精品解析：广东省湛江市雷州八中教育集团2026-2027学年上学期九年级第一次学情自测数学试卷

26-27年雷州八中初中教育集团九年级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列方程中一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 4. 若函数的图象是开口向上的抛物线，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 9 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 6. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随增大而减小 8. 若二次函数的图象经过点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 10. 对于一元二次方程 下列说法： ①若，方程必有一根为1； ②若方程有两个不相等实根，则 ③若，则方程必有一个根是0； ④若方程一根为，则．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数为___________． 12. 若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 13. 抛物线的顶点坐标是________． 14. 2026年3月，山西省文化和旅游工作会议在太原召开，分组交流会上若每两名参会人员之间相互握手一次，经统计该研讨组共握手903次，设该研讨组共有名参会人员，根据题意可列方程为____________． 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）； 17. 关于的一元二次方程有两个实数根，其两个实数根分别为，． （1）__________，__________； （2）若，求的值． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求原方程的解． 19. 已知二次函数的图像经过点，． （1）求该函数的解析式； （2）求出该函数的对称轴及顶点坐标． 20. 如图，学校准备在教学楼后面围出一块矩形的植物种植试验田．一边利用教学楼的后墙，可利用的墙长为19米，另外三边用总长为的栅栏围成． （1）若围成的面积为，试求出试验田垂直于墙的边长和平行于墙的边长． （2）能围成面积为的实验田吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 21. 阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数满足，试求的值． 22. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 23. 如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． （3）若直线上方的抛物线上有一点，当点、、构成的三角形面积最大时，求的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 26-27年雷州八中初中教育集团九年级第一次月考 数学试卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列方程中一定是一元二次方程的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义，含有一个未知数，且未知数的次数为2的整式方程为一元二次方程，据此即可作答． 【详解】解：A．当时不是一元二次方程，故本选项不符合题意； B．是一元二次方程； C．是一元一次方程，故本选项不符合题意； D．整理得：，不是一元二次方程． 故选：B． 3. 一元二次方程配方后可化为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用完全平方公式进行配方即可得． 【详解】解：， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了利用配方法解一元二次方程，熟练掌握配方法是解题关键． 4. 若函数的图象是开口向上的抛物线，则的值为（ ） A. 3 B. -3 C. D. 9 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵函数图象是开口向上的抛物线， ∴函数为二次函数，需满足，且． 由得， 解得． 由得． ∴． 5. 在平面直角坐标系中，将函数的图象先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象平移的“左加右减，上加下减”法则即可解答． 【详解】解：∵ 函数图象向左平移2个单位长度， ∴ 平移后表达式为． ∵ 再向下平移1个单位长度， ∴ 最终表达式为，即． 6. 一元二次方程的根是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【详解】解：， 或， ，． 7. 关于抛物线，下列说法错误的是（ ） A. 抛物线的开口向上 B. 抛物线的顶点坐标为 C. 抛物线的对称轴为直线 D. 当时，随增大而减小 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线顶点式的性质判断各选项． 【详解】解：在中，，抛物线开口向上，A正确； 顶点坐标为，对称轴为直线，B错误，C正确； 抛物线开口向上，对称轴为直线， 当时，随增大而减小，D正确． 8. 