3.4 函数的应用（一）课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

该高中数学课件聚焦函数应用，核心讲解一次、二次、幂函数及分段函数模型的实际应用。通过问题导入回顾已学函数解析式与性质，搭建从函数概念到应用的学习支架，帮助学生衔接新旧知识。 其亮点在于以生活实例（汽车里程、报刊亭利润等）引导学生用数学眼光观察现实，通过分段函数建模、二次函数求最值培养数学思维，课堂小结的四步流程规范数学语言表达。学生能提升应用能力，教师可获得清晰的教学路径。

第三章 函数的概念与性质 3.4 函数的应用（一） 32100 1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函数思想处理现实生活中的简单应用问题． 学习目标 32100 2 问题2：这些函数具有怎样的性质？这些函数模型有怎样的作用？ 问题1：我们学过哪些函数？你能写出它们的解析式吗？ 问题导入 32100 (1)形如y=ax2+bx+c(a≠0)的函数模型是二次函数模型. (2)二次函数模型是生活中最常见的一种数学模型,依据实际问题建立二次函数的解析式后,利用配方法求最值简单易懂,有时可以依据二次函数的单调性求最值,从而解决最大、最小值等问题. 形如y=kx+b(k≠0)的函数模型是一次函数模型,一次函数的图象为直线,应用一次函数的性质,可以求参数值及函数解析式等. 1.一次函数模型 2.二次函数模型 32100 3.幂型函数模型 4.分段函数模型 (1)分段函数一般由几个函数解析式组成,根据自变量取值范围的不同,由题设确定出不同的函数关系式. 32100 (2)分段函数模型的应用 ①分段函数模型应用的关键是确定分段的各边界点.即明确自变量的取值区间,对每一区间进行分类讨论,从而写出函数解析式,需注意分段函数的最值,是各区间上解析式取得的最大值或最小值. ②要注意结合实际问题的实际意义,有时还可结合图象去求解. 32100 例1 一辆汽车在某段路程中行驶的平均速率 v （单位：km/h）与时间 t （单位：h）的关系如图所示. （1）求图中阴影部分的面积，并说明所求面积的实际含义； （2）假设这辆汽车的里程表在汽车行驶这段路程前的读数为2004 km，试建立行驶这段路程时，汽车的里程表读数 s（单位：km）与时间 t 的函数解析式，并画出相应的图象. 例题讲解 32100 分析:当时间t在[0，5]内变化时，对于任意的时刻t都有唯一确定的行驶路程与之对应. 根据图3.4-1在时间段[0，1)， [1，2)， [2，3)， [3，4)， [4，5]内行驶的平均速率分别为50 km/h，80 km/h，90 km/h，75 km/h ，65 km/h ，因此在每个时间段内，行驶路程与时间的关系也不一样，需要分段表述. 结合右图，你能得出汽车行驶路程关于时间变化的函数解析式吗？ 32100 32100 左侧的结果汽车行驶路程关于时间变化的函数解析式，要得到里程表读数与时间的函数解析式，应该进行如下调整： 32100 里程表读数与时间的函数的图象如图所示： 上图还可以由汽车行驶路程关于时间变化的图像，向上平移2004个单位长度得到. 关联？ 32100 1．审题:（1）设出未知量; （2）找出量与量的关系. 2．建模:建立函数关系式. 3．求解:用数学方法解出未知量. 4．回归实际：检验所求结果是否符合实际并作答. 解函数应用题的方法和步骤： 归纳 32100 例2 某报刊亭从报社买进报纸的价格是每份0.24元，卖出的价格是每份0.40元，卖不掉的报纸可以以每份0.08元的价格退回报社.在一个月(以30天计算)里，有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进的报纸份数必须相同，试问报刊亭摊主应该每天从报社买进多少份报纸，才能使每月所获利润最大. 解：设每天从报社买进x份(250≤x≤400)报纸，每月所获利润是y元，则每月售出报纸共 份，每月退回报社报纸共 份. 依题意得，y＝ . 即y＝ ， 化简得y＝ ，其中250≤x≤400， (20x＋10×250) 10×(x－250) (0.40－0.24)×(20x＋10×250)－(0.24－0.08)×10(x－250) 0.16(20x＋2 500)－0.16(10x－2 500) 1.6x＋800 32100 因为此一次函数的k＝1.6>0， 所以y是一个在定义域内单调递增的函数， 再由250≤x≤400知，当x＝400时，y取得最大值， 此时y＝1.6×400＋800＝1 440(元). 