精品解析：广东省雷州市东里中学2025-2026学年上学期九年级数学9月月考试卷

2025-2026学年度九年级数学9月月考试卷 满分：120；考试时间：120分钟； 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2025年西安连续性降雨导致水位上升，若水位上升，记作，则水位下降，记作( ) A. 10 B. C. D. 2. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时的距离，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图是由8个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，中，，，对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积是的面积的2倍 C. D. 四边形是平行四边形 6. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是（ ） 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 3 3 6 7 9 A. 平均数，众数 B. 中位数，众数 C. 平均数，方差 D. 中位数，方差 7. 某种型号的芯片每片的出厂价为a元，经科研攻关实现国产化后成本下降．若每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的出厂价为b元．根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图中的图象（折线）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米／时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少. 其中正确的说法共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 9. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，点是矩形的对角线上一点，正方形的顶点、都在边上，，，则的值为( ) A. B. C. D. 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则______． 12. 四边形与四边形位似，点为位似中心．若，则_________． 13. 请写出一个关于x的一元二次方程，使它没有实数根：________．（写出一个即可） 14. 比较大小：____________（填“>”、“<”或“=”）． 15. 如图，经过原点的抛物线是二次函数的图像，那么a的值是______． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程：． 下面是小丽同学解这个方程的部分过程： 解： 第一步 …… （1）小丽第二步在方程的两边同乘，这样做的依据是__________（填序号）； ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③因式分解． （2）请将解方程的过程补充完整． 17. 如图，为的直径，为上的一点，和过点的切线垂直于点，与交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的半径． 18. 如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 19. 如图，在中，对角线，相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 20. 《国家学生体质健康标准》将八年级男生引体向上测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格．某校随机调查了八年级部分男生引体向上测试成绩等级，根据等级，绘制成两幅不完整的统计图． （1）求本次调查的男生人数以及扇形统计图中良好等级的圆心角大小； （2）若八年级共有300名男生，估计该校八年级男生引体向上为优秀等级的人数． 21. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点C处，，量得面板长，支撑轴长，，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点C到底座的高度； （2）为了阅读舒适，将绕点D旋转后，点B恰好落在直线上，问：端点C离底座的高度降低了多少？（结果保留2位小数） （参考数据：，，，） 22. 课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． 若两直角边为，斜边为． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______； （2）当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； （3）当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）； （4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度九年级数学9月月考试卷 满分：120；考试时间：120分钟； 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 2025年西安连续性降雨导致水位上升，若水位上升，记作，则水位下降，记作( ) A. 10 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正数和负数的意义，根据正负数的意义，水位上升记为正，则下降应记为负． 【详解】解：∵水位上升记作， ∴水位下降应记作负． ∵水位下降， ∴记作． 故选：D． 2. 火星具有和地球相近的环境，与地球最近时的距离，将数字用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值大于1的数， 将数写成的形式，其中，n为正整数． 