5.4.3 正切函数的性质和图像讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

5.4.3 正切函数的性质与图像 知识点一、正切函数的图像和性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增 无单调递减区间 对称性 对称中心(k∈Z) 无对称轴 知识点二、三点两线法画正切曲线的简图 先描，（0，0），三点，再画，两条平行线，最后用平滑的曲线顺次连接这三点画出图像，这种方法称为“三点两线法”. 知识点三、正切型函数的性质 正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)（A≠0，ω≠0）的性质如下： （1）定义域：将ωx＋φ视为一个整体，令ωx＋φ(k∈Z)，求出其定义域. （2）值域：R （3）周期性：周期函数，最小正周期. （4）奇偶性：当φ=(k∈Z)时为奇函数，否则不具备奇偶性. （5）单调性：将ωx＋φ视为一个整体，由(k∈Z)求得其单调区间. （6）对称性：图像的对称中心的横坐标由ωx＋φ=(k∈Z)求得x=，即对称中心的坐标为(k∈Z)；其图像无对称轴. 题型一：正切函数的图像及应用 例1.如图所示的图形分别是①，②，③，④在内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是（ ） A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 解：，其图象在轴上及其上方，只有图象a符合，即a对应①；在区间内的图象为b，即b对应②；，在区间上单调递减，只有图象d符合，即d对应③；只有图象c符合，即c对应④.故选：D. 例2.已知函数的部分图象如图所示，则ωφ＝（　　） A． B． C． D． 解：由图知f（x）的最小正周期，所以， 又，所以．因为，所以，所以． 故选：D． 跟踪训练： 1.函数在一个周期内的图象是（ ） 解：一看周期：，锁定、项. 二代点：代入项的，发现符合，代入项的，发现不符合.故选：A. 2.已知，部分图象如图，则f（）＝（　　） A．2 B． C． D． 解：由题意可得，得ω＝2，∴f（x）＝Atan（2x+φ）， 又图象过点，，又，， ∴．又图象过点（0，1），即，故A＝1，∴， 则f（）＝tan（）2．故选：D． 3.已知函数的部分图象如图，则（　　） A． B． C． D． 解：由函数的图象知，，解得T，所以， 把代入解析式得，tan（φ）＝0，解得φ＝kπ，k∈Z， 因为，取k＝1，得， 所以，则． 故选：B． 题型二：求正切函数的定义域和周期 例1.（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 解：（1）要使函数有意义，自变量的取值应满足，， 得，，所以函数的定义域为. 故答案为：. （2）由题意可得，即， 所以，所以， 所以函数的定义域为. 故答案为：. 例2.函数的最小正周期为 . 解： 其图象如图所示.由图象知其最小正周期为.故答案为：. 跟踪训练： 1.已知函数的最小正周期为π，则ω为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 解：函数的最小正周期为π，由题意可得，解得ω＝1． 故选：A． 2.函数y＝tan（2x）的定义域为　 　． 解：要使函数的解析式有意义自变量x须满足：kπ，k∈Z 解得：，故函数的定义域为 故答案为. 3.函数f（x）＝3tan（4x）的定义域为　 　． 解：由题意得4x，k∈Z，所以x，k∈Z． 故答案为：{x|x，k∈Z}． 4.若直线与函数图象相邻两个交点之间的距离为，则的值是 　． 解：类比正切函数的图象可知，直线被函数的图象所截得的每段线段的长度为一个周期长度，由此可得周期，则，则.故答案为：0. 5.函数f（x）的定义域为　 　． 解：∵函数f（x）， ∴tanx≥1，且 x2≤1，即 kπx＜kπ，k∈z，且﹣1≤x≤1． 解得 x≤1.故答案为[，1]． 6.已知函数的最小正周期是2，则ω＝　　 ；此时函数f（x）的定 义域为　　 ． 解：因为函数f（x）＝tan（ωx）的最小正周期是T2，解得ω＝±； ω时，f（x）＝tan（x），令xkπ，解得x2k，k∈Z； ω时，f（x）＝tan（x）＝﹣tan（x），令xkπ，解得x2k，k∈Z；所以f（x）的定义域是{x|x2k且x2k，k∈Z}． 故答案为：±；{x|x2k且x2k，k∈Z}． 7.已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则　　． 解：函数的相邻两个零点之间的距离是，∴ω＝3， f（x）＝tan（3x），则tantan1，故答案为：1． 8.