27.1.1反比例函数--教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

27.1.1 反比例函数 课题名称 27.1.1 反比例函数 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 反比例函数的概念 内容解析 《反比例函数的概念》是人教版九年级上册第二十七章"反比例函数"的起始课。在此之前，学生已经学习了正比例函数、一次函数与二次函数，对"在一个变化过程中，两个变量之间的唯一对应关系"有了较为系统的认识。本节课通过分析实际问题中两个变量的相依关系，抽象概括出反比例函数的概念，是初中阶段研究的又一类基本初等函数。 反比例函数刻画的是"两个变量的乘积为同一个非零常数"这一现实中广泛存在的数量关系（如路程一定时速度与时间、矩形面积一定时长与宽、压力一定时压强与受力面积等），与物理、化学等学科联系紧密。它既是对函数概念和模型观念的进一步深化，也为后续学习反比例函数的图象与性质、用反比例函数模型解决实际问题奠定基础，在本章乃至整个初中函数知识体系中都起着承上启下的作用。教学中应让学生经历"实际问题—列出关系式—观察归纳—抽象概念—辨析应用"的完整过程，发展数学抽象与数学建模素养。 目标与目标解析 单元整体目标 本章在学生已经学习一次函数、二次函数的基础上，进一步研究初中阶段又一类重要的基本初等函数——反比例函数。教材按照"反比例函数的概念—反比例函数的图象和性质—建立反比例函数模型解决实际问题"的顺序展开，引导学生再次经历"从实际问题中抽象出函数模型—研究图象与性质—运用模型解决实际问题"的完整过程，丰富对函数的认识，发展模型观念、几何直观与数形结合思想。 对应课标： ① 结合具体情境体会反比例函数的意义，能根据已知条件确定反比例函数的表达式； ② 能画出反比例函数的图象，根据图象和解析式 （k 为常数，k≠0）探索并理解其图象和性质； ③ 能用反比例函数解决简单的实际问题； ④ 在观察、画图、探究等活动中，发展数学抽象、数学建模、几何直观与数学运算等核心素养。 课时目标 1. 通过分析实际问题中的变量关系，经历从具体情境中抽象出反比例函数概念的过程，理解反比例函数的概念，能识别反比例函数并指出其比例系数 k，发展数学抽象与模型观念。 2. 掌握反比例函数的三种表达形式 、xy=k、（k 为常数，k≠0），明确自变量 x 的取值范围是不等于 0 的一切实数，并能结合实际问题确定自变量的取值范围，发展数学抽象素养。 3. 会用待定系数法求简单情境下反比例函数的解析式，并能根据解析式求出给定自变量对应的函数值，发展数学运算能力。 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能从京沪铁路行程、矩形绿地面积、人均土地面积等实例中列出两个变量之间的关系式，归纳出"两个变量的乘积为同一个非零常数、右边可写成常数除以自变量"的共同特征，并能口述反比例函数的定义。 达成目标2的标志是：学生能判断给出的关系式是否为反比例函数，能在 、xy=k、 三种形式之间互相转化，并能说明为什么规定 k≠0、为什么自变量 x≠0，还能结合实际意义写出自变量的具体取值范围。 达成目标3的标志是：学生能类比一次函数的学习经验，设出 ，代入已知条件求出 k，写出函数解析式，并能由给定的 x（或 y）求出对应的 y（或 x）。 学情分析 已有的知识、认知水平 从认知结构看，九年级学生已经系统学习了函数的概念以及正比例函数、一次函数、二次函数，初步具备"从实际问题中列出变量关系式—观察共同特征—归纳函数定义—研究图象与性质—解决实际问题"的基本活动经验；在小学阶段也接触过成反比例的量（如总价一定时单价与数量），对"两个量的乘积一定"有朴素认识。多数学生能够类比一次函数的研究方法迁移到本节课的学习。 困惑点或探索点 ① 容易忽略"k≠0"这一必要条件，误把 、、 等关系式当作反比例函数；② 对自变量取值范围往往只记住"x≠0"，而不会结合实际问题（时间、长度、人数必须为正）写出具体范围；③ 对 xy=k、 两种变形形式的识别不够熟练。 教学重难点 教学重点 理解反比例函数的概念，能识别反比例函数，并用待定系数法求简单情境下反比例函数的解析式。 教学难点 理解反比例函数概念中"k≠0""x≠0"的规定，以及从实际问题中抽象出反比例关系并确定自变量的取值范围。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：反比例函数是初中阶段继一次函数、二次函数之后又一类重要的基本初等函数，刻画"两个变量乘积为定值"这一现实中广泛存在的数量关系，是函数模型观念的重要载体，也为后续学习图象性质、解决实际问题及高中进一步学习函数奠定基础。 学什么：反比例函数的概念、三种表达形式、自变量的取值范围、用待定系数法求反比例函数的解析式。 怎么学：以教材提供的三个实际问题为载体，采用"情境—列式—观察—归纳—定义—辨析—应用"的探究式教学；通过与一次函数、正比例函数的类比，引导学生自主抽象出概念；通过正例与反例的对比辨析，突破"k≠0"这一难点；学生以独立思考与小组合作相结合的方式开展学习。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 情境引入 复习引入 师：我们已经学过哪些函数？什么是函数？ 生：一次函数 y=kx+b（k≠0）、正比例函数 y=kx（k≠0）、二次函数 y=ax²+bx+c；在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么就说 y 是 x 的函数。 师：请同学们列出下面问题中两个变量之间的关系式： （1）京沪线铁路全程为 1463 km，某次列车的平均速度 v（km/h）随全程运行时间 t（h）的变化而变化； （2）某小区要建造一个面积为 1000 m² 的矩形绿地，绿地的长 y（m）随宽 x（m）的变化而变化； （3）北京市的总面积为 1.68×10⁴ km²，人均占有的土地面积 S（km²/人）随全市人口 n（人）的变化而变化。 生：（1）；（2）；（3）。 学生能正确回忆已学函数与函数概念； 能正确列出三个关系式，并说出每个式子中两个变量的乘积为定值（vt=1463，xy=1000，Sn=1.68×10⁴）。 复习函数概念与已学函数，为类比学习做铺垫；三个实例均来自教材，贴近生活并体现学科联系，让学生感受"两个变量乘积为定值"的共同特征，为抽象反比例函数概念提供现实原型，激发学习兴趣。 概念探究 反比例函数概念的形成、辨析与待定系数法 师：观察上面三个关系式 、、，它们有什么共同特点？ 生1：左边都是一个变量，右边都是常数除以另一个变量。 生2：两个变量的乘积都等于同一个常数。 师：如果用 x 表示自变量、y 表示函数、常数用 k 表示，你能写出这种函数的一般形式吗？ 生：。 师：（板书）一般地，形如 （k 为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。其中 x 是自变量，y 是 x 的函数。 师：思考：① 为什么规定 k≠0？② 自变量 x 的取值范围是什么？ 生：① 若 k=0，则 y=0，变成常数函数，不再反映反比例关系；② 因为除数不能为 0，所以 x≠0。在上面的实际问题中，t、x、n 还必须为正数。 师：反比例函数还可以写成哪些形式？ 生：xy=k；。 师：（辨析）下列关系式中，y 是 x 的反比例函数吗？如果是，比例系数 k 是多少？ （1）；（2）；（3）y=1-x；（4）xy=-3；（5）；（6）；（7）。 生：（1）是，k=4；（2）是，，k=-；（3）不是，是一次函数；（4）是，k=-3；（5）是，k=5；（6）不是，是正比例函数；（7）不是，分母是 x²。 师：（教材例1）已知 y 是 x 的反比例函数，并且当 x=2 时，y=6。 （1）写出 y 关于 x 的函数解析式；（2）求当 x=4 时 y 的值。 生：（1）设 ，把 x=2，y=6 代入，得 6=，解得 k=12，所以 。 （2）当 x=4 时，=3。 学生能归纳出"右边是常数除以自变量、两个变量乘积为定值"的共同特征； 能说出 k≠0 与 x≠0 的理由； 能正确辨析正例与反例，尤其能识别 、xy=-3、 等变形； 能用待定系数法独立完成例1。 让学生经历"具体—抽象—一般"的概念形成过程，落实数学抽象素养；通过正、反例对比辨析，深化对概念本质（分母只能是单个 x、k≠0）的理解，突破难点；待定系数法类比一次函数的学习经验实现方法迁移，培养数学运算素养与合作交流意识。 课堂练习 知识巩固 练习1（教材课后练习）下列问题中，y 是 x 的反比例函数吗？若是，比例系数 k 是多少？ （1）某村耕地面积为 200 ha，人均耕地面积 y（ha/人）随人口数 x（人）变化； （2）三角形的面积为 12 cm²，它的一边长 y（cm）随这边上的高 x（cm）变化； （3）圆柱的体积为 10 cm³，它的高 y（cm）随底面面积 x（cm²）变化。 生：（1），是，k=200；（2）由 ·x·y=12 得 ，是，k=24；（3），是，k=10。 练习2 已知 y 是 x 的反比例函数，当 x=3 时，y=-4。 （1）求 y 与 x 之间的函数解析式；（2）当 y= 时，求 x 的值。 生：设 ，代入 x=3，y=-4，得 -4=，k=-12，所以 。当 y= 时，=，x=-24。 练习3（拓展，选做）若函数 是反比例函数，求 m 的值。 生：由反比例函数形式 ，得 m²-2=-1 且 m-1≠0。由 m²-2=-1 得 m²=1，m=±1；又 m-1≠0，即 m≠1，所以 m=-1。 练习1能从实际问题与几何图形中列出反比例关系； 练习2能完整完成待定系数法并由函数值求自变量； 练习3（选做）能综合运用 的形式与 k≠0 的条件。 练习由易到难、由直接应用到综合辨析，层层递进，既巩固概念识别与待定系数法，又兼顾不同层次学生；练习3为含参问题，深化对"自变量指数为 -1、比例系数不为 0"的理解，体现分层教学。 反思总结 学生为主体发言总结 师：请同学们一起回顾，本节课你学到了什么？ 生1：反比例函数的定义 （k 为常数，k≠0）； 生2：反比例函数的三种形式 、xy=k、，自变量 x 的取值范围是 x≠0； 生3：用待定系数法求反比例函数的解析式。 师：本节课还有哪些疑惑？说一说！ 学生能主动梳理知识框架，说出"概念—形式—方法"三大要点； 能提出并交流尚存的疑惑。 通过学生自主小结，将新知纳入已有的函数知识体系；通过质疑答疑深化理解，培养归纳概括与反思习惯。 板书设计 27.1.1 反比例函数 1. 定义：一般地，形如 （k 为常数，k≠0）的函数，叫做反比例函数。 2. 三种形式：；xy=k；。 自变量 x 的取值范围：x≠0（实际问题要符合实际意义）。 3. 待定系数法求解析式： 例：x=2 时 y=6 → 设 → 6= → k=12 → 。 提纲挈领，重点突出。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $