5.1认识二元一次方程组教学设计-2026-2027学年北师大版八年级数学上册

5.1 认识二元一次方程组（教学设计） 课题 5.1 认识二元一次方程组 单元 第五章 二元一次方程组（5.1 认识二元一次方程组 1课时） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、在小明小颖种植绿植、公园买门票等真实情境中，经历把实际问题抽象为方程的过程，能识别二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念； 2、通过对 x＋y＝8、5x＋3y＝34 等方程的观察与归纳，能说出二元一次方程、二元一次方程组的共同特征，会判断一组数是不是某个二元一次方程（组）的解； 3、能从简单的实际问题中找出两个等量关系，设两个未知数列出二元一次方程组，体会求两个未知数需要两个条件； 4、通过尝试·思考活动，能通过代入检验找出二元一次方程组的解，初步感受二元一次方程有无数个解、而二元一次方程组一般只有唯一解； 5、【核心素养】在由现实情境抽象出二元一次方程（组）的过程中，发展符号意识、模型观念与推理能力，感受方程是刻画现实世界数量关系的有效数学模型。 教材分析 1、内容地位：本节是第五章“二元一次方程组”的起始课，是在学生已学过一元一次方程（七年级上册）和平面直角坐标系、一次函数（第四章）的基础上展开的，是学习二元一次方程组解法与应用的概念基础，也为后续学习一次函数与方程的关系、线性方程组做铺垫。 2、编写思路：教材先以“小明和小颖参加课外种植实践活动”引入，得到 x－y＝2 和 x＋1＝2（y－1）两个方程；再通过“尝试·思考”中的公园门票情境得到 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34 两个方程；然后通过“观察·思考”归纳二元一次方程的概念；再通过“思考·交流”把同一问题中的两个方程联立，给出二元一次方程组的概念；最后通过“尝试·思考”让学生代入检验，归纳出二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念（教材第111—112页）。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生能根据现实情境理解方程的意义，能根据具体问题中的数量关系列出方程，体会方程是刻画现实世界数量关系的有效模型，发展模型观念与符号意识。 4、前后联系：学生在小学和七年级已学过用算术法和一元一次方程解应用题，本节从“一个未知数、一个等量关系”自然过渡到“两个未知数、两个等量关系”，为下一节代入消元法和加减消元法（5.2）以及列方程组解应用题（5.3）打下概念基础；同时本节对方程解的几何意义的初步感知，也为5.4“二元一次方程与一次函数”做铺垫。 学情分析 1、已有基础：学生在七年级上册已经系统学习过一元一次方程的概念、解和解方程，能熟练解一元一次方程；在第四章已经学过平面直角坐标系和一次函数 y＝kx＋b（k≠0），能在坐标系中描点、画直线；在生活中熟悉买票、买东西、分配物品等含两个未知量的情境。 2、主要障碍： （1）容易把二元一次方程的“元”和“次”混淆，对“含有未知数的项的次数都是1”理解不到位，例如误判 xy＋1＝0 是二元一次方程； （2）对“二元一次方程的解是一对数”缺乏认识，仍习惯像一元一次方程那样写一个数； （3）容易忽视“二元一次方程组中两个方程的 x、y 必须表示同一个对象”，列方程组时两个方程的未知数含义不一致； （4）难以理解“一个二元一次方程有无数个解”与“二元一次方程组一般只有唯一解”这两个结论的对比关系。 