5.3二元一次方程组的应用 教案 2025-2026学年北师大版八年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“二元一次方程组的应用”，通过“生活经济问题”情景导入，复习旧知“利用二元一次方程组解决实际问题”，搭建从已有知识到复杂问题（含增长率、利润率）的学习支架，衔接前后知识脉络。 特色在于以表格分析为核心工具，结合线段图辅助，引导学生用数学眼光抽象数量关系（如工厂利润问题中收入与支出的关系），通过问题链培养推理意识（如行程问题中的等量关系推导），落实模型意识。实例丰富（经济、营养、行程问题），帮助学生掌握用方程组解决实际问题的步骤，提升分析能力，也为教师提供结构化教学流程和实用案例。

第五章 二元一次方程组 3 二元一次方程组的应用 一、教学目标 1. 能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题； 2.能利用二元一次方程组解决含增长率、利润率等百分数的实际问题； 3.在经历和体验运用方程(组)解决实际问题的过程中，进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型； 4.培养学生抽象、概括、分析解决实际问题的能力． 二、教学重难点 重点：能借助表格分析较为复杂问题中的数量关系，建立方程组解决问题． 难点：能利用二元一次方程组解决含增长率、利润率等百分数的实际问题． 三、教学过程设计 环节一：情景导入 【思考】 教师活动：想一想：还记得如何利用二元一次方程组解决实际问题吗？ 同学们，你知道你的生活有哪些必要开支吗？经济生活在我们生活中极其重要！这节课我们就来运用数学知识解决生活中的一些经济问题吧！ 设计意图：复习回顾已学知识，为学习本节课的知识做准备． 环节二：探究新知 【探究】 某工厂去年的利润（总收入–总支出）为200万元．今年总收入比去年增加了20%，总支出比去年减少了10%，今年的利润为780万元． 去年的总收入、总支出各是多少万元？ 教师活动： 问题1：这个问题涉及哪些量？ 1、去年的总收入 2、去年的总支出 3、今年的总收入 4、今年的总支出 问题2：这些量之间有怎样的等量关系？ 预设答案： 去年的总收入–去年的总支出＝200万元 今年的总收入–今年的总支出＝780万元 今年的总收入=去年总收入×(1+20%） 今年的总支出=去年的总支出×(1–10%） 思考： (1)若该厂去年的总收入是x万元，今年的总收入比去年增加了20%，则今年的总收入是__________万元； (2)若该厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出是__________万元； (3) 该厂今年的利润为780万元，那么用含x，y的方程表示今年的利润为__________． 预设答案： (1) (1+20%) x (2) (1–10%) y (3) (1+20%) x– (1–10%) y＝780 提问：你能用表格梳理问题中的已知量和未知量吗？与同伴进行交流。 预设答案： 列出方程组： 完整作答： 解：设该厂去年的总收入是x万元，总支出为y万元． 根据题意，得 解得 答：去年的总收入为2000万元，总支出为1800万元． 设计意图：通过问题，激发学生的求知欲望，结合实际问题，引导学生认真思考，学会用列表的方式进行分析，进一步掌握列二元一次方程组解决问题的基本步骤． 环节三：应用新知 【例1】医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品. 每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质. 若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位铁质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？ 解析：设每餐需甲、乙原料各x克，y克. 你能根据题意将表填完整吗？ 完成表格如下： 由此可得方程组： 完整作答： 解：设每餐需甲、乙原料各x克，y克． 根据题意，得 化简得： 由①–②得：5y=150，y＝30. 把y=30代入①，得x=28． 所以每餐甲原料28克，乙原料30克恰好满足病人的需要． 【例2】甲、乙两人从相距36km的两地相向而行． 如果甲比乙先走2h，那么他们在乙出发2.5h后相遇；如果乙比甲先走2h，那么他们在甲出发3h后相遇．甲、乙两人的速度各是多少？ 画线段图分析： 如果甲比乙先走2小时，那么他们在乙出发后2.5小时相遇； 如果乙比甲先走2小时，那么他们在甲出发后3小时相遇； 设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h，填写下表并求x，y的值． 预设答案： 解：设甲、乙两人的速度分别是x km/h，y km/h． 根据题意，得 解得 所以甲的速度是6km/h，乙的速度是3.6km/h． 设计意图：通过典型例题，引导学生用列表的方法进行分析，然后列出方程组并求解，提升学生解决实际问题的能力. 【议一议】 通过上述例题，让学生先独立思考，然后再小组交流探讨：如何找等量关系及列一元一次方程解实际问题的一般步骤. 用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤： 预设答案： 1.审：通过审题找出等量关系； 2.设：用字母表示题目中的两个未知数； 3.列：依据找到的等量关系，列出方程组； 4.解：解方程组，求出未知数的值； 5.检：检验所得的解是否是方程组的解，并且要检验其是否符合实际问题的意义，包括单位名称． 6.答：回答题目中要解决的问题，注意单位名称． 注意：找等量关系时可借助表格分析． 设计意图：通过典型例题的分析和讲解，明确如何根据题意列二元一次方程组解决实际问题的步骤． 环节四：课堂练习 教师给出练习，随时观察学生完成情况并相应指导，最后给出答案，根据学生完成情况适当分析讲解． 1.甲、乙两种商品原来的单价和为100元，因市场变化，甲商品降价10％，乙商品提价40％，调价后两种商品的单价和比原来的单价和提高了20％．若设甲、乙两种商品原来的单价分别为x元、y元，则下列方程组正确的是( ) A. B. C. D. 预设答案：C 2.某旅馆的客房有三人间和两人间两种，三人间每人每天25元，两人间每人每天35元． 一个50人的旅游团到该旅馆住宿，租住了若干客房，且每个客房正好住满，一天共花去住宿费1510元．两种客房各租住了多少间？ 解：设租了两人间 x 间，三人间y间． 根据题意，得： 解得方程组的解是 所以租了两人间 13 间，三人间8间． 3.某体育场的环行跑道长400m，甲、乙分别以一定的速度练习长跑和骑自行车．如果反向而行，那么他们每隔30s相遇一次．如果同向而行，那么每隔80s乙就追上甲一次． 甲、乙的速度分别是多少？ 解：设甲的速度是x m/s，乙的速度是y m/s． 根据题意，得： 解得方程组的解是 所以甲的速度是m/s，乙的速度是m/s． 设计意图：通过课堂练习及时巩固本节课所学内容，并考查学生的知识应用能力，培养独立完成练习的习惯． 环节五：总结归纳 思维导图的形式呈现本节课的主要内容： 学科网（北京）股份有限公司 $