5.4.3 正切函数的性质与图象-【名师导航】2025-2026学年高中数学必修第一册同步讲义（人教A版）

5.4.3　正切函数的性质与图象 [学习目标]　1．了解正切函数图象的画法，理解并掌握正切函数的性质．(直观想象、数学抽象) 2．能利用正切函数的图象与性质解决有关问题．(直观想象、数学运算) [教用·问题初探]——通过让学生回答问题来了解预习教材的情况 问题1．如何借助单位圆画正切函数图象？ 问题2．正切函数的性质有哪些？ 探究1　正切函数的定义域、周期性与奇偶性 问题1　结合诱导公式：tan (π＋α)＝tan α，tan (－α)＝－tan α，说明正切函数有什么性质？ 提示：tan (π＋x)＝tan x说明y＝tan x是周期函数，tan (－x)＝－tan x说明y＝tan x是奇函数． [新知生成] 正切函数y＝tan x，x∈R且x≠kπ＋，k∈Z，是奇函数，也是周期函数，其最小正周期是 π． [典例讲评]　【链接教材P213习题5.4T7、T8】 1．(1)函数f (x)＝tan 的最小正周期为(　　) A． 　 B． C．π 　 D．2π (2)函数y＝的定义域为________． (1)A　(2)　[(1)函数f (x)＝tan (ωx＋φ)的最小正周期T＝，直接利用公式，可得T＝．故选A． (2)由题意可知，要使tan x有意义，则x≠＋kπ，k∈Z．又分母tan x≠0，解得x≠kπ，k∈Z． 综合可得x≠，k∈Z． 所以函数y＝的定义域为．] 1．【教材原题·P213习题5.4T7】求函数y＝2的定义域． [解]　由x＋≠＋kπ(k∈Z)，得x≠＋kπ(k∈Z)， ∴原函数的定义域为． 2．【教材原题·P213习题5.4T8】求函数y＝，x≠(k∈Z)的周期． [解]　令y＝f (x)，法一： ∵f (x)＝tan ＝tan ＝tan ， ∴所求函数的周期为． 法二：所求函数的周期T＝． 　与正切函数有关的周期性、奇偶性解题策略 (1)一般地，函数y＝A tan (ωx＋φ)(Aω≠0)的最小正周期为T＝，常常利用此公式来求周期． (2)判断函数的奇偶性要先求函数的定义域，判断其是否关于原点对称．若不对称，则该函数无奇偶性；若对称，再判断f (－x)与f (x)的关系． [学以致用]　1．函数f (x)＝cos ＋tan x为(　　) A．奇函数　 B．偶函数 C．既不是奇函数也不是偶函数 D．既是奇函数又是偶函数 A　[ f (x)＝cos ＋tan x＝sin x＋tan x，其定义域为，定义域关于原点对称，f (－x)＝sin (－x)＋tan (－x)＝－sin x－tan x＝－f (x)，故函数f (x)为奇函数．] 探究2　正切函数的图象及性质 问题2　如图，在单位圆中，切线AT交OB于T，则AT与tan x有什么关系？由此想一下，如何画y＝tan x，x∈的图象？ 提示：AT＝tan x． 当x∈时，线段AT的长度就是相应角x的正切值．我们可以利用线段AT画出函数y＝tan x，x∈的图象，如图所示． 问题3　利用函数的图象，你能确定正切曲线的对称中心吗？ 提示：对称中心，k∈Z． [新知生成] 正切函数的图象 解析式 y＝tan x 正切曲线 对称中心 渐近线 正切曲线是由被与y轴平行的一系列直线所隔开的无穷多支形状相同的曲线组成的 【教用·微提醒】　画正切函数在区间内的简图，常用“三点两线”法，三点：，(0，0)，，两线：x＝－． [典例讲评]　2．(1)图中的图形是①y＝|tan x|；②y＝tan x；③y＝tan (－x)；④y＝tan 内的大致图象，那么由a到d对应的函数关系式应是(　　) a　　　　　　　　　　b c　　　　　　　　　　d A．①②③④ 　 B．①③④② C．③②④① 　 D．①②④③ (2)(多选)与函数y＝tan 的图象不相交的一条直线是(　　) A．x＝ 　 B．x＝－ C．x＝ 　 D．x＝－ (1)D　(2)AD　[(1)y＝tan (－x)＝－tan x在上是单调递减的，只有图象d符合，即d对应③．故选D． (2)令2x－＋kπ，k∈Z， 得x＝，k∈Z，∴直线x＝，k∈Z与函数y＝tan 的图象不相交， 令k＝－1，得x＝－， 令k＝0，得x＝．故选AD．] 　解决与正切函数有关的图象识别问题的常用方法 (1)作图法：先作出相关函数的图象，再对照选项确定正确答案． (2)性质法：研究相关函数的性质(特别是定义域、值域、单调性、奇偶性、对称性、特殊点、函数值变化规律等)，排除相关选项，从而确定正确答案． [学以致用]　2．(1)y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为(　　) A．