3.3轴对称与坐标变化 教学设计 -2026-2027学年北师大版八年级数学上册

3.3 轴对称与坐标变化（教学设计） 课题 3.3 轴对称与坐标变化 单元 第三章 位置与坐标（3.3 轴对称与坐标变化 1课时） 学科 初中数学（北师大版） 年级 八年级 学习目标 1、在同一直角坐标系中，感受图形上点的坐标变化与图形关于坐标轴对称之间的关系； 2、理解并掌握关于x轴对称的两点横坐标相同、纵坐标互为相反数；关于y轴对称的两点纵坐标相同、横坐标互为相反数； 3、能根据坐标规律，画出一个图形关于x轴或y轴的对称图形； 4、能判断两个图形是否关于x轴或y轴对称，并解决相关的坐标变化问题； 5、【核心素养】在“坐标变化—图形变化”的对应中，进一步发展几何直观、符号意识与推理能力，体会数形结合与运动变化的数学思想。 教材分析 1、内容地位：本节是3.1“确定位置”、3.2“平面直角坐标系”的自然延伸，是坐标方法在图形变换中的第一次应用，也为后续学习轴对称图形、平移、旋转以及函数图象的变换奠定基础。 2、编写思路：教材先以“两面小旗”（图3-18）为情境，让学生观察两个小旗的位置关系并写出各顶点坐标，发现纵坐标相同、横坐标互为相反数；再通过“例”（图3-19“小鱼”）让学生把各点横坐标乘－1，得到新图案（图3-20），观察到新图案与原图案关于y轴对称；然后通过“议一议”归纳关于x轴、y轴对称的点的坐标规律（教材第69页结论框）；最后在随堂练习和习题3.3中巩固判断与作图。 3、课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求学生能在方格纸上用坐标表示轴对称，感受坐标变化引起图形变化的规律，发展空间观念与几何直观。 4、思想方法：本节渗透“数（坐标）—形（图形）”双向转化、运动变化与数形结合思想。 学情分析 1、已有基础：学生在上一节已能熟练在坐标系中描点、写坐标，知道关于x轴、y轴对称的两个点在位置上的特点（到坐标轴距离相等、在轴两侧）。 2、主要障碍： （1）把“关于x轴对称”和“关于y轴对称”的坐标规律记混，反号的坐标搞反； （2）作图时只改横坐标或纵坐标，漏掉某一个顶点； （3）判断连续两次对称（先关于x轴、再关于y轴）后的图形位置时，容易漏算一次变换。 3、教学策略：采用“观察两面小旗—小鱼横坐标乘－1—归纳规律—作对称图形—两次对称探究”的活动链，让学生在动手描点、连线中自己“发现”规律，而不是死记结论。 教学重点 掌握关于x轴、y轴对称的点的坐标规律；能根据坐标变化画出图形关于坐标轴对称的图案。 教学难点 理解坐标变化与轴对称图形之间的对应关系；能综合运用规律判断和画出连续两次对称后的图形。 教学准备 多媒体课件（PPT）；方格纸、直尺、铅笔；学习任务单；两面小旗和小鱼图案贴图。 教学环节 教师活动 学生活动 设计意图 新课 引入 【情境引入：两面小旗（教材第68页 图3-18）】 教师：大屏幕上是两面小旗。请同学们在方格纸上建立坐标系，写出两面小旗各个顶点的坐标。 学生（写坐标后口答）：右边小旗ABCD：A（2，6），B（5，4），C（2，4），D（2，0）；左边小旗A1B1C1D1：A1（－2，6），B1（－5，4），C1（－2，4），D1（－2，0）。 教师追问：（1）这两面小旗在位置上有什么关系？ 学生：它们关于y轴对称。 教师：（2）对应顶点的坐标之间有什么关系？比如A（2，6）与A1（－2，6），B（5，4）与B1（－5，4）。 学生：纵坐标都相同，横坐标一个是正的、一个是负的，互为相反数。 教师追问：（3）你是怎么判断“关于y轴对称”的？说说你的理由。 学生：连接对应顶点A与A1，线段AA1与y轴垂直，并且被y轴平分；B与B1、C与C1、D与D1都是如此。 教师：很好。判断两个点是否关于y轴对称，就看它们的连线是否被y轴垂直平分；而从坐标看，就是纵坐标相同、横坐标互为相反数。 教师：这不是巧合——当两个点关于y轴对称时，纵坐标相同，横坐标互为相反数。今天我们就系统研究：坐标怎样变，图形就怎样对称。（板书课题：3.3 轴对称与坐标变化） 1、在方格纸上写出两面小旗各顶点坐标； 2、观察位置关系与坐标变化； 3、提出猜想：纵坐标相同、横坐标互为相反数。 由直观的“两面小旗”引入，让学生先看图、再写坐标，自然发现坐标变化规律，为抽象概括积累感性经验。 探究 新知 探究 新知 探究 新知 【活动一：小鱼图案的横坐标乘－1（教材第68页例 图3-19、图3-20）】 教师：请同学们在坐标系中依次连接下列各点：（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0）。看一看所得图案像什么。 学生动手连线，得到一条朝右的“小鱼”。 教师：如果把各个点的横坐标都乘－1，纵坐标不变，得到一组新点：（0，0），（－5，4），（－3，0），（－5，1），（－5，－1），（－3，0），（－4，－2），（0，0）。请再依次连接这组新点。 学生动手描点、连线，得到一条朝左的“小鱼”。 教师：新图案与原图案相比，形状、大小变了吗？位置有什么关系？ 学生：形状、大小完全没变，只是方向反了；新图案与原图案关于y轴对称。 教师：由此你能得出什么结论？ 学生：横坐标乘－1、纵坐标不变，相当于把整个图形沿y轴翻折。 教师归纳：在直角坐标系中，把一个图形上各个点的横坐标都乘－1、纵坐标不变，所得的新图形与原图形关于y轴对称；反过来，关于y轴对称的两个图形上，对应点的纵坐标相同、横坐标互为相反数。 1、动手连线得到原小鱼； 2、把各点横坐标乘－1后再连线，得到对称小鱼； 3、归纳“横坐标乘－1→关于y轴对称”的结论。 用“小鱼”这一学生喜爱的图案承载规律，动手操作让每个学生亲历坐标变化引起图形翻折的过程，结论由学生自己得出。 【活动二：归纳对称点的坐标规律（教材第69页“议一议”）】 教师：如果把一个图形各个点的纵坐标都乘－1、横坐标不变，所得图形会怎样？请同学们在方格纸上试一试。 学生操作后回答：所得新图形与原图形关于x轴对称。 教师：请同学们对照右图填下表：已知P（a，b）。 （1）P关于x轴对称的点P1的坐标是什么？ 学生：P1（a，－b）——横坐标相同，纵坐标互为相反数。 （2）P关于y轴对称的点P2的坐标是什么？ 学生：P2（－a，b）——纵坐标相同，横坐标互为相反数。 教师引导学生读教材第69页的结论框，并强调反过来也成立。 教师追问：如果把（a，b）的横坐标、纵坐标都乘－1，得到（－a，－b），这个点与P有什么位置关系？ 学生：先关于x轴对称一次，再关于y轴对称一次（或先y后x），最终关于原点成中心对称。 教师：对，这就是为什么第3题连续两次对称后图形跑到了第三象限。 【易错警示】关于x轴对称：横同纵反；关于y轴对称：纵同横反。记口诀：“x轴对称翻上下，y轴对称翻左右”。 1、动手验证“纵坐标乘－1→关于x轴对称”； 2、填写P（a，b）→P1（a，－b）、P2（－a，b）； 3、齐读结论框，记住口诀。 由“形”的操作上升到“数”的一般规律，用P（a，b）的一般化表示完成抽象；易错警示帮助学生区分两种对称。 