3、教学策略：采用“种植绿植—公园门票”两个真实情境串，让学生在“找等量关系—设两个未知数—列方程—观察共同特征—代入检验”的活动中自主归纳概念；通过表格列举 x＋y＝8 的多组解，再用代入检验找出同时满足两个方程的公共解，直观对比“无数解”与“唯一公共解”。 教学重点 二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念；能判断一组数是不是某个二元一次方程（组）的解。 教学难点 理解二元一次方程的解是“一对数”；理解二元一次方程组中两个方程的 x、y 必须表示同一个对象，体会“求两个未知数需要两个条件”。 教学准备 多媒体课件（PPT）；公园门票情境图、种植绿植情境图；学习任务单（含 x＋y＝8 解的表格）；直尺、草稿纸。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入：小明和小颖种绿植】 教师：同学们喜欢参加课外活动吗？小明和小颖参加了课外种植实践活动，他们分别栽种了若干株绿植。已知小明栽种的绿植比小颖多 2 株；如果将小颖栽种的绿植减少 1 株，将小明栽种的绿植增加 1 株，那么小明栽种的绿植数量是小颖的 2 倍。 教师：请大家思考两个问题： （1）这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）设小明栽种了 x 株绿植，小颖栽种了 y 株绿植，由此你能得到怎样的方程？ 学生（讨论后汇报）：涉及的量是小明栽种的株数、小颖栽种的株数。等量关系有两个：一是“小明比小颖多 2 株”，二是“小颖减少 1 株后，小明增加 1 株，小明是小颖的 2 倍”。 教师：谁能用 x、y 把这两个等量关系表示出来？ 学生：第一个等量关系是 x－y＝2；第二个等量关系是 x＋1＝2（y－1）。 教师：我们得到了两个方程。请大家观察一下，这两个方程和我们七年级学过的一元一次方程有什么不同？学生：以前的方程只有一个未知数，这里有两个未知数 x 和 y。教师：今天我们就来研究这类含有两个未知数的方程以及它们组成的方程组。（板书课题：5.1 认识二元一次方程组） 1、阅读种植绿植情境，找出其中的量和等量关系； 2、设未知数 x、y，尝试列出两个方程； 3、对比一元一次方程，初步感知“两个未知数”的新方程。 以教材第111页的种植绿植情境引入，让学生先独立找等量关系、再设未知数列方程，自然从“一元”过渡到“二元”，为归纳二元一次方程的概念积累感性材料。 探究 新知 探究 新知 探究 新知 探究 新知 【活动一：公园门票情境——再列两个方程】 教师：我们再来看一个生活中的问题（教材第111页“尝试·思考”）：周末，小亮一家和朋友们到公园徒步锻炼，他们一共 8 人，买门票花了 34 元。已知每张成人票 5 元，每张学生票 3 元。 （1）这个情境涉及哪些量？这些量之间有怎样的等量关系？ （2）设他们中有成人 x 人、学生 y 人，由此你能得到怎样的方程？ 学生（讨论后汇报）：涉及成人人数、学生人数、总人数、总票款。等量关系有两个：成人人数＋学生人数＝8 人；成人总票款＋学生总票款＝34 元。 教师：用 x、y 怎样表示？ 学生：x＋y＝8；5x＋3y＝34。 教师（板书四个方程）：我们现在得到了四个方程：x－y＝2，x＋1＝2（y－1），x＋y＝8，5x＋3y＝34。 1、阅读公园门票情境，找出两个等量关系； 2、设成人 x 人、学生 y 人，列出 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34； 3、把四个方程放在一起，为观察共同特征做准备。 公园门票情境是学生最熟悉的买票问题，与种植绿植情境一起构成“两个未知数、两个等量关系”的典型例子，为下一步归纳二元一次方程的概念提供两个以上的实例。 【活动二：观察·思考——归纳二元一次方程的概念】 教师：请同学们观察黑板上的四个方程：x－y＝2，x＋1＝2（y－1），x＋y＝8，5x＋3y＝34。它们有什么共同特征？可以从“未知数的个数”和“含有未知数的项的次数”两个角度去观察。 学生（小组讨论后汇报）：每个方程都含有两个未知数；并且含有未知数的项的次数都是 1，例如 x 的次数是 1，y 的次数也是 1，xy 这样的项没有出现。 教师：非常好！像这样，含有两个未知数，并且含有未知数的项的次数都是 1 的方程，叫作二元一次方程（指导学生在教材第111页划重点）。 教师追问：判断一个方程是不是二元一次方程，要抓住哪几个关键词？ 学生：两个未知数（“二元”）；含有未知数的项的次数都是 1（“一次”）；是一个整式方程。 教师：下列方程中，哪些是二元一次方程？（1）3x－π＝2；（2）x＋y＝5；（3）xy＝3；（4）x＋1/y＝2；（5）x＝y。 学生：（1）只含一个未知数，不是；（2）是；（3）xy 的次数是 2，不是；（4）1/y 不是整式，不是；（5）是，可以看作 x＋（－1）·y＝0。 教师强调：“一次”指的是含有未知数的项的次数，不是未知数本身的次数；分母中不能含未知数。 1、观察四个方程，从“未知数个数”和“项的次数”两个角度归纳共同特征； 2、记忆并理解二元一次方程的定义； 3、通过辨析题巩固对“二元”“一次”“整式”三个关键词的理解。 概念教学遵循“实例—观察—归纳—辨析”的认知规律，让学生自己说出共同特征，而不是教师直接给出定义；辨析题针对学生常见的误区（xy 的次数、分母含未知数）进行强化。 【活动三：思考·交流——把两个方程联立，认识二元一次方程组】 教师（指着 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34）：请同学们思考（教材第111页“思考·交流”）：在上面的方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34 中，x 所表示的对象相同吗？y 呢？ 学生：相同！两个方程中的 x 都表示成人人数，y 都表示学生人数。 教师：既然 x、y 表示同一个对象，那么 x、y 必须同时满足这两个方程。我们把它们联立起来，写成： ｛ x＋y＝8， 5x＋3y＝34。 教师：像这样，共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程，叫作二元一次方程组（板书概念）。注意书写时要用一个大括号把两个方程括起来，表示它们同时成立。 教师：教材第112页还给出了两个例子，请同学们判断它们是不是二元一次方程组： ｛ x－y＝2， x＋1＝2（y－1）； 以及 ｛ x＋2y＝7， 3y＋1＝2。 学生：都是！两个方程组都共含两个未知数 x、y，且每个方程都是一次方程。 教师强调：二元一次方程组中的两个方程，x、y 必须表示同一个对象，不能第一个方程的 x 表示人数、第二个方程的 x 表示钱数。这是列方程组时最容易出错的地方。 1、思考两个方程中 x、y 是否表示同一对象； 2、理解“联立”的含义，认识二元一次方程组的概念； 3、会判断一组方程是不是二元一次方程组； 4、牢记“两个方程的 x、y 必须表示同一对象”这一关键要求。 通过“x、y 表示同一对象吗”这一追问，自然引出“联立”的必要性，让学生理解二元一次方程组不是两个方程的随意堆砌，而是同一问题中两个等量关系的数学表达。 【活动四：尝试·思考——探究二元一次方程（组）的解】 教师：请同学们完成教材第112页的“尝试·思考”： （1）x＝6，y＝2 满足方程 x＋y＝8 吗？x＝5，y＝3 呢？x＝4，y＝4 呢？你还能找到其他 x、y 的值满足方程 x＋y＝8 吗？ （2）x＝5，y＝3 满足方程 5x＋3y＝34 吗？x＝2，y＝8 呢？ （3）你能找到一组 x、y 的值，同时满足方程 x＋y＝8 和 5x＋3y＝34 吗？ 学生（代入检验）： （1）6＋2＝8，满足；5＋3＝8，满足；4＋4＝8，满足。