π 　 B． C． 　 D．π (2)函数y＝tan 的图象的一个对称中心是(　　) A．(0，0) 　 B． C． 　 D．(π，0) (1)C　(2)C　[(1)y＝tan 3x的周期为，所以y＝a(a为常数)与y＝tan 3x图象相交时，相邻两交点间的距离为． (2)令x＋，k∈Z，得x＝，k∈Z， 所以函数y＝tan 的图象的对称中心是，k∈Z． 令k＝2，可得函数的图象的一个对称中心为．] 探究3　正切函数的单调性、值域 [新知生成] 单调性 正切函数在每一个区间(k∈Z)上都单调递增 值域 正切函数没有最大值和最小值，故正切函数的值域是实数集R 【教用·微提醒】　正切函数在每一个区间(k∈Z)上是单调递增的，但在整个定义域上不具有单调性． [典例讲评]　【链接教材P212例6】 3．已知函数f (x)＝3tan ． (1)求f (x)的最小正周期和单调递减区间； (2)试比较f (π)与f 的大小． [解]　(1)因为f (x)＝3tan ＝－3tan ， 所以f (x)的最小正周期T＝＝4π． 由kπ－<<kπ＋(k∈Z)， 得4kπ－<x<4kπ＋(k∈Z)． 因为y＝3tan 在(k∈Z)上单调递增， 所以f (x)＝3tan 的单调递减区间为(k∈Z)． (2)f (π)＝3tan ＝3tan ＝ f ＝3tan ＝3tan ＝－3tan ， 因为0<<<， 且y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ， 所以－3tan ＞－3tan ， 所以f (π)>f ． 【教材原题·P212例6】 例6　求函数y＝tan 的定义域、周期及单调区间． 分析：利用正切函数的性质，通过代数变形可以得出相应的结论． [解]　自变量x的取值应满足 ≠kπ＋，k∈Z， 即x≠2k＋，k∈Z． 所以，函数的定义域是． 设z＝，又tan (z＋π)＝tan z， 所以tan ＝tan ， 即tan ＝tan ． 因为∀x∈都有tan ＝tan ， 所以，函数的周期为2． 由－＋kπ<<＋kπ，k∈Z解得－＋2k<x<＋2k，k∈Z． 因此，函数的单调递增区间为，k∈Z． 　1．运用正切函数单调性比较大小的方法 (1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内． (2)运用单调性比较大小关系． 2．求函数y＝tan (ωx＋φ)的单调区间的方法 当ω>0时，先把ωx＋φ看成一个整体，解－＋kπ<ωx＋φ<＋kπ，k∈Z即可；当ω<0时，先用诱导公式把ω化为正值再求单调区间． [学以致用]　【链接教材P214习题5.4T9、T14】 3．函数f (x)＝tan x在上的最小值为(　　) A．1 　 B．2 C． 　 D．－ D　[由正切函数y＝tan x的单调性可知，f (x)＝tan x在上单调递增， 所以其最小值为f (x)min＝tan ＝－．故选D．] 4．(源自湘教版教材)利用函数的单调性，比较下列各组数的大小： (1)tan (－3)，tan (－3.1)； (2)tan ，tan ． [解]　(1)由于 －－π<－3.1<－3<－π， 且函数y＝tan x 在区间上单调递增， 因此tan (－3.1)<tan (－3)． (2)由于－＋π<<<＋π，且函数y＝tan x在区间上单调递增， 因此tan <tan ． 【教用·备选题】　利用正切函数的单调性比较下列各组中两个正切值的大小． (1)tan 220°________tan 200°； (2)tan ________tan ． (1)>　(2)>　[(1)tan 220°＝tan 40°＝，tan 200°＝tan 20°＝tan ， 因为y＝tan x在上单调递增， 所以tan 220°>tan 200°． (2)tan ＝tan ＝tan ， tan ＝tan ＝tan ， 因为－<<<， y＝tan x在上单调递增， 所以tan <tan ， 即tan >tan ．] 1．【教材原题·P214习题5.4T9】利用正切函数的单调性比较下列各组中两个函数值的大小： (1)tan 与tan ； (2)tan 1 519°与tan 1 493°； (3)tan 6π与tan ； (4)tan 与tan ． [解]　(1)tan ＝－tan ，tan ＝－tan ． ∵0＜＜＜，且y＝tan x在上单调递增，∴tan ＜tan ，∴－tan ＞，∴tan ＞tan ． (2)tan 1 519°＝tan (4×360°＋79°)＝tan 79°， tan 1 493°＝tan (4×360°＋53°)＝tan 53°． ∵0°＜53°＜79°＜90°，且y＝tan x在上单调递增， ∴tan 53°＜tan 79°，即tan 1 519°＞tan 1 493°． (3)tan 6π＝tan π，tan ＝tan π． ∵＜π＜π＜π，且y＝tan x在上单调递增， ∴tan π＜tan π， 即tan 6π＞tan ． (4)tan ＝tan ＝tan ． ∵－＜－＜＜，且y＝tan x在上单调递增， ∴tan ＜tan ，即tan ＜tan ． 2．【教材原题·P214习题5.4T14】求函数y＝的单调区间． [解]　当－＋kπ＜2x－＜＋kπ(k∈Z)时， y＝－tan 单调递减， 即x∈，k∈Z， 所以y＝－tan 的单调递减区间为，k∈Z；无单调递增区间． 1．(教材P213练习T4改编)函数f (x)＝tan 的最小正周期是(　　) A．2π 　 B．4π C．2 　 D．4 C　[ f (x)的最小正周期为＝2．故选C．] 2．函数y＝2tan (－x)是(　　) A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 A　[y＝2tan (－x)＝－2tan x，为奇函数．] 3．函数y＝tan 在一个周期内的图象是(　　) A　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　D A　[法一：利用“三点两线法”列表、描点、连线的方法画简图比较． 法二：当x＝时，tan ＝0，排除C、D． 当x＝时，tan ＝tan ，无意义，排除B．故选A．] 4．(教材P214习题5.4T13改编)不等式tan x>－1的解集是________． 　[正切函数最小正周期为π，在上单调递增，tan ＝－1，所以不等式tan x>－1的解集为．] 1．知识链： 2．方法链：整体代换、公式法、换元法． 3．警示牌：(1)最小正周期T＝． (2)对称中心为(k∈Z)． 回顾本节知识，自主完成以下问题： 你能归纳比较正切函数与正弦函数、余弦函数的性质吗？ [提示]　 性质 正切函数(y＝tan x) 正弦函数(y＝sin x)、余弦函数(y＝cos x) 定义域 R 值域 R [－1，1] 最值 无 最大值为1 最小值为－1 单调性 仅有单调递增区间，不存在单调递减区间 单调递增区间、单调递减区间均存在 奇偶性 奇函数 正弦函数是奇函数 余弦函数是偶函数 周期性 T＝π T＝2π 对称性 有无数个对称中心，不存在对称轴 对称中心和对称轴均有无数个 课时分层作业(五十一)　正切函数的性质与图象 一、选择题 1．函数y＝tan x(　　) A．在整个定义域上单调递增 B．在整个定义域上单调递减 C．在每一个开区间(k∈Z)上单调递增 D．在每一个闭区间(k∈Z)上单调递增 C　[函数y＝tan x是周期函数，在每一个开区间(k∈Z)上单调递增，但在整个定义域上不是单调函数．故选C．] 2．函数f (x)＝|tan 2x|是(　　) A．周期为π的奇函数　 B．周期为π的偶函数 C．周期为的奇函数 　 D．周期为的偶函数 D　[ f (－x)＝|tan (－2x)|＝|tan 2x|＝f (x)，为偶函数，T＝．] 3．函数y＝tan ，x∈的值域为(　　) A．(－，1) B． C．(－∞，－)∪(1，＋∞) D． B　[当x∈时，x－∈， 所以y＝tan ∈．故选B．] 4．设a＝tan 1，b＝tan 2，c＝tan 3，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>c>b 　 B．c>b>a C．a>b>c 　 D．b>c>a A　[由题意得， 函数y＝tan x在上单调递增且tan x>0， 在上单调递增且tan x<0， 因为<1<<2<3<π， 所以tan 2<tan 3<0，tan 1>0， 所以a>c>b．故选A．] 5．(多选)已知函数f (x)＝tan ，则下列命题中正确的有(　　) A．f (x)的最小正周期为 B．f (x)的定义域为 C．f (x)图象的对称中心为，k∈Z D．f (x)的单调递增区间为，k∈Z ACD　[由题知，函数f (x)＝tan ， 所以f (x)的最小正周期为T＝，故A正确； f (x)的定义域满足2x－≠＋kπ，k∈Z， 即x≠(k∈Z)， 所以f (x)的定义域为，故B错误； f (x)图象的对称中心应满足2x－，k∈Z， 即x＝，k∈Z， 所以f (x)图象的对称中心为，k∈Z，故C正确； f (x)的单调递增区间应满足－＋kπ<2x－<＋kπ，k∈Z，即<x<，k∈Z， 所以f (x)的单调递增区间为，k∈Z，故D正确．故选ACD．] 二、填空题 6．若函数y＝3tan 的最小正周期是，则ω＝________． ±2　[由可知ω＝±2．] 7．函数y＝tan2x－2tan x＋2的最小值为________． 1　[y＝(tan x－1)2＋1，由于tan x∈R，所以当tan x＝1时，此函数取最小值1．] 8．若“∃x∈，tan x＞m”的否定是真命题，则实数m的最小值是 ________． 　[“∃x∈，tan x＞m”的否定是“∀x∈，tan x≤m”，它是真命题， 因为x∈时，tan x∈[0，]， 所以m≥，即实数m的最小值是．] 三、解答题 9．设函数f (x)＝tan ． (1)求函数f (x)的单调区间及图象的对称中心； (2)求不等式－1≤f (x)≤的解集． [解]　(1)由－＋kπ<<＋kπ(k∈Z)， 得－＋2kπ<x<＋2kπ(k∈Z)． 所以函数f (x)的单调递增区间是(k∈Z)，无单调递减区间． 由(k∈Z)，得x＝kπ＋(k∈Z)， 故函数f (x)图象的对称中心是(k∈Z)． (2)由－1≤tan ≤， 得－＋kπ≤＋kπ(k∈Z)， 解得＋2kπ≤x≤＋2kπ(k∈Z)． 所以不等式－1≤f (x)≤的解集是． 10．函数y＝tan x＋sin x－内的图象是(　　) A　　　　　　　　　　　B C　　　　　　　　　　　D D　[当＜x＜π，tan x＜sin x，y＝2tan x＜0； 当x＝π时，y＝0； 当π＜x＜时，tan x＞sin x，y＝2sin x＞－2．故选D．] 11．已知函数y＝tan ωx在区间内单调递减，则(　　) A．0<ω≤1　 B．－1≤ω<0 C．ω≥1 　 D．ω≤－1 B　[∵y＝tan ωx在内单调递减， ∴ω<0且T＝≥π， ∴－1≤ω<0．] 12．(多选)下列不等式中，正确的是(　　) A．tan <tan B．tan >tan C．tan 4<tan 3 D．tan 281°>tan 665° AB　[已知正切函数y＝tan x在和上单调递增， ∵tan π＝tan ＝tan ，且－<－π<π<，∴tan ＜tan π， ∴tan π<tan π，故A正确； ∵tan ＝tan ＝tan ， tan ＝tan ＝tan ， 且－<－<－<， ∴tan ＜tan ， ∴tan >tan ，故B正确； ∵<3<π<4<， ∴tan 4>0>tan 3，故C错误； ∵tan 281°＝tan (360°－79°)＝tan (－79°)， tan 665°＝tan (720°－55°)＝tan (－55°)， 且－90°<－79°<－55°<0°， ∴tan (－79°)＜tan (－55°)， ∴tan 281°<tan 665°，故D错误．故选AB．] 13．已知函数f (x)＝a sin x＋b tan x－1(a，b∈R)，若f (－2)＝2 025，则f (2)＝________． －2 027　[依题意，f (x)的定义域为，关于原点对称， 设g(x)＝f (x)＋1＝a sin x＋b tan x， 则g(－x)＝a sin (－x)＋b tan (－x)＝－(a sin x＋b tan x)＝－g(x)，所以g(x)为奇函数，则有f (2)＋1＋f (－2)＋1＝g(2)＋g(－2)＝0，而f (－2)＝2 025，所以f (2)＝－2 027．] 14．画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，并根据图象求出函数的定义域、值域、单调区间、最小正周期． [解]　因为y＝|tan x|＋tan x＝ 所以画出函数y＝|tan x|＋tan x的图象，如图所示： 则该函数的定义域是，值域是[0，＋∞)，单调递增区间是，k∈Z，最小正周期是π． 15．已知函数f (x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论： ①f (x＋π)＝f (x)；②f (－x)＝f (x)；③f (0)＝1； ④>0； ⑤f >． 当f (x)＝tan x时，正确结论的序号为________． ①④　[由于f (x)＝tan x的周期为π，故①正确； 函数f (x)＝tan x为奇函数，故②不正确； f (0)＝tan 0＝0，故③不正确； ④表明函数在上单调递增，而f (x)＝tan x在区间上单调递增，故④正确； ⑤由函数f (x)＝tan x的图象可知，设A＝， 故函数在区间上有f >， 在区间上有f <，故⑤不正确．] 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$