5.3二元一次方程组的应用教学设计-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

5.3 二元一次方程组的应用（教学设计） 课题 5.3 二元一次方程组的应用 单元 第五章 二元一次方程组（5.3 二元一次方程组的应用 共2课时） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、通过鸡兔同笼、以绳测井、增收节支、火车过隧道等经典问题，经历用二元一次方程组刻画实际问题的全过程，掌握列方程组解应用题的一般步骤； 2、能在不同情境中找出两个等量关系，设两个未知数并列出相应的二元一次方程组，能规范写出完整的解题过程； 3、通过对增收节支、营养品配制、火车过隧道等例题的分析，能识别增长率、配比、行程问题中的基本数量关系，提高分析问题和解决问题的能力； 4、能通过代入检验判断结果是否合理，能根据实际问题的背景对解进行解释和取舍； 5、【核心素养】在列方程组解应用题的过程中，发展模型观念、应用意识和运算能力，感受中国古代数学名著（《孙子算经》《九章算术》《算法统宗》）的数学文化价值。 教材分析 1、内容地位：本节是第五章的重点和应用部分，是在学生已经掌握代入消元法和加减消元法（5.2）的基础上，学习用方程组解决实际问题，是方程模型的综合应用，也是中考的重要考点。 2、编写思路：教材以《孙子算经》“鸡兔同笼”问题引入（教材第120页），通过“尝试·思考”让学生用两种方法（算术法和方程组法）解同一问题，体会方程组的优越性；然后通过《张丘建算经》“甲乙持钱”问题（例1）和《九章算术》“牛羊值金”问题（随堂练习）展示古算题；接着以“增收节支”工厂利润问题引入增长率型应用题（教材第122页），通过例2营养品配制问题展示配比型应用题；再以例3火车过隧道问题展示行程型应用题（教材第125页）；最后通过习题5.3覆盖浓度混合、以绳测井、百钱百鸡、五雀六燕、宾馆住宿、糖果混合、批发利润、阿基米德皇冠、环形跑道、上下坡、里程碑上的数等丰富题型。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生能根据具体问题中的数量关系列出二元一次方程组，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，能检验结果的合理性，发展模型观念和应用意识。 4、前后联系：本节是一元一次方程应用题（七年级）的升级——从“一个未知数、一个等量关系”到“两个未知数、两个等量关系”；本节所学的建模方法也是后续学习一次函数应用（第四章）、分式方程、一元二次方程应用题的基础。 学情分析 1、已有基础：学生在5.1—5.2已经认识了二元一次方程（组）的概念，熟练掌握了代入消元法和加减消元法；在七年级已经学过一元一次方程解应用题，有“审—设—列—解—验”的基本经验；在生活中熟悉买票、购物、行程、混合等问题情境。 2、主要障碍： （1）找不准等量关系，特别是增长率、配比、行程问题中的隐蔽关系； （2）设未知数时单位不统一，如“6.3元”和“50分”混用； （3）解完后不检验，或检验时只代入一个方程； （4）对古算题的文言文表述理解困难； （5）面对复杂题目时不知道从哪里下手。 3、教学策略：采用“古算题—增长率—配比—行程”四类问题串，每类问题先让学生尝试、再规范、再变式；通过表格和线段图（见图）把隐蔽的等量关系显性化；强调“设未知数时写清 x、y 表示什么”和“解后代入检验”两个习惯。 教学重点 根据实际问题中的两个等量关系列出二元一次方程组并求解；规范书写解题过程。 教学难点 在复杂情境中找准两个等量关系；处理增长率、配比、行程等问题中的隐蔽数量关系；根据实际背景对解进行合理性检验。 教学准备 多媒体课件（PPT）；鸡兔同笼、增收节支、火车过隧道等情境图和线段图；学习任务单（含例题留白和随堂练习）；草稿纸、直尺。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入：鸡兔同笼（《孙子算经》）】 教师：同学们，我国古代数学名著《孙子算经》中有一道著名的题目（教材第120页）：今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？谁能用现代语言翻译一下？ 学生：鸡和兔关在同一个笼子里，从上面数有 35 个头，从下面数有 94 只脚。问鸡和兔各有多少只？ 教师：请同学们先思考：这个问题中有哪些量？等量关系是什么？ 学生（讨论）：有鸡的只数、兔的只数、总头数、总脚数。等量关系有两个：鸡的只数＋兔的只数＝35；鸡的脚数＋兔的脚数＝94。 教师：如果设鸡 x 只、兔 y 只，怎样列方程组？ 学生：｛ x＋y＝35，2x＋4y＝94。 教师：我们已经学过解法，请同学们解这个方程组。 学生（求解）：由①得 x＝35－y，代入②：2（35－y）＋4y＝94，70＋2y＝94，y＝12；x＝35－12＝23。 教师：所以鸡 23 只，兔 12 只。这就是今天我们要学习的——用二元一次方程组解决实际问题。（板书课题：5.3 二元一次方程组的应用） 教师追问：这道题用算术法怎么做？ 学生：假设全是鸡，35 个头应该有 70 只脚，但实际有 94 只脚，多出 24 只脚。每把一只鸡换成一只兔就多 2 只脚，所以兔有 24÷2＝12 只，鸡有 35－12＝23 只。 教师：两种方法都能解决问题，但列方程组的方法更直接、更通用，不需要“假设”的巧思。 1、阅读鸡兔同笼古算题，翻译成现代语言； 2、找出两个等量关系，设未知数列方程组； 3、用已学的消元法解方程组； 4、对比算术法和方程组法，体会方程组的优越性。 以《孙子算经》鸡兔同笼引入，既是数学文化教育，又自然激活学生已有的“找等量关系、列方程组”的经验；对比算术法和方程组法，让学生体会到方程组是更通用、更直接的数学工具。 探究 新知 探究 新知 探究 新知 【活动一：列方程组解应用题的一般步骤】 教师：从鸡兔同笼问题的解决过程中，我们可以总结出列方程组解应用题的一般步骤。请同学们回顾刚才的过程，我们先做了什么？再做了什么？ 学生（讨论后汇报）：先读题、找等量关系；然后设两个未知数；再根据两个等量关系列两个方程；然后解方程组；最后检验并作答。 教师：非常好！我们把它归纳为五步口诀： 1、审——审题，找出两个等量关系； 2、设——设两个未知数（写清 x、y 各表示什么）； 3、列——根据两个等量关系列出两个方程，组成方程组； 4、解——用代入法或加减法解方程组； 5、验——代入原方程组检验，并联系实际判断结果是否合理。 教师强调：设未知数时一定要写清 x、y 表示什么！这是列方程组最基础也是最关键的一步。例如“设鸡 x 只、兔 y 只”，而不是简单地写“设 x、y”。 教师再强调：单位要统一！如果题目中同时出现“元”和“角”，或者“千米”和“米”，要先化成同一单位再列方程。 1、回顾鸡兔同笼的解题过程； 2、归纳列方程组解应用题的五步：审、设、列、解、验； 3、理解“设未知数要写清含义”和“单位统一”两个关键要求。 从具体问题中抽象出一般步骤，让学生不仅会做这一道题，还会做这一类题；通过“五步口诀”帮助学生形成可迁移的解题流程。 【活动二：古算题应用——《张丘建算经》甲乙持钱问题（例1）】 教师：下面我们来看教材第121页的例1，它选自我国古代另一部数学名著《张丘建算经》。题目是：今有甲乙二人持钱各不知数。甲得乙中半，可满四十八；乙得甲太半，亦满四十八。问甲乙二人持钱各几何？ 教师：先请同学们翻译一下题目。“乙中半”就是乙钱的一半，“甲太半”就是甲钱的三分之二。 学生：如果甲得到乙钱的一半，甲就有 48 钱；如果乙得到甲钱的三分之二，乙也有 48 钱。问甲、乙原来各有多少钱？ 教师：设甲原有 x 钱、乙原有 y 钱。谁能列出两个等量关系？ 学生：第一个等量关系：甲原有钱＋乙钱的一半＝48，即 x＋（y/2）＝48；第二个等量关系：乙原有钱＋甲钱的三分之二＝48，即 y＋（2x/3）＝48。 教师：很好！不过为了计算方便，我们把方程整理一下，去掉分母。 【解】设甲原有 x 钱，乙原有 y 钱。 ｛ x＋y/2＝48，y＋2x/3＝48。 两个方程分别乘 2 和 3，得： ｛ 2x＋y＝96，① 3y＋2x＝144。② 由①得 y＝96－2x，代入②：3（96－2x）＋2x＝144，288－4x＝144，x＝36；y＝96－72＝24。 教师：等等，让我们检验一下：甲 36 钱，得到乙的一半 12 钱，共 48 钱；乙 24 钱，得到甲的三分之二 24 钱，共 48 钱。正确！ 教师小结：解古算题的关键是先把文言文翻译成现代语言，再从中找出两个等量关系。 1、阅读《张丘建算经》古算题，翻译成现代语言； 2、设两个未知数，找出两个等量关系； 3、通过去分母整理方程组并求解； 4、代入检验结果。 例1是古算题的代表，通过翻译文言文、找等量关系、去分母、求解检验的完整过程，让学生掌握古算题的一般解法；同时渗透数学文化教育。 【活动三：增长率问题——增收节支（教材第122页）】 教师：下面我们来看一类新的问题——增长率问题。教材第122页的题目是：某工厂去年的利润（总收入－总支出）为 200 万元。今年总收入比去年增加了 20%，总支出比去年减少了 10%，今年的利润为 780 万元。去年的总收入、总支出各是多少万元？ 教师：请同学们思考：题目中涉及哪些量？去年和今年之间有什么关系？ 学生（讨论后填表）：涉及去年的总收入、去年的总支出、今年的总收入、今年的总支出。今年总收入＝去年总收入×（1＋20%）＝1.2×去年总收入；今年总支出＝去年总支出×（1－10%）＝0.9×去年总支出。 教师：如果设去年的总收入为 x 万元、去年的总支出为 y 万元，两个等量关系是什么？ 学生：第一个等量关系：去年利润＝去年总收入－去年总支出＝200，即 x－y＝200；第二个等量关系：今年利润＝今年总收入－今年总支出＝780，即 1.2x－0.9y＝780。 【解】设去年总收入为 x 万元，去年总支出为 y 万元。 ｛ x－y＝200，① 1.2x－0.9y＝780。② 由①得 x＝y＋200，代入②：1.2（y＋200）－0.9y＝780，0.3y＝540，y＝1800；x＝2000。 教师：检验一下：去年利润 2000－1800＝200 万元；今年总收入 2000×1.2＝2400 万元，今年总支出 1800×0.9＝1620 万元，今年利润 2400－1620＝780 万元。正确！ 教师小结：增长率问题的关键公式：今年（新量）＝去年（原量）×（1＋增长率）。如果是减少，就把“＋”换成“－”。 1、阅读增收节支问题，理解“利润＝总收入－总支出”； 2、通过表格整理去年和今年的收入、支出关系； 3、设未知数列方程组并求解； 4、检验结果。 增长率问题是中考高频考点，通过表格把“去年→今年”的数量关系显性化，帮助学生建立增长率模型；教师小结给出核心公式，便于迁移到其他增长率问题。 例题 精讲 【例题精讲：例2 营养品配制（教材第123页）】 教师：下面我们来看教材第123页的例2，这是一道配比型应用题。题目是：医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品。每克甲原料含 0.5 单位蛋白质和 1 单位铁质，每克乙原料含 0.7 单位蛋白质和 0.4 单位铁质。若病人每餐需要 35 单位蛋白质和 40 单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 教师：这道题的等量关系比较隐蔽，我们用表格来整理。 教师：设每餐甲原料 x g、乙原料 y g。谁能列出两个等量关系？ 学生：蛋白质总量：甲中的蛋白质＋乙中的蛋白质＝35 单位，即 0.5x＋0.7y＝35；铁质总量：甲中的铁质＋乙中的铁质＝40 单位，即 x＋0.4y＝40。 【解】设每餐需要甲原料 x g、乙原料 y g。 ｛ 0.5x＋0.7y＝35，① x＋0.4y＝40。② 由②得 x＝40－0.4y，代入①：0.5（40－0.4y）＋0.7y＝35，20－0.2y＋0.7y＝35，0.5y＝15，y＝30；x＝40－0.4×30＝28。 教师：检验：蛋白质 0.5×28＋0.7×30＝14＋21＝35 单位；铁质 28＋0.4×30＝28＋12＝40 单位。正确！ 所以每餐需要甲原料 28 g、乙原料 30 g。 【例3：火车过隧道（教材第125页）】 教师：下面我们来看一道行程问题。题目是：某列火车通过一隧道，从车头进入隧道到车尾离开隧道共需 30 秒；整列火车完全在隧道内的时间为 20 秒。已知火车的速度为 40 米/秒，求隧道的长和火车的长。 教师：这道题的关键是理解“通过隧道”和“完全在隧道内”两种情况的路程分别是什么。 教师：从车头进入隧道到车尾离开隧道，火车走的路程是隧道长＋火车长；整列火车完全在隧道内时，火车走的路程是隧道长－火车长。 【解】设隧道长 x 米，火车长 y 米。 ｛ x＋y＝40×30＝1200，① x－y＝40×20＝800。② ①＋②：2x＝2000，x＝1000；y＝1200－1000＝200。 教师：检验：隧道 1000 米，火车 200 米，通过路程 1200 米，时间 1200÷40＝30 秒；完全在隧道内路程 800 米，时间 800÷40＝20 秒。正确！ 所以隧道长 1000 米，火车长 200 米。 1、学习例2：通过表格整理配比关系，列方程组求解； 2、学习例3：理解“过隧道”和“在隧道内”的路程差异； 3、掌握行程问题的线段图分析法； 4、养成解后检验的习惯。 例2配比问题和例3行程问题是中考高频题型，通过表格和线段图把隐蔽的等量关系显性化；教师讲解“通过隧道＝隧道长＋车长、完全在隧道内＝隧道长－车长”这一关键，突破行程问题的难点。 巩固 练习 【随堂练习1（教材第121页）：《九章算术》牛羊问题】 5 头牛、2 只羊共值金 10 两；2 头牛、5 只羊共值金 8 两。问每头牛、每只羊各值金多少两？ 【答案】设每头牛值金 x 两、每只羊值金 y 两：｛ 5x＋2y＝10，2x＋5y＝8。解得 x＝34/21 两≈1.62 两，y＝20/21 两≈0.95 两。 【随堂练习2（教材第123页）：班级达标率】 某校八年级甲、乙两班共有学生 100 人。已知甲班学生体育达标率为 87.5%，乙班学生体育达标率为 75%，两班学生的平均达标率为 81%。求甲、乙两班各有多少人？ 【答案】设甲班 x 人、乙班 y 人：｛ x＋y＝100，0.875x＋0.75y＝0.81×100＝81。解得 x＝48 人，y＝52 人。 【随堂练习3（教材第124页）：相遇问题】 A、B 两地相距 36 km。甲从 A 地步行到 B 地，乙从 B 地步行到 A 地，两人同时出发。如果甲出发 4.5 h 后乙才出发，又经过 2.5 h 两人相遇；如果甲、乙同时出发，经过 3 h 两人相遇。求甲、乙两人的速度。 【答案】设甲速度 x km/h、乙速度 y km/h：｛ 4.5x＋2.5（x＋y）＝36，3（x＋y）＝36。解得 x＋y＝12，代入第一式：7x＋2.5×12＝36，x＝6 km/h，y＝6 km/h。 【随堂练习4（教材第126页）：公路行程】 从甲地到乙地的路有一段上坡与一段平路。如果保持上坡每小时走 3 km，平路每小时走 4 km，下坡每小时走 5 km，那么从甲地到乙地需 54 min，从乙地到甲地需 42 min。甲地到乙地全程是多少？ 【答案】设上坡路长 x km、平路长 y km：｛ x/3＋y/4＝54/60，x/5＋y/4＝42/60。解得 x＝1.5 km，y＝1.6 km，全程 3.1 km。 【补充练习：以绳测井】 以绳测井，若将绳三折测之，绳多 4 尺；若将绳四折测之，绳多 1 尺。绳长、井深各几何？ 【答案】设绳长 x 尺、井深 y 尺：｛ x/3－y＝4，x/4－y＝1。解得 x＝36 尺，y＝8 尺。 1、独立完成4道教材随堂练习，覆盖古算题、百分比、相遇、上下坡四类题型； 2、完成补充练习以绳测井； 3、每道题都要求写出完整的“审—设—列—解—验”过程； 4、解完后代入检验。 随堂练习覆盖古算题、百分比、相遇、上下坡四类典型应用题，与例题形成“例题—练习”的完整训练链；补充练习以绳测井是另一道经典古算题，强化“翻译文言文→找等量关系”的方法。 课堂 小结 教师引导学生完成知识梳理： 一、一般步骤：审（找两个等量关系）→设（两个未知数）→列（两个方程）→解（消元）→验（检验作答）。 二、四类典型问题： 1、古算题：先把文言文翻译成现代语言，再找等量关系（鸡兔同笼、牛羊值金、以绳测井）； 2、增长率问题：新量＝原量×（1±增长率）（增收节支）； 3、配比问题：用表格整理各成分的含量关系（营养品配制）； 4、行程问题：用线段图分析路程关系，注意“过桥＝桥长＋车长、在桥上＝桥长－车长”（火车过隧道）。 三、两个好习惯： 1、设未知数时写清 x、y 表示什么； 2、解完后代入原方程组检验，并联系实际判断合理性。 1、对照板书口述列方程组解应用题的五步； 2、举例说明四类典型问题的等量关系； 3、复述两个好习惯。 以“一步骤—四类型—两习惯”为主线梳理全课，使学生不仅会解一道题，还能迁移到一类题；两个好习惯为后续学习奠定基础。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第126页 习题5.3 知识技能 第1题——浓度混合：把浓度为 5% 和 45% 的两种盐水混合成浓度为 35% 的盐水 200 kg，两种盐水各取多少 kg？ 【参考答案】设 5% 盐水 x kg、45% 盐水 y kg：｛ x＋y＝200，0.05x＋0.45y＝0.35×200。解得 x＝50 kg，y＝150 kg。 2、基础题：教材第127页 习题5.3 问题解决 第3题——以绳测井（《算法统宗》）：绳三折多 4 尺，四折多 1 尺，求绳长和井深。 【参考答案】绳长 36 尺，井深 8 尺（课堂已练）。 3、基础题：教材第127页 习题5.3 问题解决 第4题——百钱百鸡：100 元买 100 只鸡，公鸡每只 3 元，母鸡每只 5 元，小鸡 3 只 1 元。问公鸡、母鸡、小鸡各买多少只？ 【参考答案】设公鸡 x 只、母鸡 y 只、小鸡 z 只：｛ 3x＋5y＋z/3＝100，x＋y＋z＝100。（下节课学习三元方程组后再深入） 4、实践题：教材第127页 习题5.3 问题解决 第7题——宾馆住宿：某宾馆单人间每天 300 元，双人间每天 360 元。30 人住了若干间单人间和双人间，正好住满，共付 6600 元。问单人间、双人间各住了几间？ 【参考答案】设单人间 x 间、双人间 y 间：｛ x＋2y＝30，300x＋360y＝6600。解得 x＝10 间，y＝10 间。 5、拓展题：教材第127页 习题5.3 联系拓广 第11题——环形跑道：甲、乙两人在 400 m 环形跑道上练习跑步。反向跑，25 s 相遇一次；同向跑，80 s 甲追上乙一次。求甲、乙两人的速度。 【参考答案】设甲速度 x m/s、乙速度 y m/s：｛ 25（x＋y）＝400，80（x－y）＝400。解得 x＝10.5 m/s，y＝5.5 m/s。 6、预习：阅读教材5.4《二元一次方程与一次函数》，想一想：方程 x＋y＝5 的解和一次函数 y＝5－x 的图象有什么关系？ 1、记录作业要求，按时完成基础题； 2、实践题联系生活实际，感受数学的应用价值； 3、拓展题处理环形跑道这种复杂行程问题； 4、带着问题预习下节课。 作业分层设计：基础题覆盖浓度、古算、百钱百鸡等典型题型；实践题联系宾馆住宿真实场景；拓展题处理环形跑道这种复杂行程问题，培养综合分析能力；预习题为5.4做铺垫。 板书 设计 5.3 二元一次方程组的应用 一、一般步骤：审→设→列→解→验 二、四类问题： 1、古算题：鸡兔同笼｛ x＋y＝35，2x＋4y＝94 → 鸡23，兔12 2、增长率：增收节支｛ x－y＝200，1.2x－0.9y＝780 → x＝2000，y＝1800 3、配比：营养品｛ 0.5x＋0.7y＝35，x＋0.4y＝40 → x＝28g，y＝30g 4、行程：火车过隧道｛ x＋y＝1200，x－y＝800 → 隧道1000m，火车200m 三、两习惯：设未知数写清含义；解完代入检验 对照板书梳理知识结构。 板书以“步骤—四类型—两习惯”为纲，每类问题配一个核心方程组和答案，便于学生对比记忆；副板书留给学生展示自己的解题过程。 教学 反思 1、成功之处：以鸡兔同笼古算题引入，学生兴趣浓厚；通过表格和线段图把隐蔽的等量关系显性化，学生对增收节支、营养品配制、火车过隧道等问题的等量关系找得比较准；“审—设—列—解—验”五步口诀帮助学生形成了规范的解题流程。 2、不足之处：部分学生对古算题的文言文表述理解困难；增长率问题中“增加20%”和“减少10%”的方向容易搞反；火车过隧道问题中“通过隧道”和“完全在隧道内”的路程关系仍有学生混淆；个别学生设未知数时不写含义、解完不检验。 3、改进设想：古算题教学前增加5分钟“文言文翻译”专项训练；增长率问题用不同颜色粉笔标出“＋”和“－”；火车过隧道问题用动画演示火车通过隧道和完全在隧道内两种状态；要求所有作业必须在草稿上写出“设……为 x，……为 y”和检验过程；下节课5.4引入时回扣“方程 x＋y＝5 的解有无数个”这一结论。 课后对照教学目标，在任务单上完成自我反思。 教学反思聚焦“文言文翻译”“增长率方向”“路程关系”“检验习惯”四个易错点，并提出可操作的改进措施，为后续教学调整提供依据。 学科网（北京）股份有限公司 $