27.2.2 反比例函数的图象和性质（2） 教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章　反比例函数 27.2.2　反比例函数的图象和性质（2）（教学设计） 一、教学目标（核心素养导向） 1．熟练运用待定系数法求反比例函数的解析式，会判断点是否在函数图象上； 2．结合 k 的取值确定图象所在象限，准确比较图象上点的纵坐标大小； 3．综合正比例与反比例函数的图象，解决含参数、取值范围的综合问题。 二、教学重点 运用反比例函数的性质比较函数值的大小，掌握待定系数法求解析式。 三、教学难点 结合数形结合思想，区分同象限与跨象限两种情形比较函数值，解决函数综合参数问题。 四、教学过程 活动一：复习铺垫，温故知新 【复习导入】 问题1：反比例函数 ① ；② ；③ ；④ 。 (1) 图象位于第一、三象限的是________； (2) 图象位于第二、四象限的是________。 问题2：以上四个函数图象上各取两点 、，且两点在同一象限内： (1) 若 ，满足 的函数是________； (2) 若 ，满足 的函数是________。 【参考答案】先把各函数化为 y=k/x 的形式：① k=−2；② k=；③ k=；④ k=。(1) ②④；(2) ①③。问题2：(1) 增函数对应 k<0，即图象在二、四象限的函数，为①③；(2) 减函数对应 k>0，为②④。 【教学建议】学生独立完成后当场订正，重点强调增减性仅限同一象限，顺势引出本课主题。 【设计意图】复习反比例函数的基础性质，唤醒旧知，为本节课比较函数值的大小做好铺垫。 活动二：典例引领，学以致用 探究点1　反比例函数的图象和性质的运用 例1　已知反比例函数的图象经过点 。 (1) 这个函数的图象位于哪些象限？y 随 x 的增大如何变化？ (2) 点 、、 是否在该图象上？ 【参考答案】设 。把 A（−2，4）代入得 k=−8，所以 。(1) 因为 k=−8<0，图象位于第二、四象限，在每一个象限内 y 随 x 的增大而增大。(2) B：1×(−8)=−8，在图象上；C：，在图象上；D：2×4=8≠−8，不在图象上。 对应练习 1．已知一个反比例函数的图象经过点 A（2，6）。 (1) 这个函数的图象位于哪些象限？在每一个象限内，y 随 x 的增大如何变化？ (2) 点 、、 是否在这个函数的图象上？为什么？ 【参考答案】设 。把 A（2，6）代入得 k=12，所以 。(1) k=12>0，图象位于第一、三象限，在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小。(2) B：3×4=12，在图象上；C：，在图象上；D：2×(−6)=−12≠12，不在图象上。 【教学建议】学生独立演算后展示思路，规范解题步骤，总结“把点的坐标代入检验 xy 是否等于 k”这一判断方法。 【设计意图】学习待定系数法求反比例函数解析式，掌握判断点是否在图象上的方法，巩固图象性质。 探究点2　反比例函数图象上点的纵坐标大小比较 例2　下图中的曲线是反比例函数 的图象的一支。根据图象，回答下列问题： (1) 图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ (2) 在这个函数图象的某一支上任取点 和点 。如果 ，那么 和 有怎样的大小关系？ 【参考答案】(1) 这个函数的图象是双曲线，已知的一支在第一象限，所以另一支位于第三象限；此时 m−5>0，即 m>5。(2) 因为 m>5，在每个象限内 y 随 x 的增大而减小；由 且两点在同一支上，得 。 试一试 1．反比例函数 的图象既是________对称图形，其对称中心是________；又是________对称图形，其对称轴是直线________________。 【参考答案】中心；原点（0，0）；轴；直线 y=x 和 y=−x。 2．反比例函数 的图象的一支位于第二象限。图象的另一支位于哪个象限？常数 m 的取值范围是什么？ 【参考答案】另一支位于第四象限；由 m+2<0 得 m<−2。 3．已知点 、 在反比例函数 的图象上。如果 ，且 同号，那么 、 有怎样的大小关系？为什么？ 【参考答案】k=1>0，在每一个象限内 y 随 x 的增大而减小；x₁、x₂ 同号说明两点在同一象限内，由 得 。 【教学建议】结合图象直观分析，强调增减性的适用范围是同一象限，配套练习当堂巩固。 【设计意图】探究同一支上函数值的大小比较，深化对增减性的理解，同时认识反比例函数图象的对称性。 活动三：综合演练，拓展提高 1．如果点（3，−4）在反比例函数 的图象上，那么下列各点中，在此图象上的是（　　） A．（3，4）；B．（−2，−6）；C．（−2，6）；D．（−3，−4） 【参考答案】C。由（3，−4）得 k=3×(−4)=−12；逐项检验：A 3×4=12，B (−2)×(−6)=12，C (−2)×6=−12，D (−3)×(−4)=12，只有 C 的乘积为 −12，故选 C。 2．多选：函数 与 （k≠0）在同一坐标系中的图象大致为（　　） 【参考答案】BD。k>0 时，直线 y=kx 经过第一、三象限，双曲线两支也在第一、三象限，对应 B；k<0 时，直线经过第二、四象限，双曲线两支也在第二、四象限，对应 D。A、C 中直线与双曲线所在象限不一致，排除。 3．正比例函数 与反比例函数 的图象有一个交点的纵坐标为 2。求： (1) 当 时，反比例函数 的值； (2) 当 时，反比例函数 的取值范围。 【参考答案】由 （k≠0）得 x²=1，即 x=±1；交点为（1，k）和（−1，−k）。因为有一个交点的纵坐标为 2，所以 k=±2。① 当 k=2 时，，(1) x=−3 时 ；(2) 当 −3<x<−1 时，。② 当 k=−2 时，，(1) x=−3 时 ；(2) 当 −3<x<−1 时，。 拓展提升 1．已知反比例函数的图象及图象上两点横坐标的大小，如何比较纵坐标的大小？反之呢？ 【参考答案】先看两点是否在同一象限内：同一象限内可直接用增减性比较；跨象限时先按正负判断（k>0 时第二象限点的纵坐标为正、第一象限点的纵坐标为负；k<0 时相反）。反过来，在已知 k 的符号且两点同象限时，也可由纵坐标的大小反推横坐标的大小。 对应练习 已知点 、 是反比例函数 （k>0）图象上的两点，若 ，则有（　　） A．　B．　C．　D． 【参考答案】A。k>0 时，x₁<0 的点在第二象限，纵坐标 为负；x₂>0 的点在第一象限，纵坐标 为正，故 。 2．在反比例函数图象及性质的应用中体现了数形结合思想，能否谈谈你的体会？ 【参考答案】示例：由 k 的符号可以确定双曲线的位置，由图象的位置又能直观看出函数值的正负与增减趋势；“以形助数、以数解形”，把解析式与图象结合起来分析，问题会变得更简单。 【教学建议】学生独立练习后交流思路，借助图象辅助分析，重点辨析同象限与跨象限两种情形下比较函数值的区别。 【设计意图】以分层习题巩固本课知识点，训练含参数的综合题型，深化数形结合思想，突破跨象限比较函数值大小的难点。 活动四：总结提炼，课后延伸 【随堂训练】独立完成《练习册》“随堂小练”中本节配套的习题，完成后小组内核对。 【课堂总结】课程尾声，围绕思维导图梳理本课脉络，用下列问题检测掌握情况： 1．如何利用待定系数法求反比例函数解析式？怎样判断点是否在函数图象上？ 2．比较反比例函数图象上两点纵坐标的大小时，需要注意什么关键点？ 3．本节课研究反比例函数用到了什么重要的数学思想？请举例说明。 【参考答案】1．先设 ，把已知点的坐标代入求出 k；判断点是否在图象上，只需检验该点的横、纵坐标之积是否等于 k。2．关键看两点是否在同一象限内：同象限用增减性比较，跨象限先按纵坐标的正负判断。3．数形结合。例如由 k>0 直接得到“图象在一、三象限、同象限内 y 随 x 增大而减小”，再借助图象比较函数值的大小。 【知识结构】 反比例函数的图象和性质（2）：①求解析式：待定系数法，点（x，y）在图象上等价于 xy=k；②比较函数值大小：同象限内利用增减性，跨象限先按正负判断；③图象的对称性：既是中心对称图形（对称中心为原点），又是轴对称图形（对称轴为 y=±x）；④思想方法：数形结合。 【作业布置】 1．从教材习题 27.2 中选取相关题目巩固本节内容； 2．完成《同步练习》本课时的训练。 五、板书设计 27.2.2　反比例函数的图象和性质（2） 1．求解析式：待定系数法；点 在图象上等价于 ； 2．比较函数值大小：同象限内利用增减性；跨象限直接根据正负判断； 3．思想方法：数形结合。 六、教学反思 本节课围绕反比例函数性质的应用展开，多数学生能掌握待定系数法，但容易忽略“增减性只适用于同一象限”，跨象限比较函数值易错。后续教学可增加画图分析环节，借助图形强化理解；分层习题可进一步优化，给学困生更多基础辨析练习。 学科网（北京）股份有限公司 $