3.3 幂函数课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.3 幂函数 人教A版2019数学 必修第一册 第三章 函数的概念与性质 函数的概念及其表示 函数的基本性质 函数的单调性与最大值 奇偶性 幂函数 幂函数 函数的应用（一） 函数的应用 本章知识框图 函数的概念 函数的表示法 对勾函数与飘带函数 课标要求 幂函数、指数函数与对数函数是最基本的、应用最广泛的函数，是进一步学习数学的基础。本单元的学习，可以帮助学生学会用函数图象和代数运算的方法研究这些函数的性质；理解这些函数中所蕴含的运算规律；运用这些函数建立模型，解决简单的实际问题，体会这些函数在解决实际问题中的作用。 03 01 02 理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征，能运用数形结合的方法处理幂函数的有关问题. 会画出五个具体幂函数的图象，能利用图象和代数运算的方法得到它们的性质，体会研究一类函 数的基本路径与方法. 课时教学目标 通过生活实例抽象出五个幂函数，能从自变量、函数值及函数解析式的结构等角度归纳共性，抽 象出幂函数的一般形式. 环节一 新课导入 问题1：前面学习了函数的概念，利用函数概念和对图象的观察，研究了函数 的一些性质．你能具体的说说是怎样研究的吗？ 具体函数的图象 函数图象具有的特征 具体特征的符号语言表示 函数单调性的符号表示 函数最值的符号表示 函数奇偶性的符号表示 本节我们继续利用这种方法，结合以上函数性质，研究一类新的函数．先看几个实例． 环节一 新课导入 (1)采购细长木条，木条单价为 1 元 / 分米，截取木条的长度为x分米，则购买木条的总费用元，这里y是x的函数； (2)制作正方形模型底板，底板的边长为a，则正方形底板的面积_______，这里S是a的函数； (3) 加工正方体模型构件，构件的棱长为b，则正方体构件的体积，这里V是b的函数； 校园科技节活动中，高一某科创小组制作木质模型，遇到可以下几个数学问题，请写出下列变量之间的函数关系式. 环节一 新课导入 (4) 裁切正方形薄板作为模型挡板，已知挡板面积为S，需要反求边长下料，则这块正方形挡板的边长，这里c是S的函数； (5)小组要打磨总体积为1单位的模型构件，打磨总耗时为t小时，则平均每小时打磨完成的构件体积，即，这里V是t的函数. 校园科技节活动中，高一某科创小组制作木质模型，遇到可以下几个数学问题，请写出下列变量之间的函数关系式. 环节一 新课导入 问题2：观察这五个函数的解析式，从自变量、函数值和解析式的结构特征看， 它们有什么共性？ 按照习惯的书写方式表示五个解析式 共同特征： ②底数都是自变量 ③指数都是常数 ①都具有幂的形式 ④自变量前的系数为1 幂函数 环节二 新课探究 幂函数定义 一般地，函数 叫做幂函数( ) ，其中为自变量，为常数 说明： 幂函数具体其特定的形式特征 底数必须是单个自变量 x 指数是常数（可以是整数、分数、负数） 前面的系数必须为 1 且后面没有常数项 环节二 新课探究 问题3：有了幂函数的定义，结合初中学习一次函数、二次函数及反比例函数 的经验及前面学习的函数知识，说一说接着应该研究什么？ 具体函数 函数图象 函数性质 定义域 值域 单调性 奇偶性 其他性质 描点法 环节二 新课探究 问题4：请在同一坐标系中画出以上5个幂函数的图象，并完成一下表格？ 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 共性 奇函数 奇函数 偶函数 在R单调递增 环节二 新课探究 追问1：如何画出，的函数图象，结合解析式的结构，你能说出 一些性质吗？ 定义域为R，满足,为奇函数 只需作出的图象即可结合对称性得完整图象 定义域为,非奇非偶函数 描点法作图 当时，由不等式的性质知 随的增大而增大 环节二 新课探究 函数 定义域 值域 奇偶性 单调性 共性 奇函数 奇函数 偶函数 在R单调递增 奇函数 在R单调递增 非奇非偶 , , ，， 的函数图象与性质 函数图象均过点（1,1） 环节二 新课探究 追问2：结合下表，你能总结出这些函数具有哪些共同性质，又有哪些不同性质？ 环节二 新课探究 追问3：由特殊到一般，你能否推出一般幂函数具有哪些性质吗？ 幂函数图象的性质 幂函数图象不过第四象限 时图象恒过点(1,1), (0,0); 时图象恒过点(1,1). 时,图象下凹；时,图象上凸. 在第一象限内，的图象向上与y轴无限接近，向右与x轴无限接近. 环节二 新课探究 追问3：由特殊到一般，你能否推出一般幂函数具有哪些性质吗？ 幂函数奇偶性 当为奇数时，幂函数为奇函数 当为偶数时，幂函数为偶函数; 幂函数单调性 ，在第一象限内递增 ，在第一象限内递减. 前提：定义域关于原点对称 环节三 应用新知 例1 判断证明幂函数是增函数. 分析：利用单调性的定义证明即可，注意定义域优先原则． 证明：函数的定义域是 ,且,有 ∵,, ∴,即幂函数是增函数. 环节四 应用新知——幂函数的概念 例2 【答案】C 变式训练 【答案】D 例2 【答案】B 环节四 应用新知——幂函数的概念 【答案】A 变式训练 环节四 应用新知——幂函数的概念 【答案】ACD 变式训练 环节四 应用新知——幂函数的概念 环节四 应用新知——幂函数的图象问题 例3 【答案】C 环节四 应用新知——幂函数的图象问题 例3 【答案】D 注意：在第一象限，作直线，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列（指大图高）. 【答案】C 变式训练 环节四 应用新知——幂函数的图象问题 变式训练 环节四 应用新知——幂函数的图象问题 变式训练 环节四 应用新知——幂函数的图象问题 环节四 应用新知——幂函数的性质应用 例4 环节四 应用新知——幂函数的性质应用 例4 环节四 应用新知——幂函数的性质应用 变式训练 环节四 应用新知——幂函数的性质应用 例5 环节四 应用新知——幂函数的性质应用 变式训练 环节四 应用新知——幂函数的性质应用 比较幂大小的三种常用方法 环节五 归纳小结 函数 图像 定义域 R R R [0，+∞） (-∞，0)∪(0，+∞) 值域 R [0，+∞） R [0，+∞） (-∞，0)∪(0，+∞) 单调性 在R 上单调递增 在(-∞,0]上单调递减，在[0,+∞）单调递增 在R 上单调递增 在[0,+∞）上单调递增 在(-∞,0)上单调递减，在(0,+∞)上单调递减 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶函数 奇函数 公共点 （1，1） 环节五 归纳小结 环节六 作业布置 巩固作业： 教科书第91页练习1,2,3题 教科书第91页习题3.3第1,2,3题 感谢聆听 通过具体实例，结合 的图象， 理解它们的变化规律，了解幂函数 (1)函数 的图象都通过点(1,1)； (2) 为奇函数， 为偶函数； (4)在第一象限内，函数 的图象向上与y轴无限接近， 向右与x轴无限接近； (3)在区间 上，函数 单调递增， 单调递减； (5)函数图象均不过第四象限； 1、现有下列函数：① ；②；③ ；④ ；⑤ ， 其中幂函数的个数为（    ） A．4 B．3 C．2 D．1 1、下列函数是幂函数的是（    ） A． B． C． D． 2、已知幂函数 与轴没有公共点，则实数 的值为（    ） A． B． C．1 D．3 【详解】幂函数要求 前面系数为， 所以 ，解得： ， ， 当 时： ，函数图象过 ，和 轴有交点，舍去， 当 时： ， ，与 轴没有交点，符合条件. 故 . 2、若幂函数 的图象不过原点且关于原点对称，则（    ） A． B． C． 