还能找到很多，如（0，8）（1，7）（2，6）（3，5）（7，1）（8，0）。 （2）5×5＋3×3＝25＋9＝34，满足；5×2＋3×8＝10＋24＝34，也满足。 （3）x＝5，y＝3 既满足 x＋y＝8，又满足 5x＋3y＝34。 教师（板书概念）：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，叫作这个二元一次方程的一个解。例如，x＝6，y＝2 是方程 x＋y＝8 的一个解，记作｛ x＝6，y＝2。同样，｛ x＝5，y＝3 也是方程 x＋y＝8 的一个解。 教师：从表格中我们发现，方程 x＋y＝8 有多少个解？ 学生：有无数个解！只要 x＋y＝8 就行，x 可以取任意值。 教师（旁注强调）：一个二元一次方程确定不了两个未知数！这是教材第112页特别提醒的。 教师：那二元一次方程组的解呢？ 学生：二元一次方程组中各个方程的公共解，叫作这个二元一次方程组的解。例如，｛ x＝5，y＝3 就是二元一次方程组｛ x＋y＝8，5x＋3y＝34 的解。 教师：我们以后还会在平面直角坐标系中看到：以方程 x＋y＝8 的解为坐标的点在一条直线上；而两个方程对应的直线的交点，就是二元一次方程组的解（为5.4埋下伏笔）。 1、通过代入检验判断一组数是否满足一个二元一次方程； 2、列举 x＋y＝8 的多组解，发现二元一次方程有无数个解； 3、通过代入检验找出同时满足两个方程的公共解； 4、理解二元一次方程的解和二元一次方程组的解的概念，体会“无数解”与“唯一公共解”的对比。 “尝试·思考”是本节概念形成的核心活动，学生通过动手代入检验，自己发现“一个方程有无数解、两个方程联立后有唯一公共解”，这比教师直接灌输更深刻；表格和坐标图把抽象的“解”可视化。 例题 精讲 【例题精讲：根据实际问题列二元一次方程组】 教师：下面我们把列二元一次方程组解决实际问题的过程规范地整理一遍。以教材第113页随堂练习第1题为例： 【例】小明从邮局买了面值 50 分和 80 分的邮票共 9 枚，花了 6.3 元。两种邮票小明各买了多少枚？ 教师：列方程组解应用题的一般步骤是什么？ 学生：一审（审题找等量关系）、二设（设两个未知数）、三列（根据两个等量关系列两个方程）、四解（下节课学）、五验（检验并作答）。 教师：请同学们按这个步骤完成。 【解】设面值 50 分的邮票买了 x 枚，面值 80 分的邮票买了 y 枚。 等量关系一：两种邮票共 9 枚，即 x＋y＝9。 等量关系二：总共花了 6.3 元＝630 分，即 50x＋80y＝630。 根据题意，得方程组： ｛ x＋y＝9， 50x＋80y＝630。 教师强调：列方程组时单位要统一！题目中“50 分”“80 分”“6.3 元”单位不同，要把 6.3 元化成 630 分，或者把 50 分化成 0.5 元、80 分化成 0.8 元，再列方程。 教师追问：我们这节课只要求会列方程组，解这个方程组留到下节课。大家估计一下，x 和 y 大概是多少？ 学生（尝试代入）：如果 x＝3，y＝6，那么 3＋6＝9，50×3＋80×6＝150＋480＝630，正好！ 教师：很好！所以50 分的邮票买了 3 枚，80 分的邮票买了 6 枚。 1、回顾列方程（组）解应用题的一般步骤； 2、按“审—设—列”三步列出邮票问题的二元一次方程组； 3、注意单位统一； 4、尝试代入检验，初步感受方程组的解。 以教材随堂练习第1题为例规范列方程组的过程，强调单位统一这一易错点；同时让学生通过代入检验提前感知方程组的解，为下节课的解法学习做铺垫。 巩固 练习 【随堂练习（教材第113页）】 1、根据题意列方程组：小明从邮局买了面值 50 分和 80 分的邮票共 9 枚，花了 6.3 元。两种邮票小明各买了多少枚？ 