， 则只需单调递减即可， 由二次函数性质得在上单调递减 则，即，解得， 故得到函数的单调递减区间是． 故答案为： 10．甲说：在上单调递减，乙说：存在实数使得在成立，若甲，乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】若甲对，根据对数型函数单调性求得；若乙对，分析可得，，结合函数单调性可得；取反面，结合集合间的运算求解即可. 【详解】若甲对，则在上单调递减，且在上恒成立，则，解得， 若乙对，由，，可得，， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且，可知在内的最大值为， 可得，解得； 若甲、乙说的均不对，且或与的交集为， 若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围. 故答案为：. 11．若函数的定义域中恰有个整数，则的取值范围是 . 【答案】 【分析】解不等式，然后对的取值进行分类讨论，确定整数解，即可求得实数的取值范围. 【详解】对于函数，则有， 即，即， 因为函数的定义域中恰有个整数，则， 当时，解不等式可得， 根据题意可知，满足不等式的个整数分别为、，所以，； 当时，解不等式可得， 根据题意可知，满足不等式的个整数分别为、，所以，. 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 12．定义设，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】分析与的大小关系，作出函数的图象即可确定最大值. 【详解】设， 作出函数的图象，由图象可得，当或时，， 当时，，当时，，当时，， ∴， 画出图象，由图象可知． 故答案为：4. 二、选择题(本题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分；每题有且只有一个正确选项) 13．已知幂函数在上是增函数，则（    ） A．或3 B． C．3 D．1 【答案】C 【分析】根据是幂函数，解得或，分别代入检验是否在上是增函数，从而得到答案. 【详解】因为是幂函数，所以，解得或， 当时，在上是增函数，符合题意， 当时，在上是减函数，不符合题意，舍去， 所以， 故选：C. 14．设甲：；乙：，则甲是乙的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】利用不等式的性质和指数函数的单调性化简甲乙两个命题，即可结合充分和必要条件的定义求解. 【详解】由可得，由可得， 所以由推不出，即充分性不成立； 由也推不出，即必要性不成立. 所以甲是乙的既不充分也不必要条件. 故选:D. 15．若函数在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据指数函数、二次函数以及复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为函数在上为增函数，在上为减函数，在上为增函数， 且函数在上单调， 根据复合函数的单调性，可得，即， 所以的取值范围是. 故选：A. 16．已知、是函数的图象上两个不同的点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据基本不等式求出，再利用对数函数的单调性及对数的运算即可求解. 【详解】根据已知条件有，，所以， 因为、是函数的图象上两个不同的点， 所以，所以，即， 因为为上的增函数， 所以， 所以 故选：B 三、解答题(本大题共有5题，满分78分，第17-19题每题14分，第20、21题每题18分.) 17．已知幂函数在上单调递增． (1)求的值； (2)当时，求函数的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据幂函数的定义以及单调性求得的值.（2）讨论对称轴与区间的关系，根据函数的单调性求得在上的最小值． 【详解】（1）由幂函数的定义及单调性得 解得故． （2）由（1）知，则，对称轴为直线， 当，即时，在上单调递增，所以； 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 所以； 当，即时，在上单调递减，所以． 综上所述， 18．已知函数． (1)完成下列表格，并在坐标系中描点画出函数的简图； 1 2 4 (2)根据（1）的结果，若，试猜想的值，并证明你的结论． 【答案】(1)答案见详解 (2)证明见详解 【分析】（1）根据题意，由函数的解析式完成表格，进而作出函数的草图； （2）根据题意，假设，结合函数的图象可得，结合函数的解析式分析可得答案. 【详解】（1）由题意知，函数，则填表如下： 1 2 4 其大致图象如图： （2）若，猜想， 证明：由于，假设，若，则必有， 则，， 由于，则， 所以，即， 所以 19．已知函数（其中为常数，且）的图象经过点． (1)求的表达式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由函数经过两点，列出方程组，求解即可. （2）利用函数的单调性求解函数的最小值，然后求解不等式即可. 【详解】（1）由题意，函数的图象经过点, 则，解得， 所以函数. （2）不等式在上恒成立， 则， 令， 因为函数在上是减函数， 所以， 所以. 即实数的取值范围为. 20．已知函数． (1)当时，求的最小值； (2)若在上单调递增，求的取值范围． (3)设，若对于任意，存在，使得不等式成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）当时，分析函数的单调性，可求得函数的最小值； （2）利用复合函数的单调性可知，内层函数在上为增函数，且，可得出关于实数的不等式组，由此可解得实数的取值范围； （3）由题意可知，对任意的恒成立，可得出对任意的恒成立，参变量分离可得出，利用基本不等式可求得实数的取值范围. 【详解】（1）当时，， 对任意的，恒成立，此时，函数的定义域为， 因为内层函数的减区间为，增区间为， 外层函数为增函数， 由复合函数的单调性可知，函数的减区间为，增区间为， 故. （2）令，因为外层函数在定义域上为增函数，且函数在上单调递增， 则内层函数在上为增函数，且， 即，解得. 因此，实数的取值范围是. （3）对于任意，存在，使得不等式成立， 则对任意的恒成立， 因为， 当时，，故当时，即当时，函数取最小值， 即， 所以，对任意的恒成立， 由可得，参变量分离得， 因为，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时等号成立，则， 因此，实数的取值范围是. 【点睛】结论点睛：利用参变量分离法求解函数不等式恒（能）成立，可根据以下原则进行求解： （1），； （2），； （3），； （4），. 21．若函数满足：对任意的，都有，且，则称为“超加性倾向函数”． (1)若函数，试判断是否是“超加性倾向函数”，并说明理由． (2)证明：函数是“超加性倾向函数”． (3)若函数是“超加性倾向函数”，求的取值范围． 【答案】(1)不是“超加性倾向函数”，理由见解析 (2)证明见解析 (3)． 【分析】（1）根据“超加性倾向函数”的定义判定即可；（2）根据“超加性倾向函数”的定义，结合函数单调性定义证明即可；（3）根据“超加性倾向函数”的定义性质，结合指数函数性质计算即可. 【详解】（1）解：当时，，则不是“超加性倾向函数”． （2）证明：因为，所以是上的增函数． 因为是上的增函数，所以是上的增函数，所以． 取任意的， 则． 因为，所以， 所以，所以， 所以，即， 故是“超加性倾向函数”． （3）因为是“超加性倾向函数”，所以对任意的恒成立， 即对任意的恒成立， 所以对任意的恒成立． 因为，所以，所以对任意的恒成立，所以． 因为是“超加性倾向函数”，所以对任意的恒成立， 所以， 所以对任意的恒成立， 所以，即． 故的取值范围是． 【点睛】方法点睛：针对一般的函数新定义问题的方法和技巧：（1）可通过举例子的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解；（2）可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息理解的较为透彻；（3）发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律；（4）如果新信息是课本知识的推广，则要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 2 / 22 学科网（北京）股份有限公司 $