所以买进400份报纸所获利润最大，获利1 440元. y=1.6x＋800 32100 例3 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (1)求平均每天的销售量y(箱)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； 解：根据题意，得y＝90－3(x－50)，化简，得y＝－3x＋240(50≤x≤55，x∈N). (2)求该批发商平均每天的销售利润w(元)与销售单价x(元/箱)之间的函数关系式； 解：因为该批发商平均每天的销售利润＝平均每天的销售量×每箱销售利润. 所以w＝(x－40)(－3x＋240)＝－3x2＋360x－9 600(50≤x≤55，x∈N). 32100 例3 某水果批发商销售每箱进价为40元的苹果，假设每箱售价不得低于50元且不得高于55元.市场调查发现，若每箱以50元的价格销售，平均每天销售90箱，价格每提高1元，平均每天少销售3箱. (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解：因为w＝－3x2＋360x－9 600 ＝－3(x－60)2＋1 200， 所以当x<60时，w随x的增大而增大. 又50≤x≤55，x∈N，所以当x＝55时，w有最大值，最大值为1125. 所以当每箱苹果的售价为55元时，可以获得最大利润，且最大利润为1125元. 32100 实际问题 建立函数模型 问题结果 数学源于生活，用于生活 课堂小结 32100 1. 若一辆匀速行驶的汽车90 min行驶的路程为180 km，则这辆汽车行驶的路程y(单位：km)与时间t(单位：h)之间的函数关系式是(　　) A. y＝2t　 B. y＝120t C. y＝2t(t≥0)　 D. y＝120t(t≥0) D 课堂小结 32100 2.（多选）某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为3 km(不超过3 km按起步价付费)；超过3 km但不超过8 km时，超过部分按每千米2.15元收费；超过8 km时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元．下列结论正确的是(　　) A. 出租车行驶2 km，乘客需付费8元 B. 出租车行驶4 km，乘客需付费9.6元 C. 出租车行驶10 km，乘客需付费25.45元 D. 某人乘出租车行驶5 km两次的费用超过他乘出租车行驶10 km一次的费用 CD 解：行驶2 km，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，A错误；行驶4 km，乘客需付费8＋1×2.15＋1＝11.15(元)，B错误；行驶10 km，乘客需付费8＋2.15×5＋2.85×(10－8)＋1＝25.45(元)，C正确；行驶5 km，乘客需付费8＋2×2.15＋1＝13.30(元)，乘坐两次需付费26.6元，26.6＞25.45，D正确． 32100 3.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(单位：万元)与药品利润y(单位：万元)存在的关系为y＝xα(α为常数)，其中x不超过5万元．已知去年投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，若今年广告费用投入5万元，预计今年药品利润为______万元． 解：由已知投入广告费用为3万元时，药品利润为27万元，代入y＝xα中，即3α＝27，解得α＝3，故函数关系式为y＝x3，所以当x＝5时，y＝125. 125 课堂小结 32100 一次函数： 反比例函数： 二次函数： 幂函数： 分段函数： 形如 这样的函数. (1)　 (2)阴影部分的面积为： 因此阴影部分的面积表示汽车在这5 h内行驶的路程为360 km． 当 时， 直线 左侧的阴影部分是一个 长方形，长是t，宽是50， 此时路程 ． 当 时， 直线 左侧的阴影部分是两个 长方形，一个长是1，宽是50， 另一个长是 ，宽是80， 此时路程 ． 得到结论 路程 里程表读数与时间的函数解析式 $