函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则ω的值 是　　 ． 解：由题意知函数f（x）＝tanωx的最小正周期为，∴，∴ω＝8．故答案为：8． 题型三：正切型函数单调性问题及应用 例1.求函数的单调递增区间． 解：对于函数， 由，解得， 所以函数f（x）的单调递增区间为． 例2.比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： ①tan ________tan ； ②tan ________tan(). 解：①tan ＝tan ，且0<<<， 又y＝tan x在(0，)上单调递增， 所以tan <tan ，即tan <tan . ②tan ＝tan ，tan()＝tan ， 因为0<<<，又y＝tan x在(0，)上单调递增， 所以tan <tan ，则tan <tan(). 例3.当x∈[0，]时，函数y＝tan（2x）的值域为　 ． 解：∵x∈[0，]，∴2x∈[0，]，2x∈[，]， 则tan（）≤tan（2x）≤tan，即﹣1≤tan（2x）≤1， 即函数的值域为[﹣1，1].故答案为：[﹣1，1]. 跟踪训练： 1.tan1、tan2、tan3的大小顺序是　 　． 解：∵，根据正切函数的性质可得：y＝tanx在（）单调递增, ∴tan2＜tan3＜0，tan1＞0，tan1＞tan3＞tan2. 故答案为：tan1＞tan3＞tan2. 2.函数y＝tan（x）的单调递增区间是　 ． 解：令，（k∈Z）；整理得：，（k∈Z）； 故函数的单调递增区间为（），（k∈Z）． 故答案为：（），（k∈Z）． 3.比较大小：tan45　 　tan31°（填“＞”或“＜”）． 解：因为0＜31°＜45°＜90°，且正切函数y＝tanx在（0，90°）上单调递增， 所以tan45°＞tan31°．故答案为：＞． 4.函数y＝tan（），x∈（0，]的值域是　（1，]　 ． 解：由x∈（0，]，∴∈（，]结合正切函数的性质可得：1＜y． 故答案为：（1，]． 5.已知函数，则其（ ） A.单调递增区间为 B.单调递增区间为 C.单调递减区间为 D.单调递减区间为 解：在函数中，令， 解得, 故函数的单调递增区间为, 故函数的单调递减区间为.故选：C. 6.(多选)下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 解：，， 因为，所以，即.故A正确. 因为，，所以，，所以.故B正确. 因为，正切函数在区间上单调递增，所以.故C错误. 因为，且，正切函数在区间上单调递增，所以，即.故D正确.故选：ABD. 7.求下列函数的值域： （1）； （2）. 解：（1）令，则， 故， 所以函数的值域为. （2）.因为，所以， 所以，所以， 所以，故函数的值域为. 题型四：正切函数的奇偶性和对称性的应用 例1.已知函数为奇函数，则的最小正值是 . 解：函数为奇函数的充要条件为。由，得的最小正值为。故答案为：。 例2.（多选题）函数图象的对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 解：对于函数，令，得， 所以图象的对称中心为。 令，得对称中心为； 令，得对称中心为； 令，得对称中心为； 若，则，故对称中心不可能是。故选：ABC. 跟踪训练： 1.函数图象的对称中心可能是（　　） A． B． C．（，0） D． 解：由正切函数的对称中心可得2x，k∈Z，解得x，k∈Z， 将所给的选项代入代数式，有k为整数即可，只有x，此时k＝0．故选：C． 2.函数图象的对称中心坐标为（　　） A． B． C． D． 解：令2x，k∈Z，解得x，k∈Z， 所以f（x）图象的对称中心坐标为，C项符合题意． 故选：C． 3.已知，满足，则　　 ． 解：令，则为奇函数。 又，所以。所以，所以。 故答案为：-5. 4.若曲线的一个对称中心为，则ω的最小值为　　 ． 解：因为曲线y＝2tan（ωx）的一个对称中心为， 即ω，解得ω＝3k+2，k∈Z；又因为ω＞0，所以ω的最小值为2． 故答案为：2． 1.函数y＝tan(2x+)的最小正周期为(　　) A．2π B．π C. D. 解：根据周期公式计算得T＝＝.故选：C. 2.函数y＝－2＋tan(x+)的单调递增区间是(　　) A. ，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 解：由－＋kπ<x+<＋kπ，k∈Z，解得－＋2kπ<x<＋2kπ，k∈Z.故选：A. 3.函数y＝tan（2x）的图象的一个对称中心的坐标为（　　） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0） 解：∵y＝tanx的对称中心为（，0），∴函数y＝tan（2x）图象的对称中心为（，0）（k∈Z）．当k＝1时，（，0）为函数y＝tan（2x）的图象的一个对称中心． 