3.3.1 抛物线及其标准方程同步练—2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

3.3.1 抛物线及其标准方程 一、单选题 1.抛物线的焦点坐标是( ) A. B. C. D. 2.抛物线的焦点到准线的距离是( ) A. B. C. D.3 3.已知抛物线的焦点为，则p的值为( ) A. B. C.1 D.2 4.已知P是抛物线上一点，若点P到y轴的距离为4，则点P到该抛物线焦点的距离是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 5.若抛物线上的动点到其焦点的距离的最小值为1，则( ) A.1 B. C.2 D.4 6.抛物线的焦点与双曲线的右焦点重合，则抛物线的准线方程为( ) A. B. C. D. 二、多选题 7.（多选）平面内到定点和定直线的距离相等的动点的轨迹为曲线C.关于曲线C，下列结论正确的有( ) A.曲线C的方程为 B.曲线C关于y轴对称 C.若点在曲线C上，则 D.若点P在曲线C上，则点P到直线l的距离 8．设拋物线的焦点为F，M为上一动点，为定点，则下列结论正确的是（   ） A．准线的方程是 B．的最小值为4 C．的最大值为5 D．以线段MF为直径的圆与轴相切 三、填空题 9.已知某抛物线的准线方程为，则该抛物线的标准方程为________. 10.若抛物线（）上一点与焦点的距离等于2，则__________. 11．已知抛物线的焦点为，点为上一点，点为轴上一点，若是边长为2的正三角形，则抛物线的方程为 ． 四、解答题 12．已知抛物线与圆相交于、两点，且. (1)求抛物线的方程; (2)若直线与相交于、两点，是的焦点，求的周长. 答案以及解析 1.答案：D 解析：根据题意，抛物线，所以焦点坐标是故选D. 2.答案：C 解析：由抛物线，则焦点为，准线为，所以焦点到准线的距离为.故选C. 3.答案：C 解析：根据抛物线的标准方程可得焦点坐标为，即，可得.故选：C. 4.答案：C 解析：由题可得点P的横坐标为4，抛物线的准线方程为，则点P到准线的距离为，所以点P到该抛物线焦点的距离是6.故选C. 5.答案：C 解析：由，得焦点，设抛物线上一点，连接PF，则由抛物线的定义知，，所以，解得.故选C. 6.答案：D 解析：抛物线的焦点坐标为，双曲线的右焦点为，故，解得，即抛物线方程为，则其准线方程为. 7.答案：AB 解析：由抛物线的定义知，曲线C是以F为焦点，直线l为准线的抛物线，其关于y轴对称，方程为，所以A，B正确；由知，点P到直线l的距离，所以C，D错误.故选AB. 8．BD 【分析】根据抛物线方程写出准线判断A，根据抛物线定义及三角形三边长关系判断B、C，写出中点坐标，根据其横坐标与关系即可判断D. 【详解】由抛物线，则其焦点为，准线为，A错，如下图示， 其中准线于，则，故， 当且仅当共线时最小，为到准线距离4，B对； 由， 当且仅当共线时取等号，其最大值为，C错； 由，则中点坐标为， 而，故， 所以，以线段MF为直径的圆与轴相切，D对.故选：BD 9.答案： 解析：依题意可设抛物线的标准方程为：，由，解得，所以该抛物线的标准方程为. 10.答案： 解析：由得，所以准线方程为，因为点与焦点的距离等于2，所以点与准线的距离等于2，即，解得，故答案为. 11．或 【分析】由题意分情况可得点的坐标为，代入抛物线方程中可求出的值，从而可得抛物线的方程 【详解】抛物线的焦点为， 由抛物线的对称性，不妨设点为第一象限的点， 因为点为上一点，点为轴上一点，是边长为2的正三角形， 所以当在的右边时，点的坐标为， 所以，化简得，解得或（舍去）， 所以抛物线的方程为，当在的左边时，点的坐标为， 所以，化简得，解得或， 所以抛物线的方程为，综上，所求的抛物线方程为或 故答案为：或 12．(1)(2) 【分析】（1）根据对称性，设，将点的坐标代入圆的方程，求出的值，即可得出抛物线的方程； （2）设、，将直线的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用弦长公式以及抛物线的焦半径公式可求得的周长. 【详解】（1）因为，根据圆与抛物线的对称性，不妨设， 因为点在圆上，所以， 解得（负值舍去），所以的方程是. （2）由消去并整理得， 设、，则， 由韦达定理可得，，所以， ， 所以的周长为. 学科网（北京）股份有限公司 $