【详解】解：． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的加、减、乘、除计算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A.，故此项错误； B. ，故此项错误； C. ，故此项正确； D. ，故此项错误． 故选：C． 4. 如图是由8个相同的小正方体搭成的几何体，这个几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，掌握左视图是从物体的左面看得到的视图以及实际看到的用实线表示、看不到的用虚线表示成为解题的关键． 根据左视图是从左边看得到的图形即可解答． 【详解】解：从左边看到的图形有3层，底面两层是两个正方形，上层的左边是一个正方形． 故选：A． 5. 如图，中，，，对角线、相交于点，点、、、分别是、、、的中点，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的面积是的面积的2倍 C. D. 四边形是平行四边形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质与判定及三角形中位线可直接进行排除选项． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴， ∵点、、、分别是、、、的中点， ∴， ， ∴， ∴四边形是平行四边形，故D选项正确； ∴，不一定成立，故A、C选项错误； ∴的面积是的面积的4倍，故B选项错误； 故选D． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质与判定及三角形中位线，熟练掌握平行四边形的性质与判定及三角形中位线是解题的关键． 6. 某班30位同学的安全知识测试成绩统计如表，其中有两个数据被遮盖，不影响下列关于成绩的统计量的是（ ） 成绩 24 25 26 27 28 29 30 人数 ▄ ▄ 3 3 6 7 9 A. 平均数，众数 B. 中位数，众数 C. 平均数，方差 D. 中位数，方差 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了求中位数“将一组数据按照由小到大（或由大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数”、求众数“众数就是一组数据中出现次数最多的那个数据”，熟记中位数和众数的定义是解题关键．根据中位数和众数的定义求解即可得． 【详解】解：∵， ∴被遮盖的两个数据之和为， ∴这组数据中，30出现的次数最多， ∴这组数据的众数是30，不受被遮盖的两个数据的影响， ∵将30位同学的成绩按从小到大进行排序后，第15个数和第16个数的平均数即为中位数，且，， ∴这组数据的中位数是，不受被遮盖的两个数据的影响， 故选：B． 7. 某种型号的芯片每片的出厂价为a元，经科研攻关实现国产化后成本下降．若每次降价的百分率都为x，经过两次降价后的出厂价为b元．根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用．第一降价后，价格为，则接着在第一次价格的基础上进行第二次降价为，据此列出等式即可作答． 【详解】解：根据题意，得，即． 故选：C． 8. 如图中的图象（折线）描述了一汽车在某一直线上的行驶过程中，汽车离出发地的距离s（千米）和行驶时间t（小时）之间的函数关系，根据图中提供的信息，给出下列说法： ①汽车共行驶了120千米； ②汽车在行驶途中停留了0.5小时； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为千米／时； ④汽车自出发后3小时至4.5小时之间行驶的速度在逐渐减少. 其中正确的说法共有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】此题主要考查了函数图象的读图能力．解题的关键是要能根据函数图象的性质和图象上的数据分析得出函数的类型和所需要的条件，结合实际意义得到正确的结论．根据图象分别判断即可，行驶的最远距离是千米，共行驶千米，共用时间是小时，然后分别对每个序号进行判断即可． 【详解】解：①行驶的最远距离是千米，共行驶千米，故说法①错误； ②根据图象从时到时，是停留时间，停留小时，故说法②正确； ③汽车在整个行驶过程中的平均速度为(千米时)，故说法③错误； ④汽车自出发后小时至小时之间路程与时间的比值没有发生改变，故速度不变，故说法④错误． 故正确的说法是：②，只有一个， 故选：A． 9. 如图是一张矩形纸板，顺次连接各边中点得到四边形．将一个飞镖随机投掷在矩形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了几何概率问题．设矩形中，，先求出，再由概率公式求解即可． 【详解】解：如图， 设矩形中，， ∵点分别是的中点， ∴； 同理可得：， ∴， ∴， 故选：A ． 10. 如图，点是矩形的对角线上一点，正方形的顶点、都在边上，，，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先证明△AHE∽△CBA，得到HE与AH的倍数关系，则可知GF与AG的倍数关系，从而求解tan∠GAF的值． 【详解】解：∵∠AHE=∠ABC=90°，∠HAE=∠BCA， ∴△AHE∽△CBA． ∴，设HE=3a，则AH=4a． ∴AG=7a，GF=3a． ∴tan∠GAF=． 故选A． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定和性质、正方形、矩形的性质、解直角三角形． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 已知，，则______． 【答案】96 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，将原式整理为，再整体代入求值即可． 【详解】∵， ∴原式． 故答案为：96． 12. 四边形与四边形位似，点为位似中心．若，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】四边形与四边形位似，可知，，进而可求出的比值． 