2.2 一元二次方程的解法 导学案 2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.2 一元二次方程的解法 导学案 · 2026—2027学年 北师大版数学九年级上册 第二章 一元二次方程 · 4 课时 · 教材 P36—P43 姓名：__________ 班级：__________ 日期：__________ 一、学习目标与重难点 【学习目标】 • 会根据平方根的意义解形如 =n 或 =n（n 大于等于 0）的方程，知道这样的方程有两个根，它们互为相反数，也会结合实际问题舍去不合题意的根。 • 理解配方法，会把二次项系数化为 1 再配方，能跟着课本把一元二次方程的求根公式推导出来，会说清「两边同加一次项系数一半的平方」这一步的来历。 • 会计算 -4ac 并用它判断方程根的情况；会用公式法与因式分解法解一元二次方程，能根据方程的特点挑一种简便的解法。 【重点】配方法、公式法与因式分解法解一元二次方程。 【难点】配方时「两边同加一次项系数一半的平方」这一步；由配方法推出求根公式；根据方程的特征选择简便解法。 【我的预习安排】 教材页码 预习内容 我要做到 完成 P36 用平方根的意义解 =n 与 =n 型方程（直接开平方法） 把 =9 的两个根写出来，看它们有什么关系 ○ P37 配方法（二次项系数为 1） 把配方那一步「一次项系数一半的平方」自己推一遍 ○ P38—P39 二次项系数不为 1 的配方、求根公式的推导、根的判别式 把求根公式抄完整，记住 -4ac 的名字 ○ P40—P42 公式法与因式分解法 弄清公式法的四个步骤；把因式分解法的四种常见情形各举一例 ○ 二、课前自主学习 上一节认识了一元二次方程，会把它整理成一般形式、认出各项系数，也会用「夹逼」法把根的范围一步一步缩小。可估来估去得到的终究只是个大约数，实际问题要的是准确的根。这一节就来解决「根到底怎么解出来」。教材把解法按由易到难、由特殊到一般排了四条路：先看最特殊、能直接开平方的方程，再学适用范围最广的配方法，然后由配方法推出一个通用的求根公式，最后对付那些一眼就能分解因式的方程。 • 1. 填空：如果 =n（n 大于等于 0），根据平方根的意义，x 是 n 的__________，所以 x=__________。 我写： • 2. 填空：用配方法解 +bx+c=0 时，先把常数项移到右边，再在方程两边同时加上__________的平方，左边就配成了__________的形式。 我写： • 3. 填空：用配方法解二次项系数不为 1 的方程时，第一步要把二次项系数化为__________。 我写： • 4. 填空：一元二次方程 a+bx+c=0（a 不等于 0）的求根公式是 x=__________。 我写： • 5. 填空：式子 -4ac 叫做一元二次方程 a+bx+c=0 根的__________；当 -4ac 大于 0 时，方程有__________的实数根。 我写： • 6. 填空：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于__________；所以由 (x-1)(x+2)=0 可以得到 x-1=0 或__________。 我写： ◆ 课前速记 • 一个依据：=n（n 大于等于 0）时 x=±；形如 =n（n 大于等于 0）时 x+m=±，即 x=-m±。 • 一个关键：配方就是在方程两边同时加上「一次项系数一半的平方」。 • 一个公式：a+bx+c=0（a 不等于 0）且 -4ac 大于等于 0 时，x=。 • 一个判据：-4ac 叫做根的判别式，大于 0 时有两个不相等的实数根，等于 0 时有两个相等的实数根，小于 0 时没有实数根。 • 一个口诀：因式分解法的依据是「如果两个因式的积等于 0，那么至少有一个因式等于 0」。 温馨提示：预习时最该动手的是配方那一步。拿 +6x=7 试一试：两边都加上 9，左边变成 ，右边变成 16，于是 x+3=±4，得 x=1 或 x=-7。加的这个 9 是怎么来的？它正好是 6 的一半 3 的平方——这就是配方的全部秘密。 