若二次函数的图象经过点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二次函数的图象与性质．根据函数解析式的特点，其对称轴为，图象开口向上；根据二次函数离对称轴越远，函数值越大即可求解． 【详解】解：由题意得，二次函数图象的对称轴为直线， ∵， ∴开口向上，有最小值，且离对称轴越远，函数值越大， ∵点，，，， ∴， 故选：A． 9. 二次函数与一次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数图象，一次函数图象的性质，分和两种情况根据二次函数与一次函数图象分析判断即可得解． 【详解】解：对称轴为直线， 时，抛物线开口向上，对称轴在y轴左侧，与y轴正半轴的交于点，一次函数经过第一、二、三象限，与y轴正半轴的交于点， 时，抛物线开口向下，对称轴在y轴右侧，与y轴负半轴的交于点，一次函数经过第二、三、四象限，与y轴正半轴的交于点． 故选：D． 10. 对于一元二次方程 下列说法： ①若，方程必有一根为1； ②若方程有两个不相等实根，则 ③若，则方程必有一个根是0； ④若方程一根为，则．其中正确的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】D 【解析】 【分析】涉及根的相关结论用代入法结合根的定义判断，涉及根的个数与判别式关系的用判别式性质判断． 【详解】解：①将代入，得， ∵， ∴是方程的根，故①正确； ②∵一元二次方程（）有两个不相等的实根， ∴，故②正确； ③将代入，得， ∵， ∴是方程的根，故③正确； ④将代入，得， ∵是方程的根， ∴，故④正确； 综上，正确的说法共4个． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 一元二次方程的一次项系数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】先将一元二次方程整理为一般形式，再确定一次项系数． 【详解】解：原方程移项整理得：， 因此一次项为，一次项系数为． 12. 若二次函数的图象经过点，则的值为___________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征；将点代入二次函数解析式，得到关于的一元一次方程，解方程即可求出的值． 【详解】解：∵二次函数的图象经过点， ∴将，代入解析式得， 即， 解得． 故答案为：1． 13. 抛物线的顶点坐标是________． 【答案】 【解析】 【分析】抛物线解析式为顶点式，可直接根据顶点式的特征得到顶点坐标. 【详解】解：抛物线的顶点坐标是. 14. 2026年3月，山西省文化和旅游工作会议在太原召开，分组交流会上若每两名参会人员之间相互握手一次，经统计该研讨组共握手903次，设该研讨组共有名参会人员，根据题意可列方程为____________． 【答案】 【解析】 【分析】设参会总人数为，每人只能和除自身外的人握手，每一次握手会被两人各计算一次，因此实际总握手次数为所有人计算的握手次数之和除以2，等于题目给出的903次，据此列方程． 【详解】解：∵该研讨组共有名参会人员，要求每两名参会人员之间相互握手一次， ∴每名参会人员需要和名其他人员握手，人累计计算得次， ∵每一次握手会被两名参会人员各重复计算一次， ∴实际总握手次数为， ∵实际总握手次数为903， ∴可列方程为． 15. 已知二次函数的图象如图所示，有下列4个结论：①；②；③；④．其中正确的结论有________．（填写序号） 【答案】②③④ 【解析】 【分析】由抛物线开口方向确定的符号，由对称轴可得的关系确定的符号，由与轴的交点确定的符号，可判断①；利用时的函数值，可判断②；利用时的函数值，可判断③；结合关系及时的不等式，可判断④ ． 【详解】解：①由图像可知，抛物线开口向下， ∴，  ∵对称轴为直线，即， ∴， ∴， ∵ 抛物线与轴交点在轴上方， ∴， ∴，故①错误； ②由图象可知，当时，， ∴，故②正确； ③由图象可知，当时，，故③正确； ④由①可知，则， 由②可知，， ∴，即， ∴，故④正确； 综上所述，正确的结论有②③④． 三、解答题 16. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） ， （2） ， 【解析】 【分析】（1）确定一元二次方程的系数，计算判别式后用公式法求解； （2）移项后提取公因式因式分解，转化为一元一次方程求解； 【小问1详解】 解： 方程中，，，， ∴， ∴， 解得：，； 【小问2详解】 解： 原式移项得， 提取公因式得， 即， ∴或， 解得：，． 17. 关于的一元二次方程有两个实数根，其两个实数根分别为，． （1）__________，__________； （2）若，求的值． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系解答即可． （2）根据得到，结合（1）的结论可得到关于a的方程，求出a的值，再根据关于的一元二次方程有两个实数根，结合根的判别式求出a的取值范围，即可解答． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程的两个实数根分别为，， ∴，． 【小问2详解】 解：∵， ∴ 由（1）有，， ∴， 解得，． ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∴． 18. 已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根． （1）求的取值范围； （2）当时，求原方程的解． 