27.3.2 实际问题与反比例函数（2） 教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

第二十七章　反比例函数 27.3.2　实际问题与反比例函数（2）（教学设计） 一、教学目标（核心素养导向） 1．能从行程、做功、压强等实际情境建立反比例函数模型，求解解析式； 2．结合函数图象与增减性，求解变量取值范围类的实际问题； 3．根据实验散点数据拟合反比例函数，解决跨学科综合应用题。 二、教学重点 建立反比例函数模型，结合函数图象与性质解决取值范围类的实际问题。 三、教学难点 根据实验数据拟合反比例函数，运用模型解决跨学科综合性问题。 四、教学过程 活动一：回顾搭桥，引出新课 【复习导入】 上节课我们概括了用反比例函数解决实际问题的六个环节——审、设、列、写、解、验、答。请同学们先在心里默想一遍这套流程，本节课我们将借助它解决取值范围类的实际问题。 【教学建议】简要回顾解题流程，点名本课要解决的“变量范围”新任务，直接进入例题。 【设计意图】复习建模步骤，衔接新旧知识，为较复杂的实际问题探究做好铺垫。 活动二：读图建模，获取新知 探究点　反比例函数在限定范围内的应用 例3　在力 F（单位：N）的作用下，物体会在力 F 的方向上发生位移 s（单位：m），则力 F 所做的功 W（单位：J）满足 W=Fs。当 W 为定值时，s 与 F 之间的函数关系如图所示。 (1) 当力 F 为 10 N 时，求 F 所做的功 W； (2) 写出 s 关于 F 的函数解析式； (3) 在做功相同的情况下，要使物体在力的作用下的位移小于 100 m，求力的范围。 【参考答案】(1) 由图象可知点（10，50）在函数图象上，所以 W=Fs=10×50=500（J）。(2) 由 Fs=500 得 （F>0）。(3) 由 s<100 得 ，解得 F>5，即所用力应大于 5 N。 【教学建议】引导学生从图象中读取已知条件（点（10，50）），对比代数解法与图象解法，强调自变量的取值要符合实际意义。 【设计意图】结合物理做功实例建模，训练借助反比例函数的图象与增减性求解变量范围，体会数形结合思想。 例4　一辆客车从甲地行驶到乙地，平均速度 v（单位：km/h）与行驶全程所用时间 t（单位：h）的函数关系如图所示，其中 60≤v≤120。 (1) 写出 v 关于 t 的函数解析式，并求 t 的取值范围； (2) 若客车上午 8 时从甲地出发，需在当天 10 时 40 分至 11 时之间到达乙地，求客车平均速度 v 的范围。 【参考答案】(1) 由图象上的点（2，120）得路程 s=2×120=240（km），所以 。由 60≤v≤120 得 ，解得 2≤t≤4。(2) 从 8 时到 10 时 40 分、11 时，行驶时间为 h 至 3 h，即 。由 随 t 的增大而减小，得 ，即 80≤v≤90。 【教学建议】引导学生分析路程一定这一变量关系，结合图象与不等式两种方法求解，注意时间的换算。 【设计意图】通过行程实例巩固利用反比例函数性质求解取值范围的方法，强化数形结合思想。 活动三：跨科练兵，巩固提升 1．如图，科技小组准备用材料围建一个面积为 60 m² 的矩形科技园 ABCD，其中一边 AB 靠墙，墙长为 12 m。设 AD 的长为 x m，DC 的长为 y m。 (1) 求 y 关于 x 的函数解析式； (2) 求 x 的取值范围。 【参考答案】(1) 由 xy=60 得 。(2) 因为 DC=AB=y≤12，所以 ，解得 x≥5；又 x>0，故 x 的取值范围是 x≥5。 2．近视眼镜镜片的度数 y（单位：度）是关于镜片焦距 x（单位：m）的反比例函数，其图象如图所示。 (1) 求近视眼镜镜片的度数 y 关于镜片焦距 x 的函数解析式； (2) 若某近视眼镜的镜片为 500 度，求其焦距。 【参考答案】(1) 设 。由图象过点（0.25，400）得 k=0.25×400=100，所以 。(2) 当 y=500 时，，即焦距为 0.2 m。 3．收音机的音量、台灯的亮度以及电风扇的转速都可以通过内置的可变电阻来调节。某用电器内置可变电阻 R 的范围为 110～220 Ω，电压 U 为 220 V。已知功率 ，回答下列问题： (1) 功率 P 与电阻 R 有怎样的函数关系？ (2) 这个用电器的功率 P 的范围是多少？ 【参考答案】(1) （110≤R≤220）。(2) P 随 R 的增大而减小，当 R=110 时 ，当 R=220 时 ，所以功率 P 的范围是 220～440 W。 【教学建议】学生独立完成后交流解法，引导挖掘等量关系，重视自变量的实际限制条件。 【设计意图】选取几何、光学、电学等跨学科习题，巩固建模方法与取值范围求解，提升综合应用能力。 活动四：盘点收获，分层作业 【随堂训练】当堂限时完成《练习册》“随堂小练”中本课时的配套题目，即时讲评易错题。 【课堂总结】结课前，教师引导学生对照思维导图自查本课掌握情况，重点回答： 1．在实际问题中，利用反比例函数求变量的范围，常用哪两种方法？ 2．求解时为什么要关注自变量的取值，而不能只看解析式？ 3．本节课的跨学科例题体现了什么数学思想？ 【参考答案】1．一是利用增减性把“变量的范围”转化为“自变量的范围”求解；二是结合图象直观确定范围。2．实际问题中自变量还受实际意义约束（如焦距、电阻为正数，时间不小于最短用时），只看解析式可能得出不符合实际的答案。3．数学建模思想与数形结合思想。 【知识结构】 【作业布置】 1．完成教材习题 27.3 中的相关题目； 2．完成《同步练习》本课时的对应训练。 五、板书设计 27.3.2　实际问题与反比例函数（2） 1．建模流程：审→设→列→写→解→验→答 2．重点题型：利用反比例函数的增减性求变量取值范围 核心：自变量的取值必须符合实际意义 3．数学思想：建模思想、数形结合思想 六、教学反思 本节课借助物理、几何、电学等跨学科实例开展教学，学生基本掌握利用反比例函数性质求解取值范围的方法。部分学生解题时容易忽略实际限制条件，直接依靠解析式计算。后续教学可多结合函数图象直观分析，加强审题训练，提升学生综合应用与检验取舍的能力。 学科网（北京）股份有限公司 $