【详解】解：∵四边形与四边形位似， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了位似的相关知识，位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方． 13. 请写出一个关于x的一元二次方程，使它没有实数根：________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式，写出一个一元二次方程，利用根的判别式判断方程没有实数根，符合题意即可． 【详解】解：在一元二次方程中， ∵， ∴方程没有实数根， 故符合题意， 故答案为：（答案不唯一） 14. 比较大小：____________（填“>”、“<”或“=”）． 【答案】< 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，零指数幂，有理数的乘方，解题关键是正确计算各数． 先计算出两个数，再比较大小． 【详解】解：， ∵， ∴， 故答案为：< ． 15. 如图，经过原点的抛物线是二次函数的图像，那么a的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与解析式的求法，根据图示知，抛物线的图象经过，所以将点代入函数解析式，即可求出a的值． 【详解】解：根据图示知，二次函数的图象经过原点， ∴， 解得； 又∵该函数图象的开口方向向下， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本题共8小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. 解方程：． 下面是小丽同学解这个方程的部分过程： 解： 第一步 …… （1）小丽第二步在方程的两边同乘，这样做的依据是__________（填序号）； ①等式的基本性质； ②分式的基本性质； ③因式分解． （2）请将解方程的过程补充完整． 【答案】（1）① （2）解：方程两边同乘以得， 解得：， 检验：当时，， 是原方程的解． 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程； （1）由等式的基本性质即可求解； （2）方程两边同乘以，化为整式方程进行求解，然后进行检验，即可求解． 【小问1详解】 解：该同学解法中第二步的依据是：等式的基本性质； 故答案为：①； 【小问2详解】 略 17. 如图，为的直径，为上的一点，和过点的切线垂直于点，与交于点，连接． （1）求证：平分； （2）若，求的半径． 【答案】（1）证明：连接，交于点 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 平分； （2） 【解析】 【分析】（1）先证明，由等腰三角形的性质和平行线的性质可得，即可得结论； （2）先证明四边形是矩形，再由垂径定理得，设的半径为，再由勾股定理解直角三角形即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：是的直径， ， 由（1）得， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 设的半径为， 在中，， 即， ． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线的判定和性质，矩形的判定和性质，垂径定理，勾股定理． 18. 如图1．是某景区的一个标志性建筑物——拱门观光台，拱门的形状近似于抛物线，已知拱门的地面宽度为200米，两侧距地面高150米处各有一个观光窗，两窗的水平距离为100米，图2是从实际拱门中得出的抛物线，请你结合数据，求出拱门的高度． 【答案】米 【解析】 【分析】以的中垂线为轴，所在的直线为轴建立平面直角坐标系，求出坐标，设出抛物线的解析式，用待定系数法求出函数解析式，再令，求出的值即可． 【详解】解：如图所示建立平面直角坐标系． 此时，抛物线与x轴的交点为C(-100,0), D(100,0)． 设这条抛物线的解析式为 ∵ 抛物线经过点B (50,150)，) 可得 解得． ∴． 顶点坐标是（0，200） ∴ 拱门的最大高度为200米． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，根据题意正确的建立坐标轴可使问题简单化，解题关键是正确建立坐标轴和熟练掌握待定系数法求解析式． 19. 如图，在中，对角线，相交于点，，过点作交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：， ， 四边形为平行四边形， 四边形为菱形， ，， ， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形性质，菱形的性质和判定，相似三角形性质和判定，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）利用等腰三角形性质得到，进而证明四边形为菱形，推出，再结合同角的余角相等，即可证明； （2）利用菱形的性质得到，再利用相似三角形性质求出，最后根据求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：，， ， ， ， 即，解得， ． 20. 《国家学生体质健康标准》将八年级男生引体向上测试成绩分为四个等级：优秀，良好，及格，不及格．某校随机调查了八年级部分男生引体向上测试成绩等级，根据等级，绘制成两幅不完整的统计图． （1）求本次调查的男生人数以及扇形统计图中良好等级的圆心角大小； （2）若八年级共有300名男生，估计该校八年级男生引体向上为优秀等级的人数． 【答案】（1）本次调查的男生人数为50，扇形统计图中良好等级的圆心角是 （2）18名 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，扇形统计图，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）用及格的人数15除以及格人数所占百分即可求出本次调查的男生人数为50人．