【答案】设 50 分邮票 x 枚、80 分邮票 y 枚：｛ x＋y＝9，50x＋80y＝630（或｛ x＋y＝9，0.5x＋0.8y＝6.3）。 2、下面四组数值中，哪些是二元一次方程 2x＋y＝10 的解？ （1）｛ x＝－2，y＝6；（2）｛ x＝3，y＝4；（3）｛ x＝4，y＝3；（4）｛ x＝6，y＝－2。 【答案】把每组数代入 2x＋y：（1）2×（－2）＋6＝2≠10，不是；（2）2×3＋4＝10，是；（3）2×4＋3＝11≠10，不是；（4）2×6＋（－2）＝10，是。所以（2）（4）是方程 2x＋y＝10 的解。 3、二元一次方程组｛ x＋2y＝10，y＝2x 的解是____。 （1）｛ x＝4，y＝3；（2）｛ x＝3，y＝6；（3）｛ x＝2，y＝4；（4）｛ x＝4，y＝2。 【答案】把 y＝2x 代入第一个方程：x＋2·2x＝10，5x＝10，x＝2，y＝4。所以选（3）｛ x＝2，y＝4。 【补充练习】 4、若｛ x＝2，y＝－1 是二元一次方程 3x－ay＝5 的一个解，求 a 的值。 【答案】把 x＝2，y＝－1 代入：3×2－a×（－1）＝5，6＋a＝5，a＝－1。 5、根据题意列方程组：某班组织学生看演出，甲种票每张 24 元，乙种票每张 18 元。如果 35 名学生购票恰好用去 750 元，甲、乙两种票各买了多少张？ 【答案】设甲种票 x 张、乙种票 y 张：｛ x＋y＝35，24x＋18y＝750。 1、独立完成教材随堂练习3道题； 2、通过代入检验判断方程的解、找出方程组的解； 3、完成补充练习，逆向应用“方程的解”的概念求待定系数； 4、再列一个购票问题的方程组，巩固列方程组的步骤。 随堂练习覆盖“列方程组”“判断方程的解”“找方程组的解”三个核心考点；补充练习第4题逆向考查方程解的概念，第5题再练一次列方程组，形成“概念—判断—应用”的完整巩固链。 课堂 小结 教师引导学生完成知识梳理： 一、两个核心概念：含有两个未知数且含未知数的项次数都是 1 的方程叫二元一次方程；共含两个未知数的两个一次方程组成的一组方程叫二元一次方程组。 二、两个解的概念： 1、二元一次方程的解：使一个二元一次方程左、右两边的值相等的一组未知数的值，有无数个解； 2、二元一次方程组的解：二元一次方程组中各个方程的公共解，一般只有唯一一组。 三、列二元一次方程组解应用题的一般步骤：审（找两个等量关系）→设（两个未知数）→列（两个方程联立）→验（代入检验）。 四、数学思想：从“一个未知数、一个等量关系”到“两个未知数、两个等量关系”，体会求两个未知数需要两个条件，感受方程模型的威力。 1、对照板书口述二元一次方程、二元一次方程组及其解的概念； 2、举例说明二元一次方程有无数解、而方程组一般只有唯一解； 3、复述列方程组解应用题的步骤。 以“两个概念—两个解—一个步骤—一个思想”为主线梳理全课，使零散的情境和例题统一到“二元一次方程（组）”的数学结构上，为下节课学习解法做铺垫。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第113页 习题5.1 知识技能 第1题——甲种物品每个 4 kg，乙种物品每个 7 kg。现有甲种物品 x 个、乙种物品 y 个，共 76 kg。（1）列出关于 x、y 的二元一次方程；（2）若 x＝12，则 y＝？（3）若乙种物品有 8 个，则甲种物品有多少个？ 【参考答案】（1）4x＋7y＝76；（2）4×12＋7y＝76，7y＝28，y＝4；（3）4x＋7×8＝76，4x＝20，x＝5 个。 2、基础题：教材第113页 习题5.1 知识技能 第2题——下面四组数值中，哪一组是二元一次方程组｛ 7x－3y＝2，2x＋y＝8 的解？（四组选项略） 【参考答案】逐一代入检验，只有｛ x＝2，y＝4 同时满足两个方程，选（2）。 3、基础题：教材第114页 习题5.1 知识技能 第3题——根据题意列方程组：（1）2017年和2021年我国成功完成宇航发射共计 69 次，其中2021年比2017年的 3 倍多 1 次；（2）把一摞笔记本分给若干学生，每人 5 本剩 8 本，每人 8 本差 7 本。 【参考答案】（1）设2017年 x 次、2021年 y 次：｛ x＋y＝69，y＝3x＋1；（2）设笔记本 m 本、学生 n 名：｛ m＝5n＋8，m＝8n－7。 4、实践题：教材第114页 习题5.1 数学理解 第4题——（1）找出几组满足 x＋y＝0 的 x、y 值；（2）找出几组满足 x－y＝2 的 x、y 值；（3）找出一组同时满足两个方程的 x、y；（4）直接写出方程组｛ x＋y＝0，x－y＝2 的解。 【参考答案】（3）x＝1，y＝－1；（4）｛ x＝1，y＝－1。 5、拓展题：教材第114页 习题5.1 数学理解 第5题——小明买 1 kg 苹果和 2 kg 梨花 26 元，小丽买 2 kg 苹果和 1 kg 梨花 28 元。小明列的方程组是｛ x＋2y＝26，2x＋y＝28，小丽列的是｛ 2x＋y＝26，x＋2y＝28。他们列的方程组正确吗？分歧原因是什么？ 【参考答案】小明正确（x 为苹果单价、y 为梨单价）；小丽把两人花的钱弄反了。分歧原因是设未知数时 x、y 的对象与方程对应关系不同。 6、预习：阅读教材5.2《二元一次方程组的解法》，想一想：怎样才能求出｛ x＋y＝8，5x＋3y＝34 中 x、y 的准确值？ 1、记录作业要求，按时完成基础题； 2、实践题通过代入检验自主发现方程组的解； 3、拓展题思考“列方程组时未知数必须表示同一对象”的道理； 4、带着问题预习下节课。 作业分层设计：基础题巩固列方程（组）和判断解；实践题让学生自己代入检验发现解；拓展题针对“x、y 必须表示同一对象”这一难点深化理解；预习题为下节课学习消元法留下悬念。 板书 设计 5.1 认识二元一次方程组 一、情境：x－y＝2，x＋1＝2（y－1）；x＋y＝8，5x＋3y＝34 二、二元一次方程：含两个未知数，含未知数的项次数都是1 三、二元一次方程组：两个一次方程联立（x、y 表示同一对象） ｛ x＋y＝8， 5x＋3y＝34。 四、解： 1、二元一次方程的解：使方程两边相等的一组未知数的值（无数个） 2、二元一次方程组的解：各方程的公共解（一般唯一） 如｛ x＝5，y＝3 是｛ x＋y＝8，5x＋3y＝34 的解 五、列方程组步骤：审→设→列→验 对照板书梳理知识结构。 板书以“概念—方程组—解—步骤”为纲，突出二元一次方程有无数解、方程组有唯一公共解的对比，副板书留给学生列举生活实例。 教学 反思 1、成功之处：以“种植绿植—公园门票”两个真实情境串贯穿全课，学生在“找等量关系—设两个未知数—列方程—观察特征—代入检验”的活动中自主归纳出二元一次方程（组）及其解的概念；表格列举 x＋y＝8 的多组解，再用代入检验找出公共解，直观对比了“无数解”与“唯一公共解”，学生印象深刻。 2、不足之处：部分学生对“含有未知数的项的次数都是 1”理解不到位，误把 xy＝3 判为二元一次方程；少数学生列方程组时两个方程的 x、y 含义不一致（如第一个方程的 x 表示人数、第二个方程的 x 表示钱数）；判断方程组的解时只代入一个方程就下结论。 3、改进设想：增加“项的次数”专项辨析（如 xy、x²、1/y 等反例）；列方程组时要求学生先在草稿上写出“x 表示什么、y 表示什么”再列方程；检验方程组的解时强调必须同时代入两个方程；下节课引入代入消元法时回扣｛ x＋y＝8，5x＋3y＝34 这个例子，实现概念到解法的平滑过渡。 课后对照教学目标，在任务单上完成自我反思。 教学反思聚焦“项的次数”“未知数同一对象”“双重检验”三个易错点，并提出可操作的改进措施，为后续教学调整提供依据。 学科网（北京）股份有限公司 $