三、课中合作探究 这一节分四个课时，一共四诀。第一诀直接开平方法，对付最特殊的一类方程；第二诀配方法，把任何一个一元二次方程都变成能直接开平方的样子，顺带把求根公式推出来；第三诀公式法，拿着公式直接算；第四诀因式分解法，专治右边是 0、左边好分解的方程。四诀走完，一元二次方程的解法就成体系了。 ◆ 第一诀 直接开平方法 先看一个最简单的问题。如图1，一个正方形的面积是 25 平方米，它的边长是多少米？（课本 P36） 图1 正方形与它的边长 ( A B C D x ) 图1 正方形 ABCD，底边上的 x 表示它的边长（对应课本 P36） 解：设正方形的边长为 x 米，由正方形的面积公式得 =25。根据平方根的意义，x 是 25 的平方根，所以 x=±5。正方形的边长不能是负数，把 x=-5 舍去，得 x=5。所以这个正方形的边长是 5 米。（课本 P36） 把这个问题里的数换成字母，就得到一类方程的解法：形如 =n（n 大于等于 0）的方程，两边直接开平方，得 x=±。这种解一元二次方程的方法叫做直接开平方法。当 n 大于 0 时，方程有两个根，它们互为相反数；当 n 等于 0 时，x=0，这时两个根相等；当 n 小于 0 时，因为负数在实数范围内没有平方根，所以方程没有实数根。（课本 P36） 如图2，把 =n（n 大于 0）的两个根画在同一条数轴上：它们在原点 O 的两侧，到 O 的距离相等。数轴上这两个点关于原点对称，正好说明两个根互为相反数。 图2 数轴上的两个根 ( O A B ) 图2 数轴上的原点 O 与两侧等距的两点 A、B，表示方程的两个根互为相反数（对应课本 P36） 把平方项换成含未知数的完全平方式，解法照样能用。解方程 =5：两边直接开平方，得 x+2=±，所以 x=-2+ 或 x=-2-。（课本 P36） 再看一个要先变形的。解方程 2=8：先把二次项系数化为 1，两边都除以 2，得 =4，再两边直接开平方，得 x=±2，即 =2、=-2。 • 练一练：（1）解方程 =16，并说明这个方程的两个根有什么关系。（2）解方程 =7。（3）解方程 3-27=0。 我写： 温馨提示：直接开平方法有两个容易漏的地方。一是开平方以后别只写正的那个根，负的根同样要写出来；二是像 2=8、3-27=0 这样的方程，要先把左边整理成「一个式子的平方」的样子再开平方，别急着对 2 开平方。 ◆ 第二诀 配方法 解方程 +6x+4=0。它不能直接开平方，因为左边不是完全平方式。不过可以想办法把它「凑」成完全平方式：把常数项 4 移到右边，得 +6x=-4；在两边同时加上 9，左边就成了 ，右边是 5，即 =5；两边开平方，得 x+3=±，所以 x=-3+ 或 x=-3-。加的这个 9 是一次项系数 6 的一半（即 3）的平方。（课本 P37） 这一步「凑」的过程叫做配方。它为什么一定凑得成？如图3，把边长为 x 的正方形和两个长、宽分别为 x、a 的矩形拼在一起，再加上一个边长为 a 的小正方形，正好拼成一个大正方形，它的边长是 x+a。也就是 +2ax+=。反过来，只要一次项系数是某个数的 2 倍，缺的那个小正方形就能补上——补的正是「一次项系数一半的平方」。 图3 配方法的几何解释 ( A B C D x a x a ) 图3 边长是 x 加 a 的大正方形 ABCD，被分成四块（对应课本 P37） 用配方法解一元二次方程，一共五步：第一步化，把二次项系数化为 1；第二步移，把常数项移到方程的右边；第三步配，在两边同时加上一次项系数一半的平方；第四步开，如果右边是非负数，两边直接开平方；第五步解，解出两个一元一次方程，得到原方程的两个根。（课本 P37） 如果二次项系数不为 1，先做第一步「化」。解方程 2-4x-6=0：两边都除以 2，得 -2x-3=0；移项得 -2x=3；两边加上 ，即 1，得 -2x+1=4，也就是 =4；两边开平方得 x-1=±2，所以 =3、=-1。（课本 P38） 配方法还能把一元二次方程的根「一网打尽」。对一般形式 a+bx+c=0（a 不等于 0）走一遍上面五步：两边都除以 a，得 +x+=0；移项得 +x=-；两边加上 ，得 +x+=-；左边配成完全平方式，右边通分，得 =。