【活动三：画一个图形关于坐标轴对称的图形】 教师：已知△ABC三个顶点A（4，－1），B（3，－5），C（1，－3）。怎样画出它关于x轴对称的图形△PMN？ 学生讨论后口述步骤： 第一步：求各顶点的对称点坐标——A（4，－1）关于x轴对称得M（4，1），B（3，－5）得N（3，5），C（1，－3）得P（1，3）； 第二步：在坐标系中描出M、N、P； 第三步：依次连接M、N、P，得到△PMN。 教师：那关于y轴对称的图形△DEF呢？ 学生：A（4，－1）得D（－4，－1），B（3，－5）得E（－3，－5），C（1，－3）得F（－1，－3）。 教师总结作图三步法：一求对称坐标，二描对称点，三顺次连线；画哪个轴的对称图形，就把哪个坐标乘－1。 1、口述并完成关于x轴对称的作图三步； 2、独立完成关于y轴对称的作图； 3、对照右图检查D、E、F与A、B、C的坐标关系。 把规律转化为作图技能，三步法便于学生形成稳定的操作程序；三角形的三个对称图形同图呈现，直观对比。 例题 精讲 【教材例题规范解答整理】 【例（教材第68页）】解：依次连接点（0，0），（5，4），（3，0），（5，1），（5，－1），（3，0），（4，－2），（0，0），所得图案是一条“小鱼”；保持各点纵坐标不变，横坐标乘－1，得到（0，0），（－5，4），（－3，0），（－5，1），（－5，－1），（－3，0），（－4，－2），（0，0），依次连接后所得新图案与原图案关于y轴对称。 【例2（补充规范）】已知△ABC：A（4，－1），B（3，－5），C（1，－3）。解：关于x轴对称的三角形顶点为M（4，1），N（3，5），P（1，3）；关于y轴对称的三角形顶点为D（－4，－1），E（－3，－5），F（－1，－3）。分别描点、连线即得。 教师强调：写对称点坐标时先判断对称的是哪条轴——关于x轴对称就只变纵坐标，关于y轴对称就只变横坐标，另一个坐标一律照抄，不能两个都变号。 1、对照板书复述例题的完整操作过程； 2、在任务单上独立写出△ABC两个对称三角形的顶点坐标； 3、总结“求—描—连”三步书写格式。 把探究中的直观发现整理为规范解题步骤，强调“只变一个坐标”这一易错点，落实书写规范与运算能力。 巩固 练习 【随堂练习（教材第70页）】 1、上面是关于x轴对称的两个图形（教材图）。请说明这两个图形对应顶点的坐标有什么关系。 【答案】关于x轴对称的两个图形，对应顶点的横坐标相同，纵坐标互为相反数。 【习题3.3（教材第70页）第1题】 2、如图，△ABC的顶点A（4，－1），B（3，－5），C（1，－3）；△DEF的顶点D（－4，－1），E（－3，－5），F（－1，－3）；△PMN的顶点M（3，5），N（1，3），P（4，1）。△DEF、△PMN分别与△ABC有怎样的位置关系？ 【答案】△DEF与△ABC关于y轴对称（纵坐标相同，横坐标互为相反数）；△PMN与△ABC关于x轴对称（横坐标相同，纵坐标互为相反数）。 【习题3.3（教材第71页）第3题】 3、先画出△ABC关于x轴对称的图形，再画出所得图形关于y轴对称的图形。已知A（－3，2），B（－1，1），C（－2，5）。 【答案】第一步（关于x轴）：A1（－3，－2），B1（－1，－1），C1（－2，－5）；第二步（再关于y轴）：A2（3，－2），B2（1，－1），C2（2，－5）。连续两次对称后，横、纵坐标都变为原来的相反数，即关于原点对称。 【补充练习】 4、点P（－2，3）关于x轴对称的点坐标是什么？关于y轴对称呢？ 【答案】关于x轴对称：（－2，－3）；关于y轴对称：（2，3）。 