2.3 一元二次方程的根与系数的关系 导学案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.3 一元二次方程的根与系数的关系 导学案 · 2026—2027学年 北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程 · 1 课时 · 教材 P47—P50 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 一、学习目标与重难点 【学习目标】 • 会从因式分解的形式 a+bx+c=a(x-)(x-) 看出两个根与系数的联系，知道这个式子为什么成立。 • 会由求根公式推出根与系数的关系：若 、 是 a+bx+c=0（a 不等于 0）的两个根，则 +=-，=。 • 不解方程就能求出两根之和与两根之积，会由已知的一个根求出另一个根，会求两根的平方和、倒数和等代数式的值。 【重点】根与系数的关系及其推导。 【难点】由求根公式推出两根之和、两根之积；把要求值的式子变形，化成能用两根之和、两根之积表示的样子。 【我的预习安排】 教材页码 预习内容 我要做到 完成 P47 复习一般形式、根的判别式与求根公式；由因式分解的形式看根与系数的联系 把 a(x-两根)(x-两根) 展开，与 a 平方加 bx 加 c 逐项比一比 ○ P47—P48 由求根公式归纳两根之和、两根之积 自己动手把两个根加起来、乘起来各算一遍 ○ P48—P49 例1、例2、例3 弄清不解方程求两根的平方和、倒数和是怎么变的 ○ P49—P50 随堂练习与《习题2.3》 独立完成随堂练习，再对照答案 ○ 二、课前自主学习 上一节把一元二次方程的四条解法都学齐了。不管走哪一条路，最后总是先把两个根算出来，再用这两个根去回答别的问题。可有些题目并不问「根是多少」，而是问「两根的和是多少」「两根的积是多少」，甚至问「两根的平方和是多少」。要是每次都先解方程再回头算，既费事又容易算错。这一节要学的，就是不解方程，直接从系数把两根的和与积看出来——它把「根」和「系数」这两件本来分开的东西连在了一起。 • 1. 填空：一元二次方程 a+bx+c=0（a 不等于 0）的求根公式是 x=__________（-4ac 大于等于 0）。 我写： • 2. 填空：式子 -4ac 叫做一元二次方程根的__________；当它__________0 时，方程有两个不相等的实数根。 我写： • 3. 填空：方程 -5x+6=0 的两个根是 2 和 3，这两个根的和是__________，积是__________。 我写： • 4. 填空：把 (x-2)(x-3) 展开，结果是 -5x+6。对照方程 -5x+6=0 与它的两个根 2、3 可以发现：展开式里一次项的系数是两根之和的__________（填「相反数」或「本身」），常数项等于两根的__________。 我写： • 5. 填空：如果 、 是方程 a+bx+c=0（a 不等于 0）的两个根，那么 +=__________，=__________。 我写： • 6. 填空：不解方程，直接写出方程 -3x-1=0 的两根之和__________、两根之积__________。 我写： ◆ 课前速记 • 一个前提：只有在 -4ac 大于等于 0（方程有实数根）时，才谈得上两根之和与两根之积。 • 一组关系：若 、 是 a+bx+c=0（a 不等于 0）的两个根，则 +=-，=。 • 一条来路：把求根公式里的两个根相加、相乘，根号部分正好抵消，于是得到上面这组关系。 • 一条用途：由两根之和与两根之积，就能算出 +、+ 这样的式子，不必先把两个根解出来。 • 一个提醒：两根之积是 而不是 c，分母上的 a 别丢；两根之和是 -，前面的负号也别漏。 温馨提示：预习时先动手算一算。拿方程 -5x+6=0 试试：它的两个根是 2 和 3，先算 2+3=5、2×3=6，再把这两个结果与方程的系数比一比——一次项系数 -5 正好是两根之和 5 的相反数，常数项 6 正好等于两根之积。这不是巧合，而是一元二次方程普遍具有的性质。 三、课中合作探究 这一节只有一课时，却要把「根」和「系数」这两件看起来不相干的东西连起来。一共四径：第一径从因式分解的形式看进去，第二径用求根公式把它算出来，第三径拿它去求两根之和、两根之积，第四径用它求代数式的值与解决图形问题。 ◆ 第一径 从因式分解的形式看进去 先把上一节的几件工具摆出来。一元二次方程的一般形式是 a+bx+c=0（a 不等于 0），其中 a、b、c 分别是二次项系数、一次项系数和常数项；当 -4ac 大于等于 0 时，它的根可以用求根公式 x= 算出来。如图1，方程左边的三项各有自己的系数，本节要做的，就是看看这三个系数与两个根之间藏着什么关系。（课本 P47） 图1 一般形式的三项与系数 ( a b c ) 图1 一般形式的三项（上排三个方框），下方的 a、b、c 就是它们的系数（对应课本 P47） 先从一个具体的方程看起。解方程 2-3x+1=0：这里 a=2、b=-3、c=1，-4ac=-4×2×1=9-8=1，由求根公式得 x=，所以 =、=1。（课本 P47） 把这两个根放在一起看一看：两根之和 +=+1=，两根之积 =×1=。再回过头看方程 2-3x+1=0 的系数：=-=-，==。两个根的和与积，竟然都能用系数算出来。（课本 P47） 第一条看出关系的路是乘法。把 2-3x+1 改写成 2(x-)(x-1)，展开验证一下：2(x-)(x-1)=2(-x+)=2-3x+1，果然与原来的多项式完全一样。也就是说，方程左边可以写成二次项系数乘两个因式的积。（课本 P47） 一般地，如果 、 是方程 a+bx+c=0（a 不等于 0）的两个根，那么 a+bx+c=a(x-)(x-) 一定成立。把右边展开：a(x-)(x-)=a[-(+)x+]=a-a(+)x+a。把它与原式 a+bx+c 逐项对照，一次项对一次项、常数项对常数项，就得到 b=-a(+)、c=a；两边分别除以 a，也就是 +=-、=。（课本 P47—P48） 如图2，上面一排两个方框是乘积形式里的两个因式，下面一排三个方框是展开以后的三个项。两个因式相乘，正好能整理成一般形式的三项，这就是等式 a+bx+c=a(x-)(x-) 能成立的道理，也是两根之和、两根之积能写成分数形式的根据。 图2 两个因式相乘展开成三个项 图2 上排两个方框是乘积形式里的两个因式，下排三个方框是展开后得到的三个项（对应课本 P47） • 试一试：（1）解方程 -5x+6=0，求出两根之后，比较两根之和与 -、两根之积与 。（2）解方程 3-7x+2=0，同样比一比。 我写： 温馨提示：要看出关系，得先把根算准。像 3-7x+2=0，两根是 和 2，要是拿 2 直接去和常数项 2 比就比错了——两根之积是 ×2=，而 =，这样才对得上。 ◆ 第二径 用求根公式把关系算出来 第二条看出关系的路是加法。回头看求根公式：=，=。这两个式子的分母一样，分子只差一个符号。把它们加起来， 与 - 正好抵消，分子剩下 -2b，再除以 2a，得 +==-。（课本 P48） 相乘也是同样的道理。两个分子相乘，正好是平方差：(-b+)(-b-)=-() 的平方=-(-4ac)=4ac；分母是 2a 乘 2a 得 4；所以 ==。（课本 P48） 两条路走到了一起，得到本节的核心结论：如果 a+bx+c=0（a 不等于 0）的两个根是 、，那么 +=-，=。前提是 -4ac 大于等于 0。（课本 P48） 如图3，上面两个圆圈表示方程的两个根，下面两个方框是系数 b 与 c，每个根都和每个系数连着线。这正说明两根之和、两根之积都不是由某一个根单独决定的，而是两个根一起与系数打交道。这个关系最早由法国数学家韦达发现，所以也叫做韦达定理。（课本 P48） 图3 两个根与系数 b、c 的连线 ( b c ) 图3 上排两个圆圈表示方程的两个根，下排两个方框是系数 b 与 c（对应课本 P48） 温馨提示：用这组关系之前，一定要先确认方程有实数根（-4ac 大于等于 0）。如果 -4ac 小于 0，方程根本没有实数根，也就谈不上两根之和与两根之积。另外，式子里出现的 a 是二次项系数，它不是 1 的时候千万别漏掉。 ◆ 第三径 不解方程，求两根之和与两根之积 有了关系式，求两根之和、两根之积就不必再解方程了。做法是三步：第一步把方程化成一般形式 a+bx+c=0；第二步认准 a、b、c 三个数，连同符号一起抄下来；第三步直接代入 +=- 与 =。（课本 P48） 如图4，上面的横条是整个方程，下面的三条竖线把 a、b、c 三个系数从方程里「取」出来。抄系数时把它们摆成这样三个数，代入公式时就不会看错位置。 图4 从一个方程里取出三个系数 ( a b c ) 图4 上面的横条是整个方程，三条竖线引出的 a、b、c 是它的三个系数（对应课本 P48） 例1：利用根与系数的关系，求下列方程两根的和与两根的积。（课本 P48） （1）+7x+6=0。这里 a=1、b=7、c=6，-4ac=-4×1×6=49-24=25，大于 0，方程有实数根。所以 +=-=-7，==6。 （2）2-3x-2=0。这里 a=2、b=-3、c=-2，-4ac=-4×2×(-2)=9+16=25，大于 0，方程有实数根。所以 +=-=，==-1。 把例1 的第一小题验算一下：解 +7x+6=0 得 (x+1)(x+6)=0，两根是 -1 和 -6，确实 -1+(-6)=-7、(-1)×(-6)=6，与关系式算出的结果一致。 例2：已知关于 x 的方程 5+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值。（课本 P48） 解：设另一个根为 。这里 a=5、b=k、c=-6，由两根之积 = 得 2=，所以 =-；再由两根之和 +=- 得 2+(-)=-，即 =-，解得 k=-7。 检验：把 k=-7 代回原方程，得 5-7x-6=0。它的两根是 2 与 -：和为 ，而 -=-=；积为 -，而 =，两个式子都成立。 • 随堂练习（课本 P49）：1. 利用根与系数的关系，求下列方程两根的和与两根的积——（1）-3x-1=0；（2）3+2x-5=0。 • 2. 小明和小华在解方程 9+6x-1=0 时，小明算出两根之和是 ，小华算出两根之积是 。他们算得对吗？说明理由。 • 3. 已知方程 -x-7=0 的一个根是 3，求它的另一个根。 我写： 温馨提示：第 2 题要盯住两个地方——两根之和是 -，前面的负号不能丢；两根之积是 ，分母上的 a 也不能丢。第 3 题用两根之和与用两根之积各能求一次另一个根，两种做法算出来应当是同一个数，正好互相检验。 ◆ 第四径 用关系式求代数式的值与解决图形问题 两根之和、两根之积还能帮我们算出别的式子。关键是把要求的式子「变」成能用 + 与 表示的样子。（课本 P49） 例3：不解方程，求方程 2+3x-1=0 的两根的平方和与两根的倒数和。（课本 P49） 解：设方程的两个根是 、。这里 a=2、b=3、c=-1，-4ac=-4×2×(-1)=9+8=17，大于 0，方程有实数根。由根与系数的关系得 +=-，=-。 两根的平方和：+=-2=-2×(-)=+1=。 两根的倒数和：+===3。 把这类式子常做的变形放在一起，做题时照着套： 要算的式子 变形后的写法 用到的量 + -2 两根之和、两根之积 + 两根之和、两根之积 -4 两根之和、两根之积 两根之差的绝对值 两根之和、两根之积 平方和那一条变形还有一个看得见的解释。如图5，边长是 + 的大正方形被分成四块：两块正方形，面积分别是 与 ；两块一样的长方形，面积都是 。大正方形的面积等于四块面积之和，也就是 =+2+；把它反过来看，就得到 +=-2。 图5 边长是两根之和的大正方形 图5 边长是两根之和的大正方形，被分成两块正方形与两块一样的长方形（对应课本 P49） 两根之和、两根之积还常和图形搭在一起考。如图6，三角形的两边 AB、AC 的长分别等于方程 -17x+66=0 的两个实数根，第三边 BC 的长可能是 20 吗？（课本 P50 习题2.3 第 3 题） 图6 三角形 ABC ( A B C ) 图6 三角形 ABC，两边 AB、AC 的长是方程的两个根，第三边 BC 的长待定（对应课本 P50） 解：设方程 -17x+66=0 的两个根是 、。这里 a=1、b=-17、c=66，由根与系数的关系得 +=17、=66。也就是说，AB 与 AC 两条边的长度之和是 17。三角形的两边之和必须大于第三边，如果 BC 的长是 20，那么 AB+AC=17 小于 20，这三条线段根本围不成三角形。所以 BC 的长不可能是 20。 顺带把两条边求出来：两根之和是 17、两根之积是 66，所以两个根正好是 6 和 11，即 AB=6、AC=11。这时 AB+AC=17，第三边只要小于 17 就都能围成三角形，20 显然太大了。 我写： 四、当堂达标检测 下面 A、B、C 三组题请独立完成，把过程写在空白处，写完再对照后面的参考答案。 ◆ A 组（基础） • 填空：方程 -4x+3=0 的两根之和是__________，两根之积是__________。 • 填空：方程 2+5x-3=0 的两根之和是__________，两根之积是__________。 • 选择：已知 、 是方程 -6x+5=0 的两个根，则 + 的值是（ ）A. 6 B. -6 C. 5 D. -5 我写： ◆ B 组（提高） • 已知方程 3+kx-4=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值。（对应课本 P48 例2） • 不解方程，求方程 -2x-4=0 的两根的平方和与两根的倒数和。（对应课本 P49 例3） • 填空：若 、 是方程 +3x-1=0 的两个根，则 +=__________。 我写： ◆ C 组（拓展） • 已知方程 -3x+m=0 的一个根是 1，求 m 的值与另一个根。（对应课本 P48—P49） • 三角形两边的长分别等于方程 -9x+18=0 的两个实数根，第三边的长是 5，求这个三角形的周长。（对应课本 P50 习题2.3 第 3 题） 我写： 温馨提示：B 组第 1 题和例2 一样，先用两根之积把另一个根求出来，再用两根之和求 k，最后把 k 代回去检验。C 组第 2 题求出两根以后，别忘了用「两边之和大于第三边」检查这三条边能不能围成三角形。 温馨提示：B 组第 2 题的倒数和要用 ，直接算出 =-，不必先把两个根解出来。 五、课堂归纳总结 ◆ 知识梳理 • 根与系数的关系：若 、 是 a+bx+c=0（a 不等于 0）的两个根，则 +=-，=。前提是 -4ac 大于等于 0。（课本 P48） • 两条来路：一条是把 a(x-)(x-) 展开与原式比较系数；一条是把求根公式的两个根直接相加、相乘。（课本 P47—P48） • 常用变形：+=-2；+=；=-4。（课本 P49） • 一个用法：已知一个根求另一个根——先用两根之积求一次，再用两根之和验一次。（课本 P48） 把这一节用到的关系与变形列成表，做题时照着对号入座： 名称 式子 要当心的地方 两根之和 +=- 前面的负号不能丢 两根之积 = 分母上的二次项系数不能丢 平方和 +=-2 不能直接写成两根之和的平方 倒数和 += 分母是两根之积，通分即可 ◆ 易错清单 • 误：把两根之积记成 c。正：两根之积是 ，二次项系数 a 不是 1 时，分母上的 a 不能丢。 • 误：把两根之和记成 。正：两根之和是 -，前面有一个负号。 • 误：方程没有实数根也去谈两根之和。正：只有 -4ac 大于等于 0 时方程才有实数根，才谈得上两根之和与两根之积。 • 误：抄 a、b、c 时丢掉负号。正：连同符号一起抄，比如 2-3x-2=0 里 b=-3，所以 +=-=。 • 误：求平方和时直接写成 。正：中间少算了 2，要写成 -2。 • 误：已知一个根求另一个根，只用两根之和就下结论。正：再用两根之积验一验，两次算出的另一个根应当相同。 ◆ 思想方法 • 整体代换：不去求两个根分别是多少，而是把 + 与 各看成一个整体，要求的式子都设法用这两个整体表示出来。 • 从特殊到一般：先拿 2-3x+1=0 这样的具体方程比一比，再把 a、b、c 当字母推一遍，得到对一切一元二次方程都成立的结论。 • 数形结合：平方和那一条变形能在「边长是两根之和的大正方形」里看得见——大正方形由两块正方形与两块一样的长方形拼成。 我写： 六、课后巩固训练 课后先独立完成 A、B、C 三组题，再做课本上的教材练习与《习题2.3》。做题时记住两件事：抄 a、b、c 的时候连同符号一起抄；用关系式之前先看 -4ac 是不是大于等于 0。 ◆ A 组（基础巩固） • 填空：方程 +5x+4=0 的两根之和是__________，两根之积是__________。 • 填空：方程 2-7x+3=0 的两根之和是__________，两根之积是__________。 • 填空：若 、 是方程 -8x+12=0 的两个根，则 +=__________，=__________。 我写： ◆ B 组（能力提升） • 利用根与系数的关系，求方程 +6x-4=0 的两根之和与两根之积，并说明这个方程有没有实数根。 • 已知关于 x 的方程 2+kx-3=0 的一个根是 -1，求它的另一个根及 k 的值。 我写： ◆ C 组（综合拓展） • 不解方程，求方程 +4x-1=0 的两根的平方和与两根的倒数和。 • 一个直角三角形的两条直角边的长分别等于方程 -7x+12=0 的两个实数根，求这个直角三角形的斜边长。 我写： ◆ 课本练习 • 教材练习（《习题2.3》第1题）：利用根与系数的关系，求下列方程两根的和与两根的积——（1）x(3x-1)-1=0；（2）(2x+5)(x+1)=x+7。 • 教材练习（《习题2.3》第2题）：已知方程 5+kx-6=0 的一个根是 2，求它的另一个根及 k 的值。 • 教材练习（《习题2.3》第3题）：三角形两边的长分别等于方程 -17x+66=0 的两个实数根，第三边的长可能是 20 吗？ • 教材练习（《习题2.3》第4题）：查阅资料，了解韦达定理，以及法国数学家韦达（1540—1603）的生平。 • 教材练习（《习题2.3》第5题）：利用根与系数的关系把 4-x-2 分解因式。 ◆ 中考真题小练 • (2026年·浙江杭州) 已知 、 是一元二次方程 -5x+6=0 的两个根，则 + 的值是（ ）A. 5 B. -5 C. 6 D. -6 • (2026年·江苏南京) 若 、 是方程 +3x-4=0 的两个根，则 的值是（ ）A. 3 B. -3 C. 4 D. -4 • (2026年·福建厦门) 关于 x 的一元二次方程 -2x+m=0 的两个根之和是（ ）A. 2 B. -2 C. m D. -m • (2026年·辽宁沈阳) 已知方程 -7x+10=0 的两个根是 、，则 +- 的值是（ ）A. -3 B. 3 C. 17 D. -17 • (2026年·四川成都) 若 、 是方程 -4x+1=0 的两个根，则 +=__________。 • (2026年·湖北武汉) 已知关于 x 的方程 +mx+3=0 的一个根是 1，则 m 的值是__________。 七、学后反思与关系式活用小结 ◆ 我的收获 • 我知道了两个根不是互不相干的：它们的和、它们的积都能直接从系数算出来，公式是 +=-、=。 • 我学会了两种推出它的办法：把 a(x-)(x-) 展开比系数，或者把求根公式的两个根相加、相乘。后一种办法更直接，根号部分会自己抵消。 • 我明白了「不解方程」这四个字的分量：很多题目只问两根的和、积，或者由它们拼出来的式子，用关系式比先解方程快得多。 • 我会把 +、+ 这样的式子变形成只含 + 与 的样子，这就是「整体代换」。 ◆ 我的疑问 • 两根之差的绝对值也能用两根之和、两根之积表示，那能不能反过来，用两根之和、两根之积判断两个根是正还是负？我准备找几个方程算一算试一试。 • 关系式里的 a 出现在分母上，那 a 的正负会不会影响两个根的正负？我打算拿 a 大于 0 和 a 小于 0 的方程各算一遍，看看有什么不同。 ◆ 两条来路对照一览 把推出关系式的两条路放在一起看，复习时各写一遍，印象更深： 推出的办法 怎么做 要注意的地方 展开比较系数 把 a(x-两根)(x-两根) 展开，与原式 a 平方加 bx 加 c 逐项对照 展开时别漏掉括号外的 a 求根公式相加相乘 把两个根相加（根号部分抵消）、相乘（分子用平方差） 相乘时分母是 4 平方，别算错 温馨提示：复习的时候，把「两根之和」「两根之积」两条公式各抄一遍，再找三道题各用一次。用的时候先看 -4ac 是不是大于等于 0，再认准 a、b、c，最后才代入——顺序对了，符号就不容易错。 我写： 八、参考答案 ◆ （一）课前自主学习 1. （-4ac 大于等于 0）。 2. 判别式；大于。 3. 5；6。 4. 相反数；积。 5. -；。 6. 3；-1。 ◆ （二）课中合作探究 第一径 试一试——（1）-5x+6=0 分解得 (x-2)(x-3)=0，两根是 =2、=3；+=5，而 -=-=5，一致；=6，而 ==6，一致。（2）3-7x+2=0 分解得 (3x-1)(x-2)=0，两根是 =、=2；+=，而 -=-=，一致；=，而 =，一致。 第三径 随堂练习——1.（1）-3x-1=0 中 a=1、b=-3、c=-1，+=3、=-1。（2）3+2x-5=0 中 a=3、b=2、c=-5，+=-、=-。 2. 两人都不对。9+6x-1=0 中 a=9、b=6、c=-1，两根之和应为 -=-=-，小明把负号丢了；两根之积应为 ==-，小华把负号丢了。验算：这个方程的两根是 与 ，相加得 -，相乘得 =-，与关系式一致。 3. 设另一个根为 。这里 a=1、b=-、c=-7。由两根之积得 3=-7，所以 =-；再由两根之和得 3+(-)=，而 -=-(-)=，两次结果一致。所以另一个根是 -。 第四径 例3——+=-，=-；平方和 = -2×(-)=+1=，倒数和 = =3。 三角形那题——-17x+66=0 的两根之和是 17，两根之积是 66，两个根是 6 和 11；如果第三边 BC 的长是 20，两边之和 17 小于 20，围不成三角形，所以不可能。 ◆ （三）当堂达标检测 A：1. 4；3。 2. -；-。 3. A（-=-=6）。 B：1. 设另一个根为 。a=3、b=k、c=-4，由两根之积得 2=，所以 =-；由两根之和得 2+(-)=-，即 =-，所以 k=-4。检验：3-4x-4=0 的两根是 2 与 -，和为 ，而 -=-=；积为 -，而 =，都成立。 2. -2x-4=0 中 +=2、=-4；平方和 = -2×(-4)=4+8=12，倒数和 = =-。 3. +===3。 C：1. 一根是 1，由两根之和 +=3 得另一个根是 2；由两根之积 m=1×2 得 m=2。 2. 方程 -9x+18=0 的两根之和是 9、两根之积是 18，两个根是 3 和 6。三条边为 3、6、5：3+5=8 大于 6、3+6=9 大于 5、5+6=11 大于 3，能围成三角形，周长是 3+6+5=14。 ◆ （四）课后巩固训练 A：1. -5；4。 2. ；。 3. 8；12。 B：1. a=1、b=6、c=-4，-4ac=-4×1×(-4)=36+16=52，大于 0，方程有实数根；+=-6、=-4。 2. 设另一个根为 。a=2、b=k、c=-3，由两根之积得 (-1)=，所以 =；由两根之和得 -1+=-，即 =-，所以 k=-1。检验：2-x-3=0 的两根是 -1 与 ，和为 ，而 -=-=；积为 -，而 =，都成立。 C：1. +4x-1=0 中 +=-4、=-1；平方和 = -2×(-1)=16+2=18，倒数和 = =4。 2. 方程 -7x+12=0 的两根是 3 和 4，两条直角边分别是 3 和 4；由勾股定理，斜边长 = ==5。 课本练习提示——《习题2.3》第1题：（1）原方程化为 3-x-1=0，两根之和 、两根之积 -；（2）原方程化为 +3x-1=0，两根之和 -3、两根之积 -1。第2题：见第三径例2，另一个根是 -、k=-7。第3题：不可能，两边之和 17 小于 20。第5题：方程 4-x-2=0 的两根是 与 ，所以 4-x-2=4(x-)(x-)。 学科网（北京）股份有限公司 $