因为 a 不等于 0，所以 4 大于 0，当 -4ac 大于等于 0 时，两边开平方，得 x+=±；再把 移到右边，就得到 x=。（课本 P39） 这个式子就是一元二次方程的求根公式：只要 -4ac 大于等于 0，把各项系数代进去，根就出来了。式子 -4ac 叫做一元二次方程根的判别式，通常记作希腊字母 Δ，即 Δ=-4ac。它决定方程根的情况：当 Δ 大于 0 时，方程有两个不相等的实数根；当 Δ 等于 0 时，方程有两个相等的实数根；当 Δ 小于 0 时，方程没有实数根。（课本 P39） • 练一练：（1）用配方法解方程 -4x+3=0。（2）用配方法解方程 3-6x-9=0。（3）不解方程，判断方程 +2x+2=0 的根的情况，并说出 -4ac 的值。 我写： 温馨提示：配方时有两个地方一定要盯住。一是「化」——二次项系数不是 1 的时候先除以二次项系数，别直接开始配方；二是「加」——加的数是一次项系数一半的平方，而且要在方程两边同时加，只加一边就把方程改掉了。另外，配方时右边算出的那个数如果是负数，就说明方程没有实数根，不必再往下开平方。 ◆ 第三诀 公式法 有了求根公式，解一元二次方程就变成了一道「代公式」的算题。用公式法解方程一共四步：第一步化成一般形式 a+bx+c=0；第二步确定 a、b、c 的值，注意连同符号一起抄；第三步算出 -4ac，先看看根是什么情况；第四步把 a、b、c 代入求根公式，算出两根。（课本 P40） 例1：解方程 2-8x+6=0。这里 a=2，b=-8，c=6，-4ac=-4×2×6=64-48=16，大于 0，所以方程有两个不相等的实数根。代入公式：x==，得 =3、=1。（课本 P40） 例2：解方程 3-2x-1=0。这里 a=3，b=-2，c=-1，-4ac=-4×3×(-1)=4+12=16。代入公式：x==，得 =1、=-。 例3：解方程 4-4x+1=0。这里 a=4，b=-4，c=1，-4ac=-4×4×1=16-16=0，所以方程有两个相等的实数根。代入公式：x===，即 ==。 例4：解方程 +2x+2=0。这里 a=1，b=2，c=2，-4ac=-4×1×2=4-8=-4，小于 0，所以这个方程没有实数根。 再回到实际问题里试一试。如图4，一块长方形菜地的长比宽多 2 米，面积是 48 平方米，求这块菜地的宽。（课本 P40） 图4 长方形菜地 ( A B C D x y ) 图4 长方形菜地 ABCD，底边上的 x 表示宽、右边的 y 表示长（对应课本 P40） 解：设菜地的宽为 x 米，那么长是 (x+2) 米。由「面积是 48 平方米」，得 x(x+2)=48。去括号、移项，化成一般形式：+2x-48=0。这里 a=1，b=2，c=-48，-4ac=-4×1×(-48)=4+192=196。代入公式：x==，得 =6、=-8。菜地的宽不能是负数，把 =-8 舍去，所以宽是 6 米，长是 8 米。验算：6×8=48，与题目的面积相符。（课本 P40） • 练一练：（1）用公式法解方程 2-8x+6=0。（2）用公式法解方程 -3x-1=0。（3）用公式法解方程 +4x+4=0，并说出它有几个实数根。 我写： 温馨提示：抄 a、b、c 的时候，负号一定要跟着项走——例1 里 b 是 -8 而不是 8，例2 里 c 是 -1，里面那个负号也要带着。另外，先把 -4ac 算出来再代公式，这样既不会白算，也能顺手判断一下根的情况；如果算出来是负数，直接写「没有实数根」就够了。 ◆ 第四诀 因式分解法 有些一元二次方程的左边很容易分解成两个一次因式的积，这时有一条更快的路。依据是一个早就学过的结论：如果两个因式的积等于 0，那么这两个因式中至少有一个等于 0，也就是「若 ab=0，则 a=0 或 b=0」。用这个道理解一元二次方程的方法，叫做因式分解法。（课本 P42） 因式分解法也分四步：第一步移项，把方程的一边化成 0；第二步分解，把另一边分解成两个一次因式的积；第三步转化，令每个因式分别等于 0，得到两个一元一次方程；第四步求解，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的根。（课本 P42） 如图5，一个小球从地面竖直向上弹出，它在空中的高度 h（米）与时间 t（秒）满足 h=15t-5。小球从弹出到落回地面，经过了几秒？（课本 P42） 图5 小球上抛的轨迹 ( A B P ) 图5 小球竖直上抛的轨迹，A 是弹出点、P 是最高点、B 是落地点（对应课本 P42） 解：小球落回地面时 h=0，得到方程 15t-5=0。左边提取公因式 5t，得 5t(3-t)=0，于是 t=0 或 3-t=0，解得 =0、=3。t=0 是小球刚弹出地面的那一刻，t=3 是小球落回地面的那一刻，所以小球从弹出到落回地面经过了 3 秒。（课本 P42） 再看两个容易出错的情形。解方程 5=4x：先移项，得 5-4x=0；提取公因式 x，得 x(5x-4)=0，于是 x=0 或 5x-4=0，解得 =0、=。这里千万不能在两边同时除以 x——x 可能等于 0，除掉了就把 =0 这个根弄丢了。 解方程 x(x-2)=x-2：把右边的 (x-2) 移到左边，得 x(x-2)-(x-2)=0；把公因式 (x-2) 提出来，得 (x-2)(x-1)=0，于是 x-2=0 或 x-1=0，解得 =2、=1。同样不能在两边同时除以 (x-2)，否则 =2 就丢了。 如图6，+bx 这样的式子也能用图形说明它为什么可以分解：把边长为 x 的正方形和长、宽分别为 x、b 的矩形上下拼在一起，得到一个大矩形，它的一边是 x，另一边是 x+b，所以 +bx=x(x+b)。 图6 因式分解的几何解释 ( A B C D x x b ) 图6 长方形 ABCD 分成上下两块，左边上的 x 与 b 表示两段的长（对应课本 P42） 用因式分解法解方程，常见的方程有这么几类： 方程的形式 分解的结果 两个根 +bx=0 x(x+b)=0 =0，=-b -=0 (x+a)(x-a)=0 =a，=-a +2ax+=0 =0 ==-a +(a+b)x+ab=0 (x+a)(x+b)=0 =-a，=-b 四诀到这里就齐了，把它们的适用场合摆在一起对着看： 解法 什么时候用 关键一步 直接开平方法 形如 =n 或 =n（n 大于等于 0）的方程 两边直接开平方 配方法 二次项系数为 1、一次项系数是偶数时最方便；也是推出求根公式的方法 两边同加一次项系数一半的平方 公式法 通用，任何有实数根的一元二次方程都能用 先算 -4ac，再代入公式 因式分解法 一边是 0、另一边容易分解成两个一次因式的积 把方程化成「积等于 0」 • 练一练：（1）用因式分解法解方程 -5x=0。（2）用因式分解法解方程 -9=0。（3）用因式分解法解方程 +5x+6=0。（4）解方程 (x+1)(x-3)=0。 我写： 温馨提示：因式分解法最容易踩的坑是「两边同时除以含未知数的因式」。凡是要除以一个含 x 的式子，就得先想一想它会不会等于 0；会等于 0 就不能除，只能移项后提取公因式。另外，用因式分解法之前先看右边是不是 0——右边不是 0 的时候，先移项把它变成 0 再分解。 我写： 四、当堂达标检测 下面 A、B、C 三组题请独立完成，把过程写在空白处，写完再对照后面的参考答案。 ◆ A 组（基础） • 填空：解方程 =11，得 x=__________。 • 填空：方程 =9 的两个根是__________。 • 选择：一元二次方程 -2x-3=0 的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 我写： ◆ B 组（提高） • 用配方法解方程 -6x+5=0。（对应课本 P37 配方法） • 用公式法解方程 2+3x-2=0，并写出它求根时 -4ac 的值。（对应课本 P40 公式法） 我写： ◆ C 组（拓展） • 用因式分解法解方程 -2x=0 与 (x-4)(x+1)=0，并说明两个一次因式的积等于 0 时为什么每个因式都可能为 0。（对应课本 P42 因式分解法） • 一块长方形铁皮的长比宽多 3 米，面积是 40 平方米。设宽为 x 米，列出方程并用公式法求出它的宽。 我写： 温馨提示：B 组第 1 题配方时，两边要加上一次项系数 -6 的一半（即 -3）的平方 9；B 组第 2 题记得先把 a、b、c 抄准，2+3x-2=0 里 b 是 3、c 是 -2。C 组第 1 题的两问其实是一回事：ab=0 时，只要 a 和 b 里有一个是 0，积就是 0，所以两个因式都可能为 0，要分头解。 温馨提示：C 组第 2 题算出两根以后，别忘了一句「宽不能是负数」，把不合题意的那一个舍去。 五、课堂归纳总结 ◆ 知识梳理 • 直接开平方法：=n（n 大于等于 0）时 x=±；=n（n 大于等于 0）时 x=-m±。两个根互为相反数，不合题意的根要舍去。（课本 P36） • 配方法：五步——化（二次项系数化为 1）、移（常数项移到右边）、配（两边同加一次项系数一半的平方）、开（两边开平方）、解（解两个一元一次方程）。（课本 P37） • 求根公式：x=（a 不等于 0，且 -4ac 大于等于 0）。（课本 P39） • 根的判别式：Δ=-4ac。Δ 大于 0 有两个不相等的实数根，Δ 等于 0 有两个相等的实数根，Δ 小于 0 没有实数根。（课本 P39） • 公式法四步：化成一般形式；确定 a、b、c；算 -4ac；代入求根公式。（课本 P40） • 因式分解法四步：移项使一边为 0；分解成两个一次因式的积；令每个因式为 0；解两个一元一次方程。依据是「若 ab=0，则 a=0 或 b=0」。（课本 P42） 把四诀的适用场合与关键步骤列成表，做题时按方程的样子对号入座： 解 法 适用的方程 关键一步 要当心的地方 直接开平方法 =n 或 =n（n 大于等于 0） 两边直接开平方 漏写负的那个根 配方法 二次项系数为 1、一次项系数是偶数 两边同加一次项系数一半的平方 只在一边加数；忘了先化系数 公式法 任何有实数根的一元二次方程 先算 -4ac 再代公式 抄 a、b、c 时丢负号 因式分解法 一边是 0、另一边容易分解 化成「积等于 0」 两边同时除以含 x 的因式而丢根 ◆ 易错清单 • 误：开平方时只写正的那个根。正：=n（n 大于 0）有两个根，要写成 x=±，负的根也要写出来。 • 误：配方时只在方程左边加数。正：要在方程两边同时加上一次项系数一半的平方，否则方程就被改掉了。 • 误：二次项系数不是 1 就直接配方。正：先做第一步「化」，两边都除以二次项系数，把二次项系数化为 1。 • 误：解 5=4x 时两边同时除以 x。正：x 可能等于 0，只能移项后提取公因式，写成 x(5x-4)=0，这样才不丢根。 • 误：把 -4ac 算成 -4c 或丢掉负号。正：抄 a、b、c 时连同符号一起抄，b 是负数时 反而是正数。 • 误：Δ 小于 0 时还硬套求根公式算下去。正：Δ 小于 0 时方程没有实数根，写到这一步就可以停。 ◆ 思想方法 • 转化与降次：一元二次方程没法直接解，就想办法把它转化成两个一元一次方程——直接开平方、配方、因式分解，走的路不同，降次的目的是一样的。 • 由特殊到一般：先从 =n 这类最特殊的方程入手，再用配方法把一般形式 a+bx+c=0 也配成能开平方的样子，于是得到了通用的求根公式。 • 数形结合：配方那一步可以看成「把缺角的正方形补全」，因式分解可以看成「把两块拼成一个矩形」，图形让式子里的变化变得看得见。 我写： 六、课后巩固训练 课后先独立完成 A、B、C 三组题，再做课本上的教材练习与《习题2.2》。做题时记住三件事：解方程前先看看方程长什么样，挑一种简便解法；用公式法时把 a、b、c 连同符号抄准；根解出来以后回到实际问题里检查，不合题意的要舍去。 ◆ A 组（基础巩固） • 填空：方程 =7 的两个根是__________；方程 =3 的两个根是__________。 • 填空：用配方法解方程 +8x=5 时，两边应同时加上__________。 我写： ◆ B 组（能力提升） • 用配方法解方程 2-8x+6=0。 • 用公式法解方程 +2x-8=0，并写出它求根时 -4ac 的值与根的情况。 我写： ◆ C 组（综合拓展） • 用因式分解法解方程 3=6x 与 -6x+9=0。 • 一个直角三角形的两条直角边相差 7 厘米，斜边是 13 厘米。设较短的一条直角边为 x 厘米，列出方程并用公式法求出 x。 我写： ◆ 课本练习 • 教材练习（《习题2.2》第1题）：解下列方程——（1）=25；（2）=9；（3）3-12=0。 • 教材练习（《习题2.2》第2题）：用配方法解下列方程——（1）-6x+5=0；（2）+4x-1=0。 • 教材练习（《习题2.2》第3题）：用公式法解下列方程——（1）-3x-1=0；（2）2-7x+3=0。 ◆ 中考真题小练 • (2026年·浙江杭州) 一元二次方程 =9 的两个根是（ ）A. x=3 B. x=-3 C. =3，=-3 D. ==3 • (2026年·江苏南京) 用配方法解方程 -4x-1=0 时，配方后得到的方程是（ ）A. =5 B. =3 C. =5 D. =3 • (2026年·福建厦门) 一元二次方程 -2x+1=0 的根的情况是（ ）A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法确定 • (2026年·辽宁沈阳) 方程 x(x-3)=0 的根是（ ）A. x=3 B. x=0 C. =0，=3 D. =0，=-3 • (2026年·四川成都) 若关于 x 的一元二次方程 -4x+m=0 有两个相等的实数根，则 m 的值是__________。 • (2026年·湖北武汉) 用公式法解方程 +3x+1=0，则它的两个根是__________。 七、学后反思与解法选择小结 ◆ 我的收获 • 我知道了「开平方」是解一元二次方程的第一条路：形如 =n 的方程有两个根，它们互为相反数；形如 =n 的方程也一样，只是要多移一次项。 • 我学会了配方，也明白了「两边同加一次项系数一半的平方」这句话是从哪儿来的——把缺角的正方形补全，正好就补上这么一个数。 • 我跟着课本推出了求根公式，还认识了根的判别式 Δ=-4ac：它不仅告诉我们根是多少，还先一步告诉了我们有没有根。 • 我掌握了因式分解法，也知道「若 ab=0，则 a=0 或 b=0」这个道理为什么会成立，还记住了不能两边同时除以含未知数的因式。 ◆ 我的疑问 • 配方法、公式法、因式分解法都能解一元二次方程，那拿到一道题该怎么挑？我打算把这一节的方程都重新做一遍，每一种分别用两种解法试着比较一下，看看哪种解法写起来更短。 • 根的判别式只告诉我有几个实数根，它能不能告诉我根是大是小、是正还是负？我准备多找几个方程算一算 -4ac 两个根，看看能不能找出点规律来。 ◆ 四种解法对照一览 把四诀放在一起看，拿到方程先看它长得像谁，照着下面的表挑解法： 看方程的样子 优先考虑 写成什么形式再动手 一边是完全平方式，另一边是非负数 直接开平方法 =n（n 大于等于 0） 二次项系数为 1，一次项系数是偶数 配方法 +bx=c，两边加 系数比较零碎，看不出怎么分解 公式法 a+bx+c=0，先算 -4ac 一边是 0，另一边有明显公因式或能用平方差 因式分解法 化成「两个一次因式的积等于 0」 温馨提示：复习的时候把四诀各写一道题，写在同一个本子上，标出每种解法的第一步。四道题摆在一起，这一节的主线就清楚了：能直接开平方的就开平方，不能的就想办法配成能开平方的样子——凑不出来就上公式，好分解的就直接分解。 我写： 八、参考答案 ◆ （一）课前自主学习 1. 平方根；±。 2. 一次项系数一半；=n。 3. 1。 4. （-4ac 大于等于 0）。 5. 判别式；两个不相等。 6. 0；x+2=0。 ◆ （二）课中合作探究 第一诀 练一练——（1）由 =16 得 x=±4，即 =4、=-4，两个根互为相反数。（2）由 =7 得 x-3=±，所以 =3+、=3-。（3）3-27=0 移项得 3=27，两边都除以 3 得 =9，所以 x=±3，即 =3、=-3。 第二诀 练一练——（1）-4x+3=0 移项得 -4x=-3，两边加上 得 =1，所以 x-2=±1，=3、=1。（2）3-6x-9=0 两边都除以 3 得 -2x-3=0，移项得 -2x=3，两边加上 1 得 =4，所以 x-1=±2，=3、=-1。（3）-4ac=-4×1×2=-4，小于 0，所以方程没有实数根。 第三诀 练一练——（1）a=2、b=-8、c=6，-4ac=64-48=16，x=，=3、=1。（2）a=1、b=-3、c=-1，-4ac=9+4=13，x=，即 =、=。（3）a=1、b=4、c=4，-4ac=16-16=0，所以有两个相等的实数根，x==-2，即 ==-2。 第四诀 练一练——（1）-5x=0 提取公因式得 x(x-5)=0，所以 =0、=5。（2）-9=0 用平方差分解得 (x+3)(x-3)=0，所以 =-3、=3。（3）+5x+6=0 分解得 (x+2)(x+3)=0，所以 =-2、=-3。（4）(x+1)(x-3)=0 得 x+1=0 或 x-3=0，所以 =-1、=3。 ◆ （三）当堂达标检测 A：1. ±。 2. =4，=-2（由 x-1=±3 得）。 3. A（-4ac=4+12=16，大于 0，有两个不相等的实数根）。 B：1. -6x+5=0 移项得 -6x=-5，两边加上 =9 得 =4，所以 x-3=±2，=5、=1。 2. a=2、b=3、c=-2，-4ac=9+16=25，x=，所以 =、=-2。 C：1. -2x=0 提取公因式得 x(x-2)=0，所以 =0、=2；(x-4)(x+1)=0 得 x-4=0 或 x+1=0，所以 =4、=-1。道理是：两个因式的积等于 0，说明其中至少有一个因式等于 0，所以每个因式都可能为 0，要分别令它们等于 0 去解。 2. 设宽为 x 米，则长为 (x+3) 米，由面积得 x(x+3)=40，整理得 +3x-40=0。a=1、b=3、c=-40，-4ac=9+160=169，x=，得 =5、=-8；宽不能是负数，舍去 -8，所以宽是 5 米。 ◆ （四）课后巩固训练 A：1. =，=-；=-2+，=-2-。 2. 16（一次项系数 8 的一半是 4，4 的平方是 16）。 B：1. 2-8x+6=0 两边都除以 2 得 -4x+3=0，移项得 -4x=-3，两边加上 4 得 =1，所以 x-2=±1，=3、=1。 2. a=1、b=2、c=-8，-4ac=4+32=36，大于 0，所以有两个不相等的实数根；x=，得 =2、=-4。 C：1. 3=6x 移项得 3-6x=0，提取公因式得 3x(x-2)=0，所以 =0、=2；-6x+9=0 用完全平方公式分解得 =0，所以 ==3。 2. 设较短的一条直角边为 x 厘米，则另一条直角边为 (x+7) 厘米，由勾股定理得 +=；展开、合并同类项得 2+14x+49=169，整理得 +7x-60=0。a=1、b=7、c=-60，-4ac=49+240=289，x=，得 =5、=-12；边长不能是负数，舍去 -12，所以 x=5，即较短的一条直角边是 5 厘米（另一条是 12 厘米，+=25+144=169=，符合勾股定理）。 ◆ （五）课本练习 《习题2.2》第1题——（1）=25 得 x=±5，=5、=-5。（2）=9 得 x-2=±3，=5、=-1。（3）3-12=0 移项得 3=12，两边都除以 3 得 =4，所以 =2、=-2。 《习题2.2》第2题——（1）-6x+5=0 移项得 -6x=-5，两边加上 9 得 =4，所以 =5、=1。（2）+4x-1=0 移项得 +4x=1，两边加上 4 得 =5，所以 =-2+、=-2-。 《习题2.2》第3题——（1）a=1、b=-3、c=-1，-4ac=9+4=13，x=，=、=。（2）a=2、b=-7、c=3，-4ac=49-24=25，x=，=3、=。 ◆ （六）中考真题 1. C。=9 两边开平方得 x=±3，所以 =3、=-3；A、B 各只写了一个根，D 把两个根写成相等，都不对。 2. A。-4x-1=0 移项得 -4x=1，两边加上 4 得 =5。 3. B。-4ac=-4×1×1=0，所以有两个相等的实数根。 4. C。两个因式的积等于 0，令 x=0 或 x-3=0，得 =0、=3。 5. 4。方程有两个相等的实数根，所以 -4ac=-4×1×m=16-4m=0，解得 m=4。 6. =，=。a=1、b=3、c=1，-4ac=9-4=5，x=。 学科网（北京）股份有限公司 $