5、已知点Q（m，n）在第二象限，它关于x轴的对称点在第几象限？关于y轴的对称点呢？ 【答案】Q（m，n）在第二象限，则m＜0，n＞0；关于x轴的对称点（m，－n）中m＜0、－n＜0，在第三象限；关于y轴的对称点（－m，n）中－m＞0、n＞0，在第一象限。 1、口答随堂练习1的坐标关系； 2、判断习题第1题中两个三角形与原三角形的对称关系； 3、独立完成第3题两次对称作图； 4、完成补充练习的坐标变换。 三道题由“判断关系”到“一次作图”再到“两次作图”，层层递进；两次对称结果（关于原点对称）为后续学习埋下伏笔。 课堂 小结 教师引导学生梳理本节知识： 一、两条核心规律：关于x轴对称：横坐标相同，纵坐标互为相反数（a，b）→（a，－b）；关于y轴对称：纵坐标相同，横坐标互为相反数（a，b）→（－a，b）； 二、坐标变换与图形变化：横坐标乘－1→关于y轴对称；纵坐标乘－1→关于x轴对称；两个都乘－1→关于原点对称； 三、作图三步法：一求对称坐标，二描对称点，三顺次连线； 四、思想方法：数形结合、运动变化——坐标变多少，图形就动多少。 1、对照板书口述两条对称规律； 2、举例说明“坐标乘－1”与哪种对称对应； 3、复述作图三步法。 以“两条规律—三种变换—三步作法—一种思想”梳理全节，帮助学生建立“数—形”对应的知识结构。 布置 作业 【分层作业】 1、基础题：教材第70页 习题3.3 第1题（判断△DEF、△PMN与△ABC的对称关系）。 2、基础题：教材第71页 习题3.3 第2题（写出各点关于x轴、y轴对称的点的坐标）。 3、提高题：教材第71页 习题3.3 第3题（△ABC先关于x轴、再关于y轴对称的作图）。 4、拓展题：教材第71页 习题3.3 第4题（根据坐标变化规律补全图案）。 5、实践题：在方格纸上任意画一个简单图案（如小房子、小鱼），先把各点横坐标乘－1画出新图案，再向家人说明新图案与原图案的位置关系。 1、记录作业； 2、实践题向家人讲解对称规律； 3、拓展题体会坐标变化与图案补全的关系。 作业按基础—提高—拓展—实践分层，实践环节把课堂所学转化为可表达的生活语言。 板书 设计 3.3 轴对称与坐标变化 一、两面小旗：A（2，6）→A1（－2，6）（纵同横反） 二、两条规律： 关于x轴对称：（a，b）→（a，－b）横同纵反 关于y轴对称：（a，b）→（－a，b）纵同横反 三、坐标乘－1：横乘－1→关于y轴；纵乘－1→关于x轴 四、作图三步：求对称坐标→描点→连线 五、例：△ABC A（4，－1），B（3，－5），C（1，－3） →x轴对称 M（4，1），N（3，5），P（1，3） →y轴对称 D（－4，－1），E（－3，－5），F（－1，－3） 对照板书梳理两条规律与作图步骤。 板书按“情境—规律—变换—作法—例题”五层展开，核心结论用红色突出，便于学生笔记。 教学 反思 1、成功之处：两面小旗和小鱼图案学生兴趣浓厚，自己“发现”规律的过程自然；多数学生能准确说出横同纵反、纵同横反，作图三步法掌握较好。 2、不足之处：少数学生把两条规律记混，出现“关于x轴对称也把横坐标变号”的错误；连续两次对称（第3题）有学生漏算一次；个别学生描点时漏画一个顶点。 3、改进设想：下次增加“对错卡片”环节，把典型错误（横纵都变号、漏顶点）做成判断题集体辨析；第3题用动画分步演示两次翻折，让学生看清图形最终位置；布置学生课后自制“对称坐标速查卡”。 课后对照教学目标，在任务单上完成自我反思。 反思聚焦“规律记混、两次对称漏算、漏描顶点”三个易错点，提出可操作的改进措施。 学科网（北京）股份有限公司 $