或 D． 【详解】根据幂函数的概念，得 ，解得或 ， ①若 ，则 ，令 ，其定义域为 ，且 ， 显然幂函数为偶函数，不是奇函数，图象不关于原点对称，不符合题意，舍去； ②若 ，则 ，令 ，其定义域为 ，且 ， 即幂函数为奇函数，图象关于原点对称，符合题意，所以 . 3、已知幂函数 ，则（   ） A．当 为奇函数时， B．当 为偶函数时， C．当 为奇函数时， 在 上单调递减 D．当 为偶函数时， 在 上单调递减 【详解】由幂函数的定义可知 ，即，解得 或 ， 当 时， 为奇函数，且 在 上单调递减，A，C正确； 当 时， 为偶函数，且 在 上单调递减，B错误，D正确． 1、如图所示的幂函数图象对应的解析式可能为（    ） A． B． C． D． 【详解】 为奇函数，图象关于原点对称，A错误； ，当 时， ，故函数在 上单调递增，B错误； 为偶函数，图象关于 轴对称，且在 上单调递减，在 上单调递增，C正确； 为偶函数，且在 上单调递增，D错误． 2.已知幂函数 ， ， ， 在第一象限内的图象如图所示分别是 ， ， ， ，则 ， ， ， 的大小关系是（   ） A． ， B． ， C． D． 幂函数 ， ， ， 在第一象限内的图象 如图所示分别是 ， ， ， ，所以 . 1、在同一坐标系内，函数 和的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【详解】当 时，函数单调递减，且在 轴上的截距 在 上单调递减，所以B，D项错误；对于A，C项，由 单调递增可知 ，则 在 上单调递增，所以A项错误，C项正确.故选C. 2、给定一组函数解析式： ； ； ； ： ； ； 及如图所示的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______． 的定义域为 ，当 时， 对应第6个图象； 是偶函数，图象关于y轴对称，当 时为增函数，且当 时， 对应第4个图象； 的定义域为 ，在 上为减函数，对应第3个图象； 的定义域为 是偶函数，在 上为减函数，对应第2个图象： 的定义域为 ，在 上是增函数，且当 时， ，对应第7个图象； 的定义域为 是奇函数，在 是减函数，对应第1个图象； 是奇函数的应用为R，则 上是增函数，对应第5个图象 2、给定一组函数解析式： ； ； ； ： ； ； 及如图所示的一组函数图象，请按照图象顺序将7个函数解析式依次排序______． 【详解】由幂函数的定义可得 ，则，又 的图象经过点 ，则 ，得 ， 则函数 ，即 在 上为增函数， 若 ，即 ， 则 ，解得 ，则 的取值范围为 ． 1、已知幂函数 的图象经过点 ，若 ，则实数 的取值范围是______． 【详解】幂函数 的定义域为，且函数在 上单调递增， 又 ，则函数 是偶函数，所以 ， 由 得 ，则 ，则 ， 即 ，解得 ， 则不等式 的解集为 ． 2、已知函数 ，则 的解集为______． 【详解】因为函数 是定义在上的增函数， 则由 ，可得 ，解得 ，故实数 的取值范围是 . 由 ，可得 ，解得 ，故实数 的取值范围是 . 若 ，则实数的取值范围是________； 若 ，则实数 的取值范围是________. 【详解】（1）因为函数 在上为减函数，且 ，所以 . （2）因为 ，且函数 在 上为增函数，又因为 ，则 ，所以 . （3）因为 ， ，且函数 在 上为减函数， 又因为 ，则 ，所以 . （4）因为 ， ， ，所以 . 比较幂值大小： (1) 和； (2) 和 ； (3) 和 ； (4) 和 . 【详解】（1）因为 ，所以， 因为幂函数 在 上单调递增，所以 ，即 . （2）因为幂函数 在 上单调递增，且 ，所以 ，即 . （3）因为幂函数 在 上单调递减，且 ，所以 ，即 . 比较幂值大小： (1) 与； (2) 与 ； (3) 与 . $