3.3.1抛物线及其标准方程同步练-2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1抛物线及其标准方程同步练 一、单选题 1．（2026·山东济宁·一模）抛物线的焦点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】抛物线方程为，标准形式：，可得，解得，焦点坐标为. 2．（25-26高二上·河北邢台·期中）已知是抛物线的焦点，是上的一动点，，则的最小值为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】根据抛物线的定义把到焦点的距离转化为到准线的距离即可得． 【详解】设到的准线的距离为，则， 所以的最小值为6. 故选：B. 3．（24-25高二上·浙江杭州·阶段检测）为抛物线上一动点，为抛物线焦点，定点，则的最小值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】根据给定条件，利用抛物线的定义求解. 【详解】抛物线的焦点，准线方程，如图， 设点M在准线上的射影为D，由抛物线的定义知， 过点作垂直于准线于，交抛物线于点，则， 因此，当三点共线取等号， 所以的最小值为. 故选：B 4．（25-26高二上·江苏盐城·期中）已知F是抛物线的焦点，点在C上，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求得抛物线的准线方程及点的横坐标后，利用抛物线的定义计算即可. 【详解】由题可得抛物线的准线为，又因点在C上，所以，解得， 所以，故C正确. 故选：C. 5．（25-26高二上·安徽宿州·期中）已知点满足，则的最小值为（　　） A． B．3 C． D．4 【答案】A 【分析】通过对已知等式化简可得关系式，利用两点间距离公式结合二次函数的性质即可得结果. 【详解】由，得，整理得， 则， 当且仅当时，等号成立． 故选：A． 6．（2026高二·安徽·开学考试）已知是抛物线的焦点，是该抛物线上一动点，则线段的中点的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把抛物线整理成标准方程，然后求得抛物线的焦点，设出和的坐标，然后利用和的坐标表示出的坐标，进而利用抛物线方程的关系求得和的关系及的轨迹方程． 【详解】解：抛物线的标准方程是，故． 设，，的中点 ，即，即 故选：． 7．（25-26高二上·江西宜春·期中）已知为坐标原点，为抛物线的焦点，点在上，且，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．8 【答案】B 【分析】由抛物线定义可知，，，由题意可得，再把点代入求参即可得出抛物线方程. 【详解】由抛物线定义可知，，， 因为，所以，解得，即， 因为在上，所以，解得. 故选：B 8．（24-25高二上·江苏扬州·期中）如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16m时，拱顶距离水面4m，当水面下降1m后，桥洞内水面宽为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立平面直角坐标系，设抛物线的方程为，分析可知点在该抛物线上，求出的值，可得出抛物线的方程，将代入抛物线方程，即可得出结果. 【详解】以抛物线的顶点为坐标原点，抛物线的对称轴为轴，过原点且垂直于轴的直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系， 设抛物线的方程为，由题意可知点在抛物线上， 所以，可得，所以抛物线的方程为， 当水面下降后，即当时，，可得， 因此，当水面下降后，桥洞内水面宽为. 故选：D. 二、多选题 9．（2025·新疆喀什·模拟预测）已知抛物线的焦点为F，点在C上，则（    ） A．抛物线C的准线方程为 B．F的坐标为 C．若，则 D． 【答案】BC 【分析】对A，B，根据抛物线的标准方程求出焦点，准线方程，判断；对C，D，根据抛物线的定义求解判断. 【详解】对于A，B，由抛物线方程为，则焦点，准线方程为，故A错误，B正确； 对于C，将代入，得，则，故C正确； 对于D，由抛物线定义得，当时，取等号，故D错误. 故选：BC. 10．（24-25高二上·江苏常州·期中）顶点在原点，且过点的拋物线的标准方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】根据点的位置，确定拋物线的焦点位置，设出抛物线的标准方程，代入点坐标计算即可. 【详解】∵点在第二象限， ∴拋物线的焦点在轴的负半轴上，或在轴的正半轴上． 当拋物线的焦点在轴的负半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是； 当拋物线的焦点在轴的正半轴上时， 设抛物线的标准方程为， ∵点在抛物线上，则，解得， ∴抛物线的标准方程是. 综上，抛物线的标准方程是或. 故选：AC. 11．（24-25高二下·广东·期中）已知抛物线的焦点为，点在上，则（   ） A． B．的准线方程为 C．若，则 D．以为直径的圆与轴相切 【答案】ACD 【分析】根据抛物线的定义和几何性质，结合直线与圆的位置关系的判定方法，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A中，由抛物线，可得其焦点为，所以A正确； 对于B中，抛物线的准线方程为，所以B错误； 对于C中，因为点在上，根据抛物线的定义，可得， 解得，所以C正确； 对于D中，由抛物线的定义，可得， 则线段的中点坐标（即圆心）到轴的距离为， 故以为直径的圆与轴相切，所以D正确． 故选：ACD． 三、填空题 12．（25-26高二上·江西景德镇·期中）抛物线的焦点坐标为_______ 【答案】 【分析】将其化为标准形式后即可得. 【详解】即为，故其焦点坐标为. 故答案为：. 13．（25-26高二上·安徽·期中）抛物线的准线方程为，则_____. 【答案】 【分析】根据准线方程，求出p值，即可得答案. 【详解】根据准线方程为，故，所以. 故答案为： 14．（25-26高二上·江苏盐城·期中）若曲线上一点P到焦点的距离为4，则点P到y轴的距离为______. 【答案】 【分析】确定准线方程，结合抛物线的定义确定点P的纵坐标，代入即可求解. 【详解】由题可知抛物线即的准线方程为. 设点，根据抛物线的定义可知，即. 由抛物线方程可得，即，所以点P到y轴的距离为. 故答案为： 四、解答题 15．（25-26高二上·湖南·期中）根据下列条件，求抛物线的标准方程： (1)准线方程为； (2)焦点在轴上且其到准线的距离为6. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由准线方程，得的值和抛物线开口方向，可求抛物线的标准方程； （2）由焦点的位置和焦点到准线的距离，得的值和抛物线开口方向，可求抛物线的标准方程. 【详解】（1）因为抛物线的准线方程为，则，可得，抛物线开口向上， 所以抛物线的方程是． （2）因为焦点在轴上且其到准线的距离为6，可知，抛物线开口向左或向右， 所以抛物线的方程是或． 16．（24-25高二上·江苏连云港·期中）已知动点与点的距离比其到直线的距离小1. (1)求动点的轨迹方程； (2)求点与点的距离的最小值，并指出此时的坐标. 【答案】(1) (2)最小值为，或 【分析】（1）利用抛物线的定义得解； （2）设，求出即得解. 【详解】（1）由题意知动点到的距离与它到的距离小1即与到直线的距离相等， 所以动点M的轨迹为以为焦点、以直线为准线的抛物线， 因此动点的轨迹方程为. （2）设， 由两点间的距离公式得：， 当，即时，， 即当或时，点与点的距离最小，最小值为. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 $3.3.1抛物线及其标准方程同步练 一、单选题 1.(2026山东济宁.一模)抛物线y= 的焦点坐标是() 4 A.0,1 B.0,2 C. D信0 2.(25-26高二上河北邢台期中)已知F是抛物线C:y=8x的焦点，P是C上的一动点，A4,2,则 PA+PF的最小值为() A.5 B.6 C.7 D.8 3.(24-25高二上浙江杭州阶段检测)M为抛物线y=4x上一动点，F为抛物线焦点，定点P3,1, 则MP+MF的最小值为() A.3 B.4 C.5 D.6 4.(25-26高二上江苏盐城期中)己知F是抛物线C:y=4x的焦点，点Am,1在C上，则AF= () B. 8 c 5.(25-26高二上安微宿州：期中)已知点px,y满足x-2+y=x+2,Q18,0:则PQ1的最小值 为() A.43 B.3 c.4V2 D.4 6。(2026高二安微开学考试)已知F是抛物线y=X的焦点，P是该抛物线上一动点，则线段P℉的 16 中点E的轨迹方程是（) A.x2=8y-16 RX=2y言 c.x2=y-2 1 D.x2=2y-2 7.(25-26高二上江西宜春期中)已知0为坐标原点，F为抛物线C:y=2pxp>0的焦点，点 Mx,3在c上，且|MF=2OF则p=（） A.2 B.3 C.4 D.8 试卷第1页（共3页） 8.(24-25高二上·江苏扬州·期中)如图，一座抛物线形拱桥，当桥洞内水面宽16时，拱顶距离水面 4m,当水面下降1m后，桥洞内水面宽为() 4m :22c222225222252522: 16m A.43m B.45m C.83m D.875m 二、多选题 9.(2025·新疆喀什·模拟预测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点P(xo,yo)在C上，则() A.抛物线C的准线方程为x=2 B.F的坐标为1,0 C.若yo=2,则PF=2 D.PF≥2 10.(24-25高二上·江苏常州·期中)顶点在原点，且过点P(-3,4)的抛物线的标准方程是() A.y2=-16x B.y2=16 X c. D.x2=-9 11.（24-25高二下-广东：期中)已知抛物线C:y=12x的焦点为F:点MX,y在C上，则（） A.F3,0 B.C的准线方程为y=-3 C.若MF=8,则x=5 D.以MF为直径的圆与y轴相切 三、填空题 12.(25-26高二上·江西景德镇·期中)抛物线4x+y=0的焦点坐标为 13.（25-26商二上：安徽期中)抛物线C:y=2pxp<0的准线方程为x=1则， p= 26高三上江苏盐城期中)若曲线yX上一点P到焦点的距离为4，则点P到)轴的 四、解答题 15.(25-26高二上·湖南·期中)根据下列条件，求抛物线的标准方程： 3 Q)准线方程为y=一2： (2)焦点在x轴上且其到准线的距离为6. 16.(24-25高二上·江苏连云港·期中)已知动点M与点F2,0的距离比其到直线x=-3的距离小1. (1)求动点M的轨迹方程： (2)求点M与点A6,0的距离的最小值，并指出此时M的坐标 试卷第2页（共3页）