5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类讲义-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册同步知识·题型解题秘籍

本高中数学讲义聚焦正切函数的性质与图象，系统梳理正切函数的定义域、值域、周期性等基本性质，延伸至正切函数型y=Atan(ωx+φ)的性质，并通过7大题型构建从基础到应用的学习支架。 资料以题型分类为特色，每个题型配备方法指导与典型例题，如用整体代换法求定义域、单调性，培养学生逻辑推理能力与运算能力。结合高考真题与阶段检测题，课中辅助教师教学，课后助力学生查漏补缺，提升应用意识。

2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类 一、正切函数的图象 二、正切函数的性质 1．定义域：， 2．值域：R 3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即． 5．单调性：在开区间内，函数单调递增 三、正切函数型的性质 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 4、周期： （一） 正切函数的定义域、值域问题 (1)求正切函数定义域的方法 ①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. ②求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.　 (2)求正切函数值域的方法 ①对于y＝Atan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． ②对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域 题型1：正切函数的定义域问题 1．（2026高一·天津·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由题意，结合正切函数的定义域，代入求解即可得答案. 【详解】由题意得， 则，解得. 故选：C 2．（2026高一·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数的定义域，利用整体思想，建立不等式，可得答案. 【详解】由题意可得：，解得， 函数的定义域为. 故选：A. 3．（假期必刷14三角函数的图象与性质）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】要使函数有意义，则，即，所以函数的定义域为． 4．（2026高一·河南·阶段检测）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】使用正切函数的图象与性质求解. 【详解】令，得，解得，， 所以定义域为：， 5．（2026高一·辽宁·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助正切函数性质计算即可得. 【详解】， 由题意，，， 所以，. 6．（2026高一·全国·课堂例题）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，，解得，在内，满足上述不等式的的取值范围是， 又的周期为，所以所求函数的定义域为. 7．（2026高一·辽宁沈阳·阶段检测）在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据对数函数及正切函数的性质即可求得函数的定义域. 【详解】，又， ， 所以函数的定义域是. 题型2：正切函数的值域问题 8．（2026高一·上海·课后作业）函数的值域为___________． 【答案】 【分析】先求出的取值范围，再结合二次函数性质得值域． 【详解】∵，∴， ， ∴时，，时，，∴所求值域为． 故答案为：． 【点睛】本题考查对数型函数的值域，解题时利用整体思想（即换元思想）转化为二次函数值域问题求解，使问题更加简便易求． 9．（2026高一·安徽芜湖·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在区间上单调递增， 所以函数在区间上单调递增， 因为，， 所以函数，的值域为． 10．（2026高一·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 【答案】B 【分析】根据正切函数的单调性即可求解. 【详解】因为在上单调递增， 所以当时，函数取得最小值，最小值为， 当时，函数取得最大值，最大值为. 故选：B. 11．（2026高一·北京·期末）函数，的值域为___________. 【答案】 【分析】求出的取值范围，再结合二次函数的基本性质可求得结果. 【详解】令，， 因为函数在上单调递增，当时，，即， 又因为函数在上单调递增， 当时，， 所以，函数，的值域为. 故答案为：. 12．（2026高一·上海·阶段检测）设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 【答案】/ 【分析】由可求得，分析函数在上的单调性，结合可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，当时，，且， 所以，函数在区间上单调递增，且， 故，解得. 故答案为：. 13．（2026高三·浙江杭州·阶段检测）已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的单调性分析的最值位置，结合区间端点值，列出方程求出参数，，即可求出. 【详解】解：由在上单调递增，则单调递减， 所以在同一单调区间上也单调递减， 由在区间上单调递减，则， 所以，， 解得，，又，所以，因此. （二） 正切函数的图象问题 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．　 题型3：正切函数的图象及应用 14．（2026高一·上海·阶段检测）已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 【答案】/ 【详解】由题：， ，所以，， 所以， ． 15．（2026·云南昆明·模拟预测）函数与的图象在区间内的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】联立方程直接求解即可. 【详解】令得，所以或， 解得或，即， 又，所以， 所以函数与的图象在区间上有3个交点：. 16．（2026高一·辽宁锦州·阶段检测）函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】如图，作出函数与在上的图象， 可知两个函数的图象在上有4个交点， 且从左至右的第1，4个交点，与第2，3个交点均关于点对称， 所以. 17．（2026高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）曲线与曲线在交点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】先通过令，解出或者，再根据即可得出函数与在内的交点个数． 【详解】由题意可知，函数与的图像在内有交点， 即有解， 则，化简得 解得或者， 所以在内仅有一解，故交点个数为一个． 18．（5.4.3正切函数的性质与图象）已知函数，若函数在上的零点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】判断其奇偶性，再结合函数图形即可判断. 【详解】要求函数在上的零点，可转化为求和图象的交点， 易知函数为奇函数，故的图象关于原点对称， 则函数在上的图象关于原点对称， 故函数在上的零点也关于原点对称，其和为0， 所以在上的零点和即为上的零点和， 令，得，， 在同一坐标系中作出和的图象， 如图可知在内的零点只有，故零点之和为.    故选：B 19．（2026高一·广东·阶段检测）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， 【答案】D 【分析】根据给定条件，利用正切函数的图象与性质求解不等式. 【详解】由正切函数图象知，在内，满足不等式的取值范围是， 所以在整个定义域内满足不等式的取值范围是，. 故选：D （三） 正切函数的单调性及其应用 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． (2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 题型4：正切函数的单调性及其应用 20．（2026高三·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】根据周期求出，整体代换求单调区间. 【详解】由已知可得，解得，所以函数， 由，解得， 所以的单调区间为， 故选：B. 21．（2026高一·江西吉安·期中）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递减区间为，无单调递增区间 【分析】（1）根据正切函数的定义域列式求解即可； （2）根据正切函数的单调性列出不等式，求解即可得出答案. 【详解】（1）由于函数，要使有意义， 则，，解得， 故的定义域为； （2）因为，由， 得，所以函数的单调递减区间为，无单调递增区间. 22．（2026高二·山东青岛·阶段检测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用整体法即可结合正切函数的单调性求解. 【详解】由，得， 所以函数的单调递增区间为. 故选:B. 23．（2026高一·全国·课后作业）已知函数在内是减函数，则的取值范围是__________． 【答案】 【分析】由已知得为一个周期的子集，由此可得关于的不等式组，解不等式组即可． 【详解】∵已知函数在内是减函数, ∴函数在内是单调增函数， ∴，解得，经检验，满足题意. ∴的取值范围是． 故答案为：. 24．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据诱导公式化简各选项中的正切值，然后根据正切函数的单调性比较大小即可. 【详解】对于A，， , 因为，所以， 所以，故A错误； 对于B，，而， 所以，所以，故B错误； 对于C，因为，所以，故C错误； 对于D，因为，而， 所以，所以，故D正确； 故选：D. 25．（2026高一·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用诱导公式得，然后由正切函数的单调性可得. 