【答案】（1）且 （2）， 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式即可解决问题； （2）将代入方程，并对所得方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，且， 解得且； 【小问2详解】 解：当时，原方程为， 即， ， 或， ，． 19. 已知二次函数的图像经过点，． （1）求该函数的解析式； （2）求出该函数的对称轴及顶点坐标． 【答案】（1） （2）对称轴为直线，顶点坐标为 【解析】 【分析】（1）将点的坐标代入二次函数解析式，求解的值即可得到函数解析式； （2）代入二次函数的系数到对称轴、顶点坐标公式中计算即可． 【小问1详解】 解：将点，代入二次函数， 可得，解得， ∴该函数的解析式为． 【小问2详解】 对于二次函数， ∵， ∴对称轴为直线， 顶点纵坐标为， ∴顶点坐标为． 20. 如图，学校准备在教学楼后面围出一块矩形的植物种植试验田．一边利用教学楼的后墙，可利用的墙长为19米，另外三边用总长为的栅栏围成． （1）若围成的面积为，试求出试验田垂直于墙的边长和平行于墙的边长． （2）能围成面积为的实验田吗？如果能，请你给出设计方案，如果不能，请说明理由． 【答案】（1）若围成的面积为，实验田的长和宽分别为16米，10米； （2）不能达到200m2， 理由：根据题意列方程得， ， 整理得； ， 故此方程没有实数根， 答：满足条件的实验田面积不能达到． 【解析】 【分析】（1）利用长方形的周长表示出各边长，即可表示出长方形面积，由此建立方程求解即可； （2）利用长方形的面积公式列方程，解答即可． 【小问1详解】 解：设，则； 根据题意列方程，得： ， 解得或； 当时，（米）， 当时，（米），不合题意舍去， 答：若围成的面积为，自行车车棚的长和宽分别为16米，10米； 【小问2详解】 略 21. 阅读下面的材料：解方程，这是一个一元四次方程，根据该方程的特点，它的解法通常是： 设，则． 原方程可化为． ． ． ． 解得． 当时，． 当时，． 原方程有四个根是：． 以上方法叫做换元法，此方法达到了降次的目的，体现了数学思想中的转化思想．请你运用上述方法解答下列问题． （1）解方程：． （2）已知实数满足，试求的值． 【答案】（1）， （2）5 【解析】 【分析】本题考查了换元法解一元二次方程，熟练掌握换元法是解题的关键． （1）设，则，整理，得，解关于y的一元二次方程，然后解关于x的一元二次方程即可求解； （2）设，则，整理得，解一元二次方程即可求解． 【小问1详解】 解：设，则， 整理得， 解得， 当时，即， 解得； 当时，即， 解得； ∴原方程的解为，； 【小问2详解】 解：设，则， 整理得：， 解得：（舍去）， ∴． 22. 在2025年春节联欢晚会上，新年吉祥物“巳升升”特别惹人注目，其设计灵感源于中华传统文化，整体造型参考甲骨文中的“巳”字，采用青绿色为主色调，外形憨态可掬，寓意“福从头起，尾随如意”，我们在电商平台和实体店了解其销售情况． （1）统计某电商平台，2024年12月份吉祥物的销售量是5万件，2025年2月份吉祥物的销售量是7.2万件，若近三个月月平均增长率相同，求月平均增长率； （2）对某实体店的销售情况进行了解，该店吉祥物的进价为每件60元，若售价定为每件100元，则每天的销售量为20件．通过市场调查发现，售价每降价10元，每天可多售出20件，为了进一步推广宣传，商家决定降价促销，要求尽量减少库存，且使每天销售获利1200元，请你分析售价应降低多少元？ 【答案】（1）月平均增长率为． （2）售价应降低元． 【解析】 【分析】（1）根据月平均增长率相同的条件，结合12月与2月的销售量列一元二次方程求解； （2）根据总利润=单件利润×销售量的等量关系列方程，结合尽量减少库存的要求选取符合题意的解． 【小问1详解】 解：设月平均增长率为． ∵2024年12月销售量为5万件，近三个月月平均增长率相同，2025年2月销售量为7.2万件． ∴． 解得，（不符合题意，舍去）． 答：月平均增长率为． 【小问2详解】 解：设售价应降低元． ∵进价为每件60元，原售价为每件100元，原每天销量为20件，售价每降价10元每天可多售出20件，每天销售获利1200元． ∴单件利润为元，每天销售量为件． ∴． 整理得． 解得，． ∵要求尽量减少库存，即每天销售量尽可能大． ∴选择降价幅度更大的． 答：售价应降低元． 23. 如图，已知抛物线经过，两点，与轴的另一个交点为． （1）求抛物线的解析式； （2）在抛物线的对称轴上找一点，使得的值最小，求出点的坐标． （3）若直线上方的抛物线上有一点，当点、、构成的三角形面积最大时，求的坐标． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法解答，即可求解； （2）由抛物线的对称性得：点A，B关于对称轴对称，可得当点E在直线上时，的值最小，求出抛物线对称轴为直线，以及直线的解析式，即可求解； （3）过点P作轴，交直线于点G，设点，则点，可得，再由，即可求解． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，两点， ∴， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：如图， 由抛物线的对称性得：点A，B关于对称轴对称， ∴， ∴， 即当点E在直线上时，的值最小， ∵， ∴抛物线对称轴为直线， 设直线的解析式为， 把点，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 解：过点P作轴，交直线于点G， 设点， 由（2）得：直线的解析式为则点， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，点、、构成的三角形面积最大， 此时点P的坐标为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $