北京市东直门中学2026-2027学年高二上学期10月月考数学试卷

北京市东直门中学2026-2027学年度第一学期阶段考试 高二数学 2026.10 考试时间:120分钟总分150分 班级 姓名」 学号 第一部分 一.选择题:(本题有12道小题,每小题4分,共48分) 1.已知直线1经过点(2,√3)和点(3,0),则1的倾斜角为 A.g B胃 C.2 D. 5 3 6 2.若AB<0,BC>0,则直线Ax-By+C=0不经过的象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.已知平面x的一个法向量n=(2,-1,1),若直线l⊥平面x,则直线1的一个方向向量 m可以是 A.(-4,2,-2) B.(1,1,-1) C.(-2,-1,1) D.(1,1,1) 4.设m,n是两条不同的直线,心,B是两个不同的平面,下列四个命题正确的是: A.如果m//a,nca,那么m//m B.如果m1,m1B,那么a/ C.如果a1B,m1a,那么m/B D.如果a1B,anB=m,m1n,那么n1B 5.在 ABC中,3 asinB=V3 bcosA,则∠A= A B. C. D.8 1/6 6.设x、y∈R,向量a=(x,1,1),b=(1,y,1),c=(3,6,3),且lc,D/c, 则+b= A.2√2 B.2V3 C.4 D.3 7.已知点0,A,B,C为空间不共面的四点,且向量a=OA+OB+0C, 向量b=0A+0B-0C,则与,b不能构成空间基底的向量是 A.OA B.OB C.oc D.OA或OB 8.己知直线l1:x+(1+a)y-2+a=0,直线l,:2ax+4y+16=0, 则“a=1”是“(/1儿2”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分又不必要条件 9.我国古代数学名著仇九章算术》中,将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为 阳马.如图所示,己知四棱锥P-ABCD是阳马,PA1平面ABCD,且PE=1PC,若AB= a,AD=b,AP=c,则BE= A-a-b+c 5 B.jatib- 5 44 C.ja-ib-ie 3 3 D.-4a+4 b+ 10.过点P(2,-1)且与点A(1,2)、B(4,3)距离相等的直线方程为 A.x-3y-5=0或7x-y-15=0 B.x-3y-5=0 C.7x-y-15=0 D.x-3y-5=0或x+7y+5=0 11.在一个四面体中,若存在一个项点处的三条棱两两垂直,则称该四面体为直角四面体, 同时,把该顶点叫作完美顶点”若在四面体ABCD中存在“完美顶点”A,AB=2,AC=3, AD=6,F为AD的中点,则CF与BD所成角的余弦值为 A. 6 B沿 c.9 D.9 2/6 12.点M,N分别是棱长为2的正方体ABCD-A1B1CD1中棱BC,CC的中点,动点P在正 方形BCC1B1(包括边界)内运动.若PA1/面AMN,则PA1的长度范围是 C B -PN D M A.[2,V⑤ B C.,3 D.[2,3] 第二部分 二.填空题:(本题有6道小题,每小题5分,共30分) 13.已知点P(-2,3,1)关于坐标平面Oy的对称点为P,点P关于z轴的对称点为B, 则P的坐标为 14.己知向量a在向量b上的投影向量是-号b,且b=(1,V2,-1),则a b= 15.在空间直角坐标系中,已知点A(1,0,0),B0,1,0),C0,0,1),若点P(x,2,1)在 平面ABC内,则x= 16.已知在 ABC中,sinA:sinB:sinC=5:7:8,且 ABC的面积为10v3,则AB边上的 中线长度为 17.已知过点P(0,-1)作直线1,若直线1与连接A(3,-4),B(3,V5-1)两点的线段总有公 共点,直线1的倾斜角的取值范围为 3/6 18.如图,在棱长为2的正方体ABCD-ABCD中,M,N,P分别是AA,CC,CD的中点, Q是线段DA上的动点(不包含端点),则下列说法正确的是 ①.对于任意点Q,都有BQ⊥AB D ②.对于任意点Q,不存在BQ/平面MNP A ③.过点Q且与BN垂直的平面截正方体 ABCD-AB,C,D所得截面面积的最大值为2√5 M ④.存在点Q,使得三棱锥A-BDQ体积为 3 B 三.解答题:(本题有6道小题,共72分) 19.如图,在三棱锥P-ABC中,点D为棱BC上一点,且CD=2BD,点M为线段AD的 中点. (I)以AB、AC、AP为一组基底表示向量PM; ( )若AB=AC=3,AP=4,∠BAC=∠PAC=60 求PM.AC. D 20.在 4BC中,角A,B,C所对的边为a,b,c,cosB=1,(a+c)sinB-bsin A=3 (I)求c的值: ()从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知,使得 ABC为钝角 三角形,求AC边上的高, 条件①:b=5; 条件②:BA.BC=16: 条件③: ABC的周长为18 4/6 21.如图,四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,E、F分别是 AB、PD的中点.若PA=AD=3,CD=V6. (I)求证:AF//平面PCE: ( )求点F到平面PCE的距离. A 22.已知在 ABC中,AB边上的高所在的直线方程为x+y=0,AC边上的高所在的直线 方程为2x-3y+1=0,点A的坐标为(1,2). (I)求垂心H的坐标(垂心是三角形三条高线的交点): (I )求BC所在的直线方程, 23.如图,在三棱柱ABC-A1B,C1中,AB1平面BB,CC,己知∠BCC:=BC=1, AB=C1C=2,点E是棱CC1的中点. (I)求证:C1B1平面ABC: (I )求平面AB1E与平面A1B1E夹角的余弦值; ( )在棱CA上是否存在一点M,使得EM与平面A1B1E 所成角的正弦值为2?若存在,求出测的值:若不存 11 B 在,请说明理由, 5/6 24.设n为正整数,集合S={aua=(6,t2,…,t2n),4∈{0,1},i=1,2,…,2n 对于集合S中的元素a=(x,x2,…,x2n)和B=(y,y2,,y2n), 记k=x-y+x-y2+…+x2m-y2n为元素a与B的相异系数. (I)当=2时,写出与元素(1,1,1,1)的相异系数为3的所有元素: ( )当=2时,证明:对于集合S中任意3个元素,必存在两个不同元素的相异系数 小于3: ( )当n=10时,集合S中是否存在10个元素,其中任意两个不同元素的相异系数都 不小于11?请说明理由. 6/6