【详解】， 因为函数在上单调递增，且， 所以，即. 故选：D 26．（2026高二·全国·暑假作业）已知，则，，的大小关系是________． 【答案】 【详解】，又是奇函数，． ． ，． ，且在上是增函数． ，即． 27．（2026高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知，则它们的大小关系为__________.（用“”连接） 【答案】 【分析】先比较三个自变量弧度值的大小，再利用正切函数在上的单调性，得到正切值的大小关系. 【详解】正切函数 在区间 上是单调递增函数. ，，因此 ， 所以，即 . 28．（2026高一·上海宝山·期中）关于x的不等式：的解集为______． 【答案】 【分析】先将正切的平方不等式转化为正切函数的取值范围，再结合正切函数的周期性和单调性求解集. 【详解】由可得，即. 因函数在每个区间（）上单调递增. 而在区间内，由可得. 由正切函数的周期性，可得原不等式的解集为. 29．（2026高一·安徽蚌埠·阶段检测）解不等式的解集为________. 【答案】， 【详解】由题得，， 所以，， 所以，. 所以不等式的解集为，. 30．（2026高一·四川成都·期中）已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】确定，变换得到，解得答案. 【详解】角为斜三角形的内角，则， ，即，故. 故选：D. 31．（2026高一·贵州遵义·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据图像和周期性直接求解. 【详解】由题意得，， 得. 故选：C （四） 正切函数的奇偶性与周期性 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 题型5：正切函数的周期性 32．（2026高一·江西南昌·阶段检测）函数的最小正周期为___________ . 【答案】/ 【详解】函数的最小正周期为. 33．（2026高一·上海·期中）函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 【答案】4 【分析】正切函数相邻两支截平行于轴的直线所得线段长等于函数周期，代入正切函数周期公式即可求解. 【详解】 函数相邻两支曲线截平行于轴的直线所得线段的长度，就是正切函数的周期，因此， 所以，解得 . 34．（2026高一·山东济宁·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用诱导公式及正切函数的周期公式计算即可. 【详解】易知，则其最小正周期为. 故选：C 35．（2026高一·河南开封·期末）函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 【答案】A 【分析】利用正切函数的最小正周期公式即可得解. 【详解】因为（）的最小正周期为， 所以的最小正周期，解得. 故选：A. 36．（2026高一·河南驻马店·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 【答案】/ 【分析】由正切函数的图象与性质知，翻折变换后，正切型函数的周期不变，利用最小正周期公式即可算得. 【详解】由正切函数的图象与性质知：与的最小周期均为， 与的图象如图所示， 所以函数与最小正周期也一样， 函数的最小正周期是， 的最小正周期也是． 故答案为：. 题型6：正切函数的奇偶性 37．（2026·广东广州·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分0在定义域内和0不在定义域内两种情况进行讨论即可求得答案. 【详解】若0在定义域内，由时，得，； 若0不在定义域内，由时，无意义，得． 综上，． 故选：C． 38．（2026高一·山东聊城·期末）已知函数，若，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 【答案】A 【分析】由已知令，再借助函数的奇偶性计算作答. 【详解】依题意，令，则是奇函数，， 于是得， 所以. 故选：A 39．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则____________. 【答案】 【详解】因为， 所以. 40．（2026高一·全国·课后作业）已知（其中为常数且），如果，则的值为（     ） A． B．3 C． D．5 【答案】B 【分析】构造函数，则函数是奇函数且周期为，先求得，进而得到的值. 【详解】设， 则， 则函数是奇函数； ， 则函数是周期为的周期函数； 由，可得，则， 所以， 则 故选：B . （五） 正切函数的对称性 正切曲线的对称中心为(k∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围． 题型7：正切函数的对称性 41．（2026高一·江西新余·阶段检测）若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（     ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】由正切函数的最小正周期公式算出，再由对称中心公式求出对称中心. 【详解】依题意，，所以，所以， 令，解得， 所以对称中心为. 42．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知点 为函数 的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由正切函数的对称中心，通过整体结构一致，即可求解. 【详解】对于正切函数，其对称中心满足， 因为是的对称中心， 因此将代入得： ， 整理得​， 因为，要求的最小值，则取最小的正整数， 代入得： ，​ 因此的最小值为. 43．（2026·江苏南通·模拟预测）已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（    ） A．1 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】求出正切函数及正弦函数的对称中心，根据题意求解即可. 【详解】正切函数的对称中心为，. 正弦函数的对称中心为，. 因为正切函数与函数对称中心完全相同，所以. 44．（2026·河北·模拟预测）若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用正弦函数对称轴的性质求出参数φ的值，再根据正切函数对称中心的性质推导结果. 【详解】正弦函数的图象的对称轴满足， 已知是的一条对称轴，代入可得： ， 整理得， 又，取，得， 正切函数的图象的对称中心满足， 令， 解得 因此的图象的对称中心为. 45．（2026高一·四川成都·期中）函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 【答案】5或8 【详解】因为函数图象的一个对称中心为， 所以，所以，因为， 所以，或. 46．（2026高三·广西南宁·阶段检测）下列是函数的对称中心的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正切函数的对称中心进行求解即可. 【详解】令，解得， 故函数的对称中心为，故AB错误； 当时，，故对称中心为，D正确， ，C不满足要求． 故选：D 47．（2026高一·湖北武汉·期末）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心. 【详解】由已知，令 当时，，ABD均符合题意， 故选：C 1．（2026高一·全国·课后作业）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由正切函数的定义域，令，，解不等式，即可求出结果. 【详解】由正切函数的定义域，令，，即，所以函数的定义域为. 故选:D． 2．（2026·广西河池·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的最小正周期是. 3．（2026高一·辽宁大连·期中）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】令，得， 故函数图象的对称中心是. 4．（2026高一·江西上饶·阶段检测）观察正切曲线能使成立的x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】应用正切函数的性质计算求解. 【详解】能使成立，即的x的取值范围为 5．（2026高三·江苏扬州·开学考试）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则（    ）. A． B． C．1 D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为， 所以，解得，则，得到. 6．（2026高三·江西·阶段检测）“函数的图象关于点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由的图象关于点，得出值表达式，与比较即可. 【详解】由函数的图象关于点对称，可得， 解得. 设，则是的必要不充分条件，故B正确. 故选：B. 7．（2026高一·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据正切函数图象性质得出对称轴表达式即可. 【详解】根据函数的图象可知曲线的图象如下图： 因此对称轴方程满足，即可得， 所以对称轴方程为. 故选：A 8．【多选】（2026高一·贵州毕节·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．在区间上单调递增 D． 【答案】ACD 【分析】利用正切函数的周期性可判断A，由正切函数的定义域可判断B，由正切函数的单调性可判断C，结合单调性可判断D. 【详解】的最小正周期为，A正确； 由，解得， 所以的定义域为，B错误； 由，解得， 当时，可得在区间上单调递增， ，则，CD正确． 故选：ACD 9．（2026高一·北京西城·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用正弦函数、余弦函数、正切函数的奇偶性、周期性逐一判断得解. 【详解】对于AC，函数，都是奇函数，A不是，C不是； 对于B，函数是偶函数，周期为，B不是； 对于D，函数是偶函数，周期为，D是. 故选：D 10．（2026高一·安徽淮南·阶段检测）与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】解方程，然后对整数赋值可得结果. 【详解】由，得，令，得， 令，得，令，得，令，得， 令，得，结合选项得函数的图象的一条渐近线为直线， 即直线与函数的图象不相交． 故选：C． 11．（2026高一·广西钦州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用正切函数的单调性解不等式即得. 【详解】依题意，得，解得， 所以不等式的解集为. 故选：A 12．（2026高三·全国·一轮复习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正余弦、正切函数的单调性即可判断大小. 【详解】对于A选项，， 因为正切函数在上为增函数，且， 所以，即，A项错误； 对于B选项，由于正切函数在上为增函数，且， 所以，B选项错误； 对于C选项，， 因为余弦函数在上为减函数，且， 所以，即，C选项正确； 对于D选项，由于正弦函数在上为增函数，且， 所以，D选项错误． 故选：C 13．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意，分和，两种情况讨论，化简函数解析式，利用正切函数和正弦函数的单调性和性质，结合选项，即可求解. 【详解】由函数 当时，可得， 所以， 此时函数为单调递减函数，且，可排除选项C、D； 当时，可得， 所以， 此时函数为单调递增函数，且，可排除选项A． 故选：B． 14．【多选】（2026高一·四川成都·阶段检测）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【分析】利用正切函数的单调性可判断AB选项；利用余弦函数的单调性可判断C选项；利用正弦函数的单调性可判断D选项. 【详解】对于A，， 因为正切函数在上为增函数，且， 所以，即，A选项正确； 对于B，由于正切函数在上为增函数，且， 所以，B选项正确； 对于C，， 因为余弦函数在为减函数，， 所以，即，C选项正确； 对于D，由于正弦函数在上为增函数，且， 所以，D选项错误. 故选：ABC. 15．【多选】（2026高一·福建·期末）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．是的一个对称中心 D．当时，的最大值为1 【答案】AC 【分析】根据最小正周期的公式，即可判断A的正误；令，即可求得的单调增区间，对k赋值，可判断B的正误；将代入，即可判断C的正误；根据x的范围，求得的范围，结合正弦函数的性质，可求得的最大值，即可判断D的正误，即可得答案. 【详解】对于A：因为，所以最小正周期，故A正确； 对于B：令，解得， 令得，令，，故B错误； 对于C：令代入可得， 所以是的一个对称中心，故C正确； 对于D：当时，， 所以当时，最大值为1，所以的最大值为，故D错误. 故选：AC 【点睛】解题的关键是熟练掌握正弦型函数的单调性、周期性、对称性等知识，并灵活应用，考查学生对基础知识的掌握程度，属基础题. 16．【多选】（2026高一·黑龙江大庆·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．的定义域是 C．在上单调递增 D．的最小正周期是 【答案】AD 【分析】利用偶函数的定义可判断A，利用正切函数的性质可判断B，利用函数的图象可判断CD. 【详解】因为函数，作出函数的大致图象， 对于B，令，得，可知的定义域为，故B错误； 对于A，定义域关于原点对称，且，故是偶函数，故A正确； 对于C，由图象可知函数在上单调递减，在上单调递增，故C错误； 对于D，由的图象的可知函数最小正周期是，故D正确； 故选：AD. 17．（2026高一·天津·期末）函数的定义域为___________． 【答案】 【分析】根据给定条件，利用函数有意义列出不等式，利用正切函数的图象和性质即可求出定义域. 【详解】由函数，得，即， 由的定义域为 ， 函数在每个区间内单调递增，且当时，解得. 故可解得. 故答案为：. 18．（2026高三·天津南开·开学考试）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值______． 【答案】/ 【分析】利用正切函数的对称中心直接计算即可. 【详解】由正切函数的对称中心可知： 要求函数的图像的对称中心即令， 则其对称中心为， 所以，显然时，. 故答案为：. 19．（2026高一·上海嘉定·期中）若，且满足，则的最小值为__________． 【答案】 【分析】利用正切函数的性质求解即可. 【详解】周期为，且在区间上为单调增函数， ，故，. 且，故的最小值为. 故答案为： 20．（2026高一·河北保定·期末）设函数是定义在上的偶函数,且,当时,,则函数在上所有零点的个数为___________. 【答案】10 【分析】根据图象变换画出的图象,根据及偶函数,求出的周期及对称轴,再根据时,,在同一坐标系下画出及在的图象,交点个数即零点个数. 【详解】解:由题知是由纵坐标不变,横坐标变为原来的倍, 再将轴下方的图象翻到轴上方即可得到, 又有是定义在上的偶函数, 且, 所以图象关于直线对称,且周期为2, 又因为时,, 在同一坐标系下,画出及在的图象如下所示: 由图象可知与交点个数为10个, 即在上所有零点的个数为10个. 故答案为:10 21．（2026高三·甘肃·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的周期可求的值，再根据，结合的取值范围，可求的值，进而可得的解析式. （2）利用正切函数的性质，结合换元思想求函数在给定区间的值域. （3）先得到的解析式，再结合，利用正切函数的周期性，可求的最小值. 【详解】（1）因为最小正周期．所以，解得． 因为， 所以，则． 解得． 由，得，从而. （2）因为，所以， 所以，即在上的值域． （3）由（1）知． 因为，所以， 所以，解得， 因为，所以当时，的最小值为． 22．（2026高一·河南南阳·阶段检测）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）根据正切函数的图象和性质，解不等式； （2）首先求函数的值域，再换元为函数，转化为讨论对称轴与定义域的关系，求函数的最小值问题，即可求解. 【详解】（1）不等式，即，则， 从而， 解得， 故不等式的解集为. （2）因为，所以，所以， 所以，即. 设，则. 设函数，则. 当，即时，在上单调递增， 则，解得，又，所以，即不符合题意. 当，即时，在上单调递减，在上单调递增， 则，解得， 又，所以. 当，即时，在上单调递减， 则，解得， 又，所以. 综上，的取值范围是. 23．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知函数，其中为三角形的一个内角，且． (1)求函数的解析式及定义域； (2)求函数的对称中心及单调区间． 【答案】(1)，定义域为 (2)对称中心为；单调递减区间为，无单调增减区间 【分析】（1）确定，得到或，根据角度范围得到答案．计算定义域． （2）令，解得答案． 【详解】（1）①，则，得或， 为为三角形内角，则，故．则 ②令，得．即函数的定义域为． 综上： ， 定义域为， （2）①，得，故对称中心为； ②令，解得， 即函数的单调递减区间为，无单调增区间． 24．（2026高一·安徽合肥·期中）已知点是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称中心及在上的减区间； (3)若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)对称中心为；减区间为； (3)或. 【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式； （2）由（1）函数解析式，利用整体法求函数的对称中心及单调区间； （3）设，将方程转化为函数与直线公共点问题. 【详解】（1）角的终边经过点， . 由时，的最小值为， 得，即； （2）令，即，即， 所以函数的对称中心为 令，得， 又因为，所以在上的减区间为； （3）.设，则， 因为当时，方程只有一个解，不符合题意， 所以上述问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根. .作出曲线与直线的图象. 时，时，时，. ∴当或时，直线与曲线有且只有一个公共点. 的取值范围是：或. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2025-2026学年《解题秘籍》高一数学同步知识·题型精讲精练讲义（人教A版2019必修第一册） 2026-2027学年高一数学人教A版2019必修第一册同步知识·题型解题秘籍 5.4.3 正切函数的性质与图象7题型分类 一、正切函数的图象 二、正切函数的性质 1．定义域：， 2．值域：R 3．周期性：正切函数是周期函数，最小正周期是 4．奇偶性：正切函数是奇函数，即． 5．单调性：在开区间内，函数单调递增 三、正切函数型的性质 1、定义域：将“”视为一个“整体”．令解得． 2、值域： 3、单调区间：（1）把“”视为一个“整体”；（2）时，函数单调性与的相同（反）；（3）解不等式，得出范围． 4、周期： （一） 正切函数的定义域、值域问题 (1)求正切函数定义域的方法 ①求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数y＝tan x有意义，即x≠＋kπ，k∈Z. ②求正切型函数y＝A tan (ωx＋φ)(A≠0，ω＞0)的定义域时，要将“ωx＋φ”视为一个“整体”．令ωx＋φ≠kπ＋，k∈Z，解得x.　 (2)求正切函数值域的方法 ①对于y＝Atan (ωx＋φ)的值域，可以把ωx＋φ看成整体，结合图象，利用单调性求值域． ②对于与y＝tan x相关的二次函数，可以把tan x看成整体，利用配方法求值域 题型1：正切函数的定义域问题 1．（2026高一·天津·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 2．（2026高一·内蒙古包头·期末）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 3．（假期必刷14三角函数的图象与性质）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 4．（2026高一·河南·阶段检测）函数的定义域为（    ） A．， B．， C．， D．， 5．（2026高一·辽宁·阶段检测）函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 6．