用男生总人数50减去其余各部分的人人即可求出成绩为良好的学生人数，再用乘以良好的学所占的百分之即可求出良好等级的圆心角的度数； （2）用300乘以优秀等级的学生人数所占百分比即可得解． 【小问1详解】 解：， ，． 答：本次调查的男生人数为50，扇形统计图中良好等级的圆心角是； 【小问2详解】 解：（名）． 答：估计该校八年级男生引体向上为优秀等级的人数是18名． 21. 如图1是一种升降阅读架，由面板、支撑轴和底座构成．图2是其侧面结构示意图，面板固定在支撑轴端点C处，，量得面板长，支撑轴长，，支撑轴与底座所成的角． （1）求端点C到底座的高度； （2）为了阅读舒适，将绕点D旋转后，点B恰好落在直线上，问：端点C离底座的高度降低了多少？（结果保留2位小数） （参考数据：，，，） 【答案】（1）cm （2）cm 【解析】 【分析】本题主要考查含的直角三角形的性质，勾股定理，三角函数值求高等，熟练掌握这些性质是解题的关键． （1）利用所对的直角边等于斜边的一半即可求得C到的高度； （2）利用三角函数值求出旋转后点C离底座的高度，即可求出降低了多少． 【小问1详解】 解：如图设点C到底座的高度为； ∵，； ∴； ∴端点C到底座的高度为：． 【小问2详解】 如图为旋转后的图形； ∵，； ∴； ∵，； 在中； ； ∵； ∴； ∴旋转后端点C离底座的高度； ∴端点C离底座的高度降低了． 22. 课堂上学习了勾股定理后知道：直角三角形三边长是整数时我们称之为“勾股数”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决． 若两直角边为，斜边为． （1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、______、______； （2）当（为奇数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）；并证明你的猜想； （3）当（为偶数，且）时，若______，______时可以构造出勾股数（用含的代数式表示）； （4）构造勾股数的方法很多，请你寻找当时，______． 【答案】（1）60，61 （2） （3）， （4）25或52或101或29 【解析】 【分析】（1）分析所给四组的勾股数：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；可得下一组一组勾股数：11，60，61；发现规律是解题的关键； （2）根据所提供的例子发现股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一可得b、c，然后计算验证即可；发现规律是解题的关键； （3）根据所提供的例子发现股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一可得b、c，然后计算验证即可；发现规律是解题的关键； （4）由勾股定理可得：，再根据勾股定理可得；然后根据列举法即可解答；发现规律是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…， ∴11，60，61； 故答案为：60，61． 【小问2详解】 解：观察发现：当（为奇数，且）时，则股是勾的平方减去1的二分之一，弦是勾的平方加1的二分之一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：； 证明如下： ∵， ∴， 又∵n为奇数，且， ∴n, 三个数组成的数是勾股数． 【小问3详解】 解：观察发现：当（为偶数，且）时，则股是勾的平方的四分之一减一，弦是勾的平方的四分之一加一；则用含n的代数式表示每组第二个数和第三个数分别为：，； 证明如下： ∵， ∴， 又∵n为偶数，且， ∴n, ，三个数组成的数是勾股数． 【小问4详解】 解：由勾股定理可得：， 当，则有: ，即， 当，解得：； 当，解得：； 当，解得：； 当，解得：． 综上，c的值为25或52或101或29． 23. 在平面直角坐标系中，若某函数的图象经过矩形对角线的两个端点，则定义该函数为矩形的“友好函数”，例如：如图1，矩形，经过点和点的一次函数是矩形的“友好函数”． （1）如图2，矩形的顶点坐标分别为，，，，反比例函数经过点B，求反比例函数的解析式，并判断该函数是否为矩形的“友好函数”； （2）矩形在第一象限，轴，轴，且点A的坐标为，正比例函数经过点A．且是矩形的“友好函数”，反比例函数经过点B，且是矩形的“友好函数”． ①如图3．当时，将矩形沿折叠，点B的对应点为E，若点E落在y轴上，求k的值； ②设矩形的周长为L，求L关于k的函数解析式． 【答案】（1）是矩形的“友好函数” （2）①；② 【解析】 【分析】（1）求出反比例函数解析式，并判断D在反比例函数图像上，根据“友好函数”的概念即可得出结论； （2）求出正比例函数，设点， 则，则，根据折叠的性质得，，，延长交y轴与F，根据矩形的性质和等腰三角形的性质和判定可得，，，根据勾股定理列方程并求出m，求出B点坐标，即可求出k； 分两种情况讨论，当时，即，当时，即，再根据矩形周长公式求解即可． 【小问1详解】 解：将点的坐标代入反比例函数表达式得：， 反比例函数的表达式为：， 当时，， 点D在反比例函数图像上， 该函数为矩形的“友好函数”； 【小问2详解】 解：①将点的坐标代入正比例函数表达式得， 正比例函数表达式为， 正比例函数是矩形的“友好函数”， 点C在直线上， 设点， 则， ； 将矩形沿折叠，点B的对应点为E，点E落在y轴上， ，，， 延长交y轴于F， 四边形是矩形， ，， 轴， ，， ， ， ， ， 轴， ，， ， ， 在中，， ， 解得：或， , ， ， ， 当时，， 把代入反比例函数得，； ②当时，即， 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即， ， ， ， ， 当时，， 当时，即时，如图， 设点， 则， ； 将点的坐标代入反比例函数表达式得，即 ， ， 当时，， 综上所述，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数，一次函数，等腰三角形的性质和判定，勾股定理，解一元二次方程，理解“友好函数”，综合运用以上知识求解，运用分类讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $