2.4一元二次方程的应用(2) 导学案 2026--2027学年北师大版九年级数学上册

该初中数学导学案聚焦一元二次方程的应用，通过“今日复习”梳理商品利润、数字表示、单利复利及增长率等基础公式，搭建旧知与新知的衔接支架，为解决实际问题奠定基础。 资料采用课时三级达标设计，A级夯实双基、B级能力提升、C级综合拓展，结合节水政策、智能充电桩等生活情境，引导学生用数学眼光观察现实世界，通过方程建模发展模型意识，训练推理能力，提升应用与创新意识。

第二章 一元二次方程 第四节 一元二次方程的应用(2) 今日复习 1.商品利润问题：总利润=每件的平均 ×总件数. 2. x是两位数，y是三位数，则x放在y左边构成的五位数是 . 3.单利问题：本息和=本金×(1+利率× ); 复利问题：本息和=本金×(1+ 期数. 4.增长x%后的量为 m，则增长前的量为 名师点拨 1.(1)百分率相等的增长问题：增长n次后的量=基础量×(1+x)ⁿ. (2)百分率不等的增长问题：增长n次后的量=基础量 (1+xn). 2.关于增长问题：关键词是“第三年是a”，则等量关系是：基础量 关键词是“三年一共是a”，则等量关系是：基础量+基础量×(1+x)+基础量× 课时三级达标 A级双基过手 1.(1)(2026·编写)某市严格落实国家节水政策，2023 年用水总量为 6.5 亿立方米,2025 年用水总量为 5.265 亿立方米.设该市用水总量的年平均降低率是x，那么x 满足的方程是 (2)(2026·高新)为了加快数字化城市建设，某地计划新建一批智能充电桩，第一个月新建了300个充电桩，第三个月新建了432个充电桩.设该市新建智能充电桩个数的月平均增长率为x，则根据题意可列方程是 2.(2026·编写)劳动教育已纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克.设平均每年增产的百分率为x，则可列方程 . 3.(2026·编写)某商场销售一批衬衣，平均每天可售出30件，每件衬衣盈利50元.为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施.经调查发现，如果每件衬衣降价10元，商场平均每天可多售出 20件.若商场平均每天盈利 2000元，每件衬衣应降价 元. 4.(2026·龙泉驿)今年“国庆节”和“中秋节”双节期间，某微信群规定，群内的每个人都要发一个红包，并保证群内其他人都能抢到且自己不能抢自己发的红包.若此次抢红包活动，群内所有人共收到 90个红包，则该群一共有 人. 5.(2024·内江)某市2022年底森林覆盖率为64%，为贯彻落实“绿水青山就是金山银山”的发展理念，该市大力发展植树造林活动，2024年底森林覆盖率已达到 69%.若这两年森林覆盖率的年平均增长率为x，则符合题意的方程是 ( ) A.0.64(1+x)=0.69 C.0.64(1+2x)=0.69 6.某一芯片实现国产化后，经过两次降价，每块芯片单价由 188元降为108元.若两次降价的百分率相同，设每次降价的百分率为x，根据题意列方程得( ) C.188(1-2x)=108 7.某公司前年缴税40万元，今年缴税48.4万元.该公司这两年缴税的年均增长率为多少?设该公司这两年缴税的年均增长率为x，根据题意，下列所列的方程正确的是 ( ) 8.(2025·东部新区)某公司今年10月的营业额为2500万元，按计划第四季度的总营业额要达到9100万元，求该公司11、12两个月营业额的月均增长率.设该公司11、12两个月营业额的月均增长率为x，则根据题意可列的方程为 ( ) 9.(2026·编写)某商店销售连衣裙，每条盈利40元，每天可以销售20条.商店决定降价销售，经调查，每降价1元，商店每天可多销售2条连衣裙.若想要商店每天盈利1200元，则每条连衣裙应降价多少? 10.(2026·武侯)成都市公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”.某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出375个，六月份售出540个，且从四月份到六月份月增长率相同. (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔每个盈利10元时，月销售量为 500个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少20个，现在既要使月销售利润达到6000元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元? B级能力提升 11.(2026·编写)某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出相同数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是57，设每个支干长出x个小分支，根据题意可列出的方程为 . 12.(2026·编写)一个容器盛满纯药液40L,第一次倒出若干升后，用水加满；第二次又倒出同样体积的溶液，这时容器里只剩下纯药液 10 L，则每次倒出的液体是 L. 13.(2026·编写)股市规定：股票每天的涨、跌幅均不超过 10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫作涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫作跌停.若一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x，则x满足的方程是 14.(2025·龙泉驿)2023 年 7 月 28 日至2023年8月 8日，第31届世界大学生夏季运动会在成都成功举办，美丽的东安湖体育公园给国内外朋友留下了深刻的印象.在公园建设过程中，准备在一块草地上种植甲、乙两种花卉.经市场调查，甲种花卉的种植单价 y(元)与种植面积x(m²)之间的函数关系如图所示，乙种花卉的种植费用为每平方米100元. (1)直接写出当0≤x≤400 和x>400时，y与x之间的函数关系式； (2)广场上甲、乙两种花卉的种植面积共1000 m²,最终花费为 121 000 元,那么甲、乙两种花卉的种植面积分别为多少? C级综合拓展 15.(2025·青羊)城市露营成为一种新的周末生活方式.某公司向厂家购买了精英型帐篷和豪华型帐篷两种产品.已知购买2顶精英型帐篷和1顶豪华型帐篷成本为900元，1顶精英型帐篷比1顶豪华型帐篷少450元. (1)求购进的精英型帐篷和豪华型帐篷的单价； (2)该公司准备将购进的精英型帐篷进行零售，经过市场调研发现，当每顶精英型帐篷售价为 200元时，每天销量为60顶，每顶售价每降低1元每天可多售出5顶，该公司现决定对精英型帐篷进行降价销售，若每顶降价 m元，请用含有 m 的式子直接表示出该公司精英型帐篷每天的销量； (3)在(2)问条件下，若该公司每天销售精英型帐篷的利润为4400元，求精英型帐篷的售价. 【今日复习】 1.利润 2.1000x+y 3.期数 利率 【课时三级达标】 A级(双基过手) 3.254 .105 . B6 . D7 . D 8. B 9.【解】设每条连衣裙降价x元，则每天售出(20+2x)条.依题意,得(40-x)(20+2x)=1200,整理,得x²-30x+200=0,解得. 答：每条连衣裙应降价 10元或20元. 10.【解】(1)设头盔销售量的月增长率为x. 根据题意，得 解得 (不符合题意，舍去)， ∴头盔销售量的月增长率为20%. (2)设头盔每个涨价m元. 根据题意,得(10+m)(500-20m)=6000, 整理，得 解得 (不符合题意，舍去). 故该品牌的头盔每个应涨价5元. B级(能力提升) 12.20 14.【解】(1)当0≤x≤400时,设y与x之间的函数关系式为y= kx+b. 把(0,200),(200,180)代入解析式,得 解得 ∴y与x之间的函数关系式为 当x=400时, ∴当x>400时,y=160. 综上所述，y与 x 之间的函数关系式为 y = (2)当0≤x≤400|时， 由题意，得 解得. (舍去); 当x>400时, 160x+100(1000-x)=121000, 解得x=350(舍去). ∴甲、乙两种花卉的种植面积分别为300m² 和700m². C级(综合拓展) 15.【解】(1)设购进的精英型帐篷的单价是x元，豪华型帐篷的单价是 y元. 根据题意，得 解得 故购进的精英型帐篷的单价是150元，豪华型帐篷的单价是 600元. (2)根据题意，得该公司精英型帐篷每天的销量为(60+5m)顶. (3)根据题意,得(200-m-150)(60+5m)=4400. 整理，得 解得 当m=10时,200-m=200-10=190(元); 当m=28时,200-m=200-28=172(元). 故精英型帐篷的售价为190元/顶或172元/顶。 学科网（北京）股份有限公司 $