江苏连云港市部分校2026-2027学年第一学期10月份教学质量检测高三数学试卷

2026~2027学年度高三第一学期10月份学情检测 数学试题 (考试时间：120分钟分值：150分) 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.测试范围：集合、简易逻辑、不等式、函数与导数、空间向量与立体几何、三角恒等变换、三角 函数、解三角形、概率。 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的) 1.已知集合A={2,3,4,B={xx°-2x-3≤0}，则集合A∩B的子集个数为 A.2 B.4 C.8 D.16 2.已知角a的终边经过点P(-1,2),则sina+sin 43⑤ B V3 D.-25 5 5 3 3.己知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=2-a,则f(2)= A.-1 D.1 4.若函数f(x)=1og。x(a>0且a≠1)在[1,2]上的最大值与最小值的和为2，则a= B.2 cv2 D.2 2 5.在△4BC中，B=元，BC边上的高等于上BC,则cos4= 4 A.、f0 B.、V5 c.v10 D.⑤ 10 5 10 5 数学试题第1页（共4页） 6.为了贯彻落实《中共中央国务院关于深入打好污染防治攻坚战的意见》，某造纸企业的污染治理科研 小组积极探索改良工艺，使排放的污水中含有的污染物数量逐渐减少.已知改良工艺前所排放废水中含有 的污染物数量为2.25g/m,首次改良工艺后排放的废水中含有的污染物数量为2.2g/m3,第n次改良工艺 后排放的废水中含有的污染物数量n满足函数模型=+(G-)35m#(t∈R,n∈N),其中为改良工 艺前所排放的废水中含有的污染物数量，1为首次改良工艺后所排放的废水中含有的污染物数量，为改 良工艺的次数，假设废水中含有的污染物数量不超过0.25g/3时符合废水排放标准，若该企业排放的废水 符合排放标准，则改良工艺的次数最少要（参考数据：g2≈0.30，lg3≈0.48） A.14次 B.15次 C.16次 D.17次 7.已知正三棱台ABC-A8C的体积为28 AB=4,AB,=2,则AA与平面ABC所成角的正切值为 A月 B.1 C.2 D.3 Inx+x,x>1 8.已知函数f(x) 2xmx+m ,x ,若g(x)=f(x)-2m有三个零点，则实数m的取值范围是 4 B.(3] D3 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求 全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,C,则下列判断正确的是 A.若A>B,则sinA>sinB B.若a2+b2>c2,则c为钝角 C.若sn2A=sin2B,则△ABC为直角三角形 D.若△ABC为斜三角形，则tanA+tanB+tanC=tan AtanBtanC 10.已知函数f=+x- ,其中x∈R,则 e" A.函数f()有2个零点 B.不等式f(x)≥-e对x∈R恒成立 C.若关于x的方程f()=k有且只有两个实根，则k的取值范围为(-，O] D.方程f(f(x)=-1共有4个实根 数学试题第2页（共4页） 11.在棱长为2的正方体ABCD-ABC1D中，点M,N分别是BC,DD的中点，点P是底面正方形ABCD 内的动点（包括边界），则下列选项正确的是 A.AC⊥BC B.平面AMN截正方体所得截面的周长为5V5+V厅 2 C.满足NWP∥平面ABC,的点P的轨迹长度是1 9 D.四面体BCDW的外接球的体积是一π 三、填空题（本大题共3个小题，每小题5分，共15分，把正确答案填在题中横线上） 12.若直线y=2x+4是曲线y=e"+x+a的一条切线，则a=▲一 13.己知函数f(x)=tan wx+号 (@>0)在(0，π)上单调递增，则o的取值范围为▲ π 14已知3cos(ar-P)+cos(a+p)=2sin ,其中a,B均为锐角，则tan(a-B)的最大值为▲ sin B 四、解答题（本大题共5个小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 15.(本小题满分13分)已知a,b,c分别为△ABC的三个内角A,B,C的对边，且asin B+√3 bcos A=0. (1)证明：△ABC为钝角三角形： (2)若a=3,且△4BC的面积为V3,求△4BC的周长. 2 16.(本小题满分15分)已知f(x)=2√3 sinxcosx-+2cos'x, (1)求f(x)的最小正周期： (2)若f()=2气 3 元π (6’2 求sin2x,的值： (3)求函数f(x)在[0，π上的单调递增区间. 数学试题第3页（共4页） 17.(本小题满分15分)本市某制药企业有甲、乙两个研发小组，甲组有3名女性和4名男性成员，乙组有 1名女性和2名男性成员.为公平竞争，现从甲组任选2名成员加入乙组， (1)记随机变量X表示从甲组选出的男性成员个数，求X的概率分布与数学期望： (2)调整后从乙组任选2名成员，求他们均为男性成员的概率. 18.(本小题满分17分)在三棱台ABC-DEF中，G为AC中点，AC=2DF,AB⊥BC,BC⊥CF. (1)求证：BC⊥平面DEG; (2)若AB=BC=2,CF上AB,平面EG与平面ACFD所成二面角大小为}，求三棱锥Z-DG的体 积 F E A G 19.(体小题满分17分)已知函数fx=2+alnxa∈R). (1)讨论函数(x)的单调性： (2)若函数8)=f)+-2,x∈L,日的最小值为2-2n2,求a的值： (3)证明：当a=1时，+x2-x> 1 2 2 数学试题 第4页（共4页）2026~2027学年度高三第一学期10月份学情检测参考答案 1-4.BACD 5-8.BCCC 9.AD 10.ABD 11.ABD 12.3 1( 14.② 4 15.(1)因为asin B+√5 bcosA=0, 由正弦定理，得sin Asin B+√3 sin Bcos A=0, 2分 因为B∈(0，π)，所以sinB>0,所以√3cosA+sinA=0, 故anA=-V5,由A∈(0，x),得A=2π 5分 3 2)）由三角形面积公式得：及accs血4=9 2 代入4号得：cc月5解得c=2: 8分 22 由余弦定理得：a2=b2+c2-2 bccos A, 代入a=3,A-经，kc=2得：9=2+c2-2c× 10分 所以9=(b+c2-4+2,即(b+c2=11, 又因为b+C>0,所以b十C=√1,12分 所以△ABC的周长为Cc=Q+b+C=3+VT.13分 16.(1)易知f(x)=V3sin2x+cos2x+1 =2m2+w2 =2n2x+}+1, 3分 所以f(x)的最小正周期T= =兀 …4分 2 2)因为f)即2n2x+引+1- 所以2+引 5分 数学试题 第1页（共4页） 又%后引所以2x+[传）】 所以o2x+8)-2x+哥四 7分 所以n2=m[2+周周-sm2x+君a云w侧2红+引m君 10分 8 (3)令-T+2kr≤2x+严s花+2kr,k∈Z 6-2 解得-元+kπSX≤元十k元，KZ…12分 3 6 当=0时，晋s 6 13分 当k=1时， 2元≤x 7π 14分 6 所以函数因在D,上的单酒透物区间内[0得引[管灯] 15分 17.(1)由题可知，随机变量X可能的取值有0，l,2,… 1分 2分 3分 .4分 Px-2列g-月 X的分布列为 X 0 2 1 7 2-7 5分 28 所以E(X)=0×+1×4+2×2 77 7分 数学试题第2页（共4页） (2)设B表示“2名成员均为男性成员”，A表示“甲组选出的2名女性成员”，A表示“甲组选出的1名女 性成员和1名男性成员”，A表示“甲组选出的2名男性成员”， 则P(4)-7P氏6)-手P氏4)-子 9分 C-6 11分 P(B)=P(4B)+P(4B)+P(4B) =P(4)P(BIA)+P()P(BI4)+P(4)P(BI4) 片品+品+8-品 15分 18.(1)在三棱台ABC-DEF中，G为AC中点，则AC=2GC, 又AC=2DF,GC=DF, :ACIIDF,.四边形GCFD为平行四边形，∴DGIICF, 又BC⊥C℉，.BC⊥DG,2分 :DEI∥AB,AB L BC,.BC⊥DE, 3分 :DE∩DG=D,DE,DGC平面DEG,∴.BC⊥平面DEG.… 5分 (2)CF⊥AB,DGIICF,.DG⊥AB, 又DG⊥BC,AB∩BC=B,AB,BCC平面ABC,.DG⊥平面ABC, 连接BG,AB=BC=2,AB L BC,G为AC中点，GB⊥AC;7分 以{GB,GC,GD}为正交基底，可建立如图所示空间直角坐标系G-z, D E A G x 则G(00,0),B(2,0,0）,A0,-√2,0)，C(0,2,0), 设DG=CF=m(m>0),则D(0,0,m),F(0,N2,m), 质-m,e-而号丽-a+0(号号小 GF=(0,2,m）,9分 致子风题 弟3贝（共4贝） 设平面EFG的一个法向量为n=(x,y,z), 则 nG正=2x+ 2x+ y+=0,令=万，解得：y=m,x=m,i=(mm-同列)： i.GF=√2y+mz=0 又平面ACFD的一个法向量m=(1,0,0),12分 m 2m+22解得：m=1,即DG=l, m 1 14分 :DG⊥平面ABC,平面ABC∥平面DEF,.DG⊥平面DEF, 业m=%aer-兮S.mDG=-xx 1 3*2x1x1x1= 17分 19.解：由通数/网=子+nx,可得其定义域为Q+,可得了)=子。 ①当a≤0时，若x>0,ax-2<0恒成立，x2>0恒成立， 可得∫(x)<0,所以∫(x)在(0，+∞)内单调递减：1分 回当a>0时，令0，x-2>0,可得x>子令k0得：0 。 所以f(x)在0,2)内单调递减，在2，+切内单调递增， 3分 综上所述，当a≤0时，f(x)在(0，+∞)内单调递减： 当a>0时，f()在0,3)内单调递减，在2，o 2 内单调递增. 4分 a a (2)解：由函数g树=f+-子=ahx+,xe,l,可得g=a+2 ①当a>0时，g(x)>0在区间l,]上恒成立，g(x)区间[l,e]上单调递增， 所以g(x)mm=g(I)=1≠2-21n2(舍去)： 5分 ②当a<0时，令g)=a+2父=0，可得x= 2 (i)当2 1时，即-2≤a<0,g(x)区间[l,]上单调递增，g(x)mn=g()=1≠2-2ln2(舍)：.6分 )当1<是<e时，即-2e2<a<-2, g)区间肌，√受上单调递减，在区间(24上单调递增， 所以g=8√)-=n(-受-=2-2h2: 2 令函数h()=-tnt+t,t∈(L,e2),可得h)=-lnt<0, 双子瓦题弟4贝（共4贝） 所以函数h()为单调函数，所以-=2，解得a=-4, 故关于a的方程号(-受-号=2-2n2的解为a=4: 9分 (i)当， g≥e时，即a≤-2e2,g(x)区间[l,e]上单调递减， 所以g(x)mn=g(e)=a+e2=2-ln2,解得a=2-2ln2-e2>-2e2(舍去)： 综上所述，实数a的值为-4. 10分 (3)证明：当a=1时，f=2+nx, 1 要证2+xlnx+2-x>)即证xhx+x-x+2) 记函数m=xhx+5-x+号，定义域为0，+o, 3 2 2 11分 可得m'(x)=nx+x,令p(x=m'(x)=lhx+x,x∈(0，+oo), 由p()=上+1>0，可得m(x)在(0，+o)为单调增函数， 因为m白=-1+<0，且m0=1>0, e 所以存在x。∈（仁，1），使得m'()=0,13分 令p(x)=0,则x=x且hx=-x, 当x∈(0，xo)时，m(x)<0,m(x)单调递减： 当x∈(xo,+∞)时，m(x)>0,m(x)单调递增： 1 3 所以m)≥m,)=x血+22-名+ 14分 将a戏=%代入得因2气+-%+号方-x+号其中%很 31 15分 3 故x,)=-2-名+2>n0=0,即m>0 2 故当a=1时，对+5x-x> 1 2 2 17分 数学试题 第5页（共4页）