故选：A． 4.函数y＝tan（）（且x≠0）的值域是（　　） A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．（﹣∞，1） D．[﹣1，+∞） 解：∵且x≠0，∴且x， ∴y＝tan（）∈（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）.故选：B． 5.比较大小：tan  tan . 解：因为tan ＝tan ，tan ＝tan ，又0<<<， y＝tan x在[0，）内单调递增，所以tan <tan ，即tan <tan .故答案为：>. 6.求函数y＝﹣tan（2x）的定义域　 　． 解：由题意可得2xkπ，解得x， ∴函数的定义域为{x|x，k∈Z}.故答案为：{x|x，k∈Z}. 7.函数y＝tan（3x）的最小正周期是 　，单调递增区间是　 　． 解：因为y＝tan（3x），所以T＝， 令－＋kπ<3x＋<＋kπ，k∈Z，－<x<＋，k∈Z， 所以函数y＝tan（3x）的单调递增区间是，k∈Z. 故答案为：，k∈Z. 8.若tan（2x）≤1，则x的取值范围为：　 　． 解：由tan（2x）≤1，可得kπ2xkπ，k∈Z， 求得x，∴x的取值范围为（，]，k∈Z， 故答案为：（，]，k∈Z． 1.函数f(x)＝sin xtan x(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 解：f(x)的定义域为，关于原点对称， 又f(－x)＝sin(－x)·tan(－x)＝sin x·tan x＝f(x)，∴f(x)为偶函数．故选：B. 2.函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为.则ω的值是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 解：由题意可得f(x)的最小正周期为，则＝，又∵ω>0，∴ω＝4.故选：C. 3.(多选)与函数y＝tan（2x）的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－ 解：令2x－＝＋kπ，k∈Z，得x＝＋，k∈Z， ∴直线x＝＋，k∈Z与函数y＝tan（2x）的图象不相交， ∴令k＝－1，x＝－.k＝0，x＝.故选：AD. 4.下列区间中，函数单调递减的区间是（　　） A． B． C． D．（0，π） 解：， 因为tanu的递增区间为， 而f（x）的递减区间对应的递增区间， 所以令：，解得（k∈Z）， 当k＝0时，单调递减区间为．故选：A． 5.若函数的图象的两个对称中心的最短距离为，则的值为 （　　） A． B． C． D． 解：∵函数的图象的两个对称中心的最短距离为， ∴T2π，∴ω＝1，∴f（x）＝tan（x）， ∴tan（）2．故选：A． 6.若函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）图象的一个对称中心为，且最小正 周期为，则该函数的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 解：因为最小正周期为，所以ω＝4，f（x）＝tan（4x+φ）， 令，则， 又函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）图象的一个对称中心为， 所以，令k＝1可得，所以．故选：B． 7.已知函数f（x）＝4tan（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则不正确的 是（　　） A． B．f（x）的图象与y轴的交点坐标为 C．ω＝2 D．函数y＝f（x）的图象关于点对称 解：由函数的图象知最小正周期为T，则，解得ω＝2，选项C正确； 所以f（x）＝4tan（2x+φ），由2φ＝kπ，k∈Z，解得φ＝kπ，k∈Z，又因为0＜φ＜π，所以k＝1，φ，选项A错误； 由题意知f（x）＝4tan（2x），则f（0）＝4tan，选项B正确； 因为函数y＝tanx的对称中心（，0），k∈Z，由，则函数关于点对称，选项D正确．故选：A． 8.函数y＝的定义域为 ． 解：令1－tan x≥0，即tan x≤1，由正切函数的图象知＋kπ<x≤＋kπ，k∈Z. 故答案为：. 9.函数的单调递增区间为　 　． 解：对于函数，由， 可得，所以函数f（x）的单调递增区间为． 故答案为：． 10.若tan（x）＞1，则x的取值范围是　 　． 解：画出正切函数的图象如图：因为tan（x）＞1，所以kπxkπ（k∈Z）， 解得kπxkπ（k∈Z），所以x的取值范围是（k∈Z）， 故答案为：（k∈Z）． 11.函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域 　． 解：∵≤x≤，∴－1≤tan x≤1. 令tan x＝t，则t∈[－1,1]，∴y＝－t2＋4t＋1＝－(t－2)2＋5. ∴当t＝－1，即x＝时，ymin＝－4，当t＝1，即x＝时，ymax＝4. 故所求函数的值域为[－4,4]．故答案为：[－4,4]． 12.已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则ω的取值范围为 　． 解：∵y＝tan ωx在内单调递减，∴ω<0且T＝≥π，∴－1≤ω<0. 故答案为：[－1，0) 13.求函数y＝tan（3x）的定义域、值域，指出它的周期性、单调性． 解：由于函数y＝tan（3x），可得 3xkπ，k∈z，求得x，k∈z， 故函数的定义域为{x|x，k∈z}． 由函数的图象特征可得它的值域为R，函数的周期为． 令kπ3xkπ，k∈z，求得 x，k∈z， 故函数的增区间为（， ），k∈z． 14.设函数f(x)＝tan. （1）求函数f(x)的最小正周期、对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图． 解：（1）∵ω＝，∴最小正周期T＝＝＝3π. 令(k∈Z)，得x＝π＋(k∈Z)， ∴f(x)的对称中心是(k∈Z)． (2)令＝0，则x＝π； 令＝，则x＝； 令＝，则x＝. 从而得到函数y＝f(x)在一个周期内的简图(如图)． 15.已知函数f（x）tan（2x）， （1）求函数f（x）的定义域； （2）求函数g（x）＝f（x）的单调区间及对称中心． 解：（1）∵函数f（x）tan（2x）， ∴2xkπ，k∈Z， 解得x，k∈Z， ∴函数f（x）的定义域{x|x，k∈Z}； （2）∵函数g（x）＝f（x）tan（2x）， 令kπ＜2xkπ，k∈Z， 解得x，k∈Z， ∴g（x）的单调区间是（，），k∈Z， 令2xkπ，k∈Z，解得x，k∈Z， ∴函数g（x）的对称中心是（，0），k∈Z． 16.已知函数． （1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期； （2）若f（x）在区间上有定义． （i）求ω的最大值； （ⅱ）若曲线y＝f（x）至少有两个对称中心在区间（0，π）上，求ω的取值范围． 解：（1）当ω＝2时，，则； （2）（i）当时，，ω＞0， 若f（x）在上有定义，则， 解得ω≤1，故ω的最大值为1； （ii）令，k∈Z， 解得，k∈Z， 则在区间（0，π）上至少有两解， 故至少存在两个k值使0＜3k﹣2＜6ω， 故至少有k＝1，2两个取值， 所以，综上，ω的范围为． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 5.4.3 正切函数的性质与图像 知识点一、正切函数的图像和性质 解析式 y＝tan x 图象 定义域 值域 R 最小正周期 π 奇偶性 奇函数 单调性 在每一个区间(k∈Z)上都单调递增 无单调递减区间 对称性 对称中心(k∈Z) 无对称轴 知识点二、三点两线法画正切曲线的简图 先描，（0，0），三点，再画，两条平行线，最后用平滑的曲线顺次连接这三点画出图像，这种方法称为“三点两线法”. 知识点三、正切型函数的性质 正切型函数y＝Atan(ωx＋φ)（A≠0，ω≠0）的性质如下： （1）定义域：将ωx＋φ视为一个整体，令ωx＋φ(k∈Z)，求出其定义域. （2）值域：R （3）周期性：周期函数，最小正周期. （4）奇偶性：当φ=(k∈Z)时为奇函数，否则不具备奇偶性. （5）单调性：将ωx＋φ视为一个整体，由(k∈Z)求得其单调区间. （6）对称性：图像的对称中心的横坐标由ωx＋φ=(k∈Z)求得x=，即对称中心的坐标为(k∈Z)；其图像无对称轴. 题型一：正切函数的图像及应用 例1.如图所示的图形分别是①，②，③，④在内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是（ ） A.①②③④ B.①③④② C.③②④① D.①②④③ 例2.已知函数的部分图象如图所示，则ωφ＝（　　） A． B． C． D． 跟踪训练： 1.函数在一个周期内的图象是（ ） 2.已知，部分图象如图，则f（）＝（　　） A．2 B． C． D． 3.已知函数的部分图象如图，则（　　） A． B． C． D． 题型二：求正切函数的定义域和周期 例1.（1）函数的定义域为 . （2）函数的定义域为 . 例2.函数的最小正周期为 . 跟踪训练： 1.已知函数的最小正周期为π，则ω为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2.函数y＝tan（2x）的定义域为　 　． 3.函数f（x）＝3tan（4x）的定义域为　 　． 4.若直线与函数图象相邻两个交点之间的距离为，则的值是 　． 5.函数f（x）的定义域为　 　． 6.已知函数的最小正周期是2，则ω＝　　 ；此时函数f（x）的定 义域为　　 ． 7.已知函数的相邻两个零点之间的距离是，则　　． 8.函数f（x）＝tanωx（ω＞0）的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则ω的值 是　　 ． 题型三：正切型函数单调性问题及应用 例1.求函数的单调递增区间． 例2.比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空)： ①tan ________tan ； ②tan ________tan(). 例3.当x∈[0，]时，函数y＝tan（2x）的值域为　 ． 跟踪训练： 1.tan1、tan2、tan3的大小顺序是　 　． 2.函数y＝tan（x）的单调递增区间是　 ． 3.比较大小：tan45　 　tan31°（填“＞”或“＜”）． 4.函数y＝tan（），x∈（0，]的值域是　　 ． 5.已知函数，则其（ ） A.单调递增区间为 B.单调递增区间为 C.单调递减区间为 D.单调递减区间为 6.(多选)下列各式正确的有（ ） A. B. C. D. 7.求下列函数的值域： （1）； （2）. 题型四：正切函数的奇偶性和对称性的应用 例1.已知函数为奇函数，则的最小正值是 . 例2.（多选题）函数图象的对称中心可以是（ ） A. B. C. D. 跟踪训练： 1.函数图象的对称中心可能是（　　） A． B． C．（，0） D． 2.函数图象的对称中心坐标为（　　） A． B． C． D． 3.已知，满足，则　　 ． 4.若曲线的一个对称中心为，则ω的最小值为　　 ． 1.函数y＝tan(2x+)的最小正周期为(　　) A．2π B．π C. D. 2.函数y＝－2＋tan(x+)的单调递增区间是(　　) A. ，k∈Z B.，k∈Z C.，k∈Z D.，k∈Z 3.函数y＝tan（2x）的图象的一个对称中心的坐标为（　　） A．（，0） B．（，0） C．（，0） D．（，0） 4.函数y＝tan（）（且x≠0）的值域是（　　） A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．（﹣∞，1） D．[﹣1，+∞） 5.比较大小：tan  tan . 6.求函数y＝﹣tan（2x）的定义域　 　． 7.函数y＝tan（3x）的最小正周期是 　，单调递增区间是　 　． 8.若tan（2x）≤1，则x的取值范围为：　 　． 1.函数f(x)＝sin xtan x(　　) A．是奇函数 B．是偶函数 C．是非奇非偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 2.函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象上的相邻两支曲线截直线y＝1所得的线段长为.则ω的值是(　　) A．1 B．2 C．4 D．8 3.(多选)与函数y＝tan（2x）的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ B．x＝－ C．x＝ D．x＝－ 4.下列区间中，函数单调递减的区间是（　　） A． B． C． D．（0，π） 5.若函数的图象的两个对称中心的最短距离为，则的值为 （　　） A． B． C． D． 6.若函数f（x）＝tan（ωx+φ）（ω＞0，φ＞0）图象的一个对称中心为，且最小正 周期为，则该函数的解析式可能为（　　） A． B． C． D． 7.已知函数f（x）＝4tan（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的部分图象如图所示，则不正确的 是（　　） A． B．f（x）的图象与y轴的交点坐标为 C．ω＝2 D．函数y＝f（x）的图象关于点对称 8.函数y＝的定义域为 ． 9.函数的单调递增区间为　 　． 10.若tan（x）＞1，则x的取值范围是　 　． 11.函数y＝－tan2x＋4tan x＋1，x∈的值域 　． 12.已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则ω的取值范围为 　． 13.求函数y＝tan（3x）的定义域、值域，指出它的周期性、单调性． 14.设函数f(x)＝tan. （1）求函数f(x)的最小正周期、对称中心； （2）作出函数f(x)在一个周期内的简图． 15.已知函数f（x）tan（2x）， （1）求函数f（x）的定义域； （2）求函数g（x）＝f（x）的单调区间及对称中心． 16.已知函数． （1）若ω＝2，求f（x）的最小正周期； （2）若f（x）在区间上有定义． （i）求ω的最大值； （ⅱ）若曲线y＝f（x）至少有两个对称中心在区间（0，π）上，求ω的取值范围． 1 学科网（北京）股份有限公司 $