（2026高一·全国·课堂例题）函数的定义域为（   ） A． B． C． D． 7．（2026高一·辽宁沈阳·阶段检测）在上，函数的定义域是（   ） A． B． C． D． 题型2：正切函数的值域问题 8．（2026高一·上海·课后作业）函数的值域为___________． 9．（2026高一·安徽芜湖·阶段检测）函数，的值域为（    ） A． B． C． D． 10．（2026高一·上海·期中）关于函数的最大值和最小值，表述正确的选项为（ ） A．最大值是，最小值是 B．最大值是，最小值是 C．最大值是，最小值是 D．没有最大值，最小值是 11．（2026高一·北京·期末）函数，的值域为___________. 12．（2026高一·上海·阶段检测）设，若函数在区间上的最大值为，则 _____. 13．（2026高三·浙江杭州·阶段检测）已知函数在闭区间上的最大值为4，最小值为2，则（    ） A． B． C． D． （二） 正切函数的图象问题 熟练掌握正切函数的图象和性质是解决与正切函数有关的综合问题的关键，需注意的是正切曲线是被相互平行的直线x＝＋kπ，k∈Z隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的．　 题型3：正切函数的图象及应用 14．（2026高一·上海·阶段检测）已知函数 ， 和函数的图像交于 三点，则 的面积为 ______. 15．（2026·云南昆明·模拟预测）函数与的图象在区间内的交点个数为（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 16．（2026高一·辽宁锦州·阶段检测）函数与的图象在上有n个交点，坐标分别为，，…，，则（    ） A． B． C． D． 17．（2026高一·辽宁葫芦岛·阶段检测）曲线与曲线在交点的个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 18．（5.4.3正切函数的性质与图象）已知函数，若函数在上的零点为，则（    ） A． B． C． D． 19．（2026高一·广东·阶段检测）利用三角函数图象，求出中的取值范围（    ） A．， B．， C． D．， （三） 正切函数的单调性及其应用 (1)运用正切函数单调性比较大小的方法 ①运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． ②运用单调性比较大小关系． (2)求函数y＝tan(ωx＋φ)的单调区间的方法 y＝tan(ωx＋φ)(ω>0)的单调区间的求法是把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可．当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． 题型4：正切函数的单调性及其应用 20．（2026高三·云南昆明·期中）若函数的最小正周期为，则的单调区间为（   ） A．， B．， C．， D．， 21．（2026高一·江西吉安·期中）已知函数. (1)求的定义域； (2)求的单调区间. 22．（2026高二·山东青岛·阶段检测）函数的单调递增区间是（    ） A． B． C． D． 23．（2026高一·全国·课后作业）已知函数在内是减函数，则的取值范围是__________． 24．下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 25．（2026高一·北京门头沟·期中）比较、、的大小关系（    ） A． B． C． D． 26．（2026高二·全国·暑假作业）已知，则，，的大小关系是________． 27．（2026高一·陕西宝鸡·阶段检测）已知，则它们的大小关系为__________.（用“”连接） 28．（2026高一·上海宝山·期中）关于x的不等式：的解集为______． 29．（2026高一·安徽蚌埠·阶段检测）解不等式的解集为________. 30．（2026高一·四川成都·期中）已知角为斜三角形的内角，，则的x的取值范围是（    ） A． B． C． D． 31．（2026高一·贵州遵义·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． （四） 正切函数的奇偶性与周期性 与正切函数有关的函数的周期性、奇偶性问题的解决策略 (1)一般地，函数y＝Atan(ωx＋φ)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称，若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f(－x)与f(x)的关系． 题型5：正切函数的周期性 32．（2026高一·江西南昌·阶段检测）函数的最小正周期为___________ . 33．（2026高一·上海·期中）函数的图像的相邻两支曲线截直线所得线段长为，则实数__________. 34．（2026高一·山东济宁·期中）函数的最小正周期为（    ） A． B． C．2 D．4 35．（2026高一·河南开封·期末）函数（）的最小正周期为，则（    ） A． B．1 C．2 D．4 36．（2026高一·河南驻马店·阶段检测）函数的最小正周期是__________. 题型6：正切函数的奇偶性 37．（2026·广东广州·模拟预测）若函数为奇函数，则（    ） A． B． C． D． 38．（2026高一·山东聊城·期末）已知函数，若，则（    ） A．5 B．3 C．1 D．0 39．（2026·福建泉州·模拟预测）已知函数，，则____________. 40．（2026高一·全国·课后作业）已知（其中为常数且），如果，则的值为（     ） A． B．3 C． D．5 （五） 正切函数的对称性 正切曲线的对称中心为(k∈Z)，解关于对称中心的题目时需要把整个三角函数看成一个整体，从整体性入手求出具体范围． 题型7：正切函数的对称性 41．（2026高一·江西新余·阶段检测）若函数（）的最小正周期为6，则图象的对称中心为（     ） A．， B．， C．， D．， 42．（2026·重庆渝中·模拟预测）已知点 为函数 的一个对称中心，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 43．（2026·江苏南通·模拟预测）已知正切函数与函数对称中心完全相同，则（    ） A．1 B．2 C． D． 44．（2026·河北·模拟预测）若直线是函数的图象的一条对称轴，则函数的图象的对称中心为（   ） A． B． C． D． 45．（2026高一·四川成都·期中）函数图象的一个对称中心为，且，则的值为_____． 46．（2026高三·广西南宁·阶段检测）下列是函数的对称中心的是（   ） A． B． C． D． 47．（2026高一·湖北武汉·期末）下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 1．（2026高一·全国·课后作业）函数的定义域是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·广西河池·模拟预测）函数的最小正周期是（     ） A． B． C． D． 3．（2026高一·辽宁大连·期中）函数图象的对称中心是（    ） A． B． C． D． 4．（2026高一·江西上饶·阶段检测）观察正切曲线能使成立的x的取值范围为（     ） A． B． C． D． 5．（2026高三·江苏扬州·开学考试）函数的图象的相邻两支截直线所得线段长为，则（    ）. A． B． C．1 D． 6．（2026高三·江西·阶段检测）“函数的图象关于点对称”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（2026高一·江西鹰潭·期末）曲线的对称轴方程为（   ） A． B． C． D． 8．【多选】（2026高一·贵州毕节·期末）已知函数，则（   ） A．的最小正周期为 B．的定义域为 C．在区间上单调递增 D． 9．（2026高一·北京西城·阶段检测）下列函数中，既是偶函数又是周期为的函数为（    ）． A． B． C． D． 10．（2026高一·安徽淮南·阶段检测）与函数的图象不相交的一条直线是（    ） A． B． C． D． 11．（2026高一·广西钦州·期中）不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 12．（2026高三·全国·一轮复习）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 13．（2026高一·全国·专题练习）函数在区间内的图象是（    ） A． B． C． D． 14．【多选】（2026高一·四川成都·阶段检测）下列各式中正确的是（    ） A． B． C． D． 15．【多选】（2026高一·福建·期末）已知函数，则下列说法中正确的是（    ） A．的最小正周期为 B．在上单调递增 C．是的一个对称中心 D．当时，的最大值为1 16．【多选】（2026高一·黑龙江大庆·期末）已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．的定义域是 C．在上单调递增 D．的最小正周期是 17．（2026高一·天津·期末）函数的定义域为___________． 18．（2026高三·天津南开·开学考试）若点是函数的图像的一个对称中心，则a的最小值______． 19．（2026高一·上海嘉定·期中）若，且满足，则的最小值为__________． 20．（2026高一·河北保定·期末）设函数是定义在上的偶函数,且,当时,,则函数在上所有零点的个数为___________. 21．（2026高三·甘肃·阶段检测）已知函数的最小正周期为，且． (1)求的解析式； (2)求在上的值域； (3)设函数，若，求t的最小值． 22．（2026高一·河南南阳·阶段检测）已知函数. (1)求不等式的解集； (2)设函数，对任意的恒成立，求的取值范围. 23．（2026高一·福建厦门·阶段检测）已知函数，其中为三角形的一个内角，且． (1)求函数的解析式及定义域； (2)求函数的对称中心及单调区间． 24．（2026高一·安徽合肥·期中）已知点是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为. (1)求函数的解析式； (2)求函数的对称中心及在上的减区间； (3)若方程在内有两个不同的解，求实数的取值范围. （北京）股份有限公司1 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $