精品解析：江苏苏州工业园区星汇学校2026-2027学年第一学期九年级数学10月学情自测试题

2026-2027学年第一学期10月份学科素养调研 九年级数学 2026年10月 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一．选择题（3×8=24） 1. 下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 2. 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（ ） A. 2 B. 24 C. 15 D. 16 3. 已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，12，则这组样本数据的第75百分位数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 4. 在某场浙的比赛中，县大队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：178，179，180，185，185．现用一名身高的队员替换场上一名身高的队员，与换人前相比，下列有关场上队员身高的说法正确的是（ ） A. 中位数不变，众数改变 B. 中位数改变，众数不变 C. 中位数不变，众数不变 D. 中位数改变，众数改变 5. 已知ab＞0，一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于A、B两点，交坐标轴于C、D两点．若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 4 8. 如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（3×8=24） 9. 若函数是y关于x的反比例函数，则_____． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ____． 11. 已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是______． 12. 若关于x的方程，则_________． 13. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按的比例对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为______． 14. 已知一组数据：，，，的平均数是2，方差是3，另一组数据：，，的方差是______． 15. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 16. 如图，直线与函数和的图象分别交于点A、B，点B的横坐标为，过原点的直线与函数和的图象分别交于点C、D．若，则的长为_________． 三．解答题（共82分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知与成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求x的值． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点，为常数． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式 的解集为 ； （3）点为轴上一点，若的面积为1，请直接写出点的坐标． 21. 如图，在中，，点是的重心，且，的延长线交于． （1）求证：； （2）求的值． 22. 如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点为对角线的中点，点在边上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，且． （1）求反比例函数的解析式． （2）若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与轴正半轴交于点，求线段的长． 23. 智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）请补全乙模型测试准确率的箱线图； （3）结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 24. 综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】 （1）用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 25. 如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图像于点A，交函数的图像于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC． （1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积； （2）若AB＝BC，求点A的坐标； （3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由． 26. 如图（1），在△ABC中，如果正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，那么我们称这样的正方形为“三角形内接正方形”小波同学按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图（2），任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，小波把线段BN称为“波利亚线”，请帮助小波解决下列问题： （1）四边形PQMN是否是△ABC的内接正方形，请证明你的结论； （2）若△ABC为等边三角形，边长BC＝6，求△ABC内接正方形的边长； （3）如图（3），若在“波利亚线”BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM．当时，猜想∠QEM的度数，并说明你的理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期10月份学科素养调研 九年级数学 2026年10月 注意事项： 1．本试卷满分130分，考试时间120分钟； 2．所有的答案均应书写在答题卷上，按照题号顺序答在相应的位置，超出答题区域书写的答案无效；书写在试题卷上、草稿纸上的答案无效； 3．字体工整，笔迹清楚．保持答题纸卷面清洁． 一．选择题（3×8=24） 1. 下列y关于x的函数中，是二次函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的定义“一般地，形如是常数，的函数，叫做二次函数”，据此进行分析即可． 【详解】解：.A、当时，不是二次函数，故选项A不符合题意； B、不是二次函数，故选项B不符合题意； C、 不是二次函数，故选项C不符合题意； D、是二次函数，故选项D符合题意 故选：D． 2. 某跳水队为了解运动员的年龄情况，作了一次年龄调查，结果如图所示．则这个跳水队运动员的年龄的众数是（ ） A. 2 B. 24 C. 15 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合条形统计图中人数最多的年龄求解即可． 【详解】解：由条形统计图可得：年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人，年龄为岁的有人， ∵， ∴年龄为岁的人数最多， ∴这个跳水队运动员的年龄的众数是． 3. 已知样本数据10，11，9，13，10，9，12，12，则这组样本数据的第75百分位数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】D 【解析】 【分析】先将数据从小到大排列，再分别用取中位数法和百分比法求第75百分位数． 【详解】解：将数据从小到大排列为9，9，10，10，11，12，12，13，共个数据． 解法一：中位数， 上半部分数据为11，12，12，13， ． 解法二：，位置为整数， ． 两种方法结果一致，第75百分位数为12． 4. 在某场浙的比赛中，县大队5名场上队员的身高（单位：cm）分别是：178，179，180，185，185．现用一名身高的队员替换场上一名身高的队员，与换人前相比，下列有关场上队员身高的说法正确的是（ ） A. 中位数不变，众数改变 B. 中位数改变，众数不变 C. 中位数不变，众数不变 D. 中位数改变，众数改变 【答案】A 【解析】 【详解】解：∵ 换人前场上队员身高数据从小到大排列为，，，，， ∴ 中位数为，众数为， ∵ 用名身高的队员换下名身高的队员后，新的身高数据从小到大排列为，，，，， ∴ 中位数为，众数为， ∴ 中位数不变，众数改变． 5. 已知ab＞0，一次函数y=ax+b与反比例函数y=在同一直角坐标系中的图象可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由于ab＞0，那么a、b同号，当a＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、二象限；当a＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，利用这些结论即可求解． 【详解】解：∵ab＞0，∴a、b同号， 当a＞0，b＞0时，直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限， 当a＜0，b＜0时，直线经过第二、三、四象限，双曲线经过第二、四象限， A、图中直线经过第一、二、三象限，双曲线经过第一、三象限，故A选项正确； B、图中直线经过直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第一、三象限，故B选项错误； C、图中直线经过直线经过第一、三、四象限，双曲线经过第二、四象限，故C选项错误； D、图中直线经过第一、二、四象限，双曲线经过第二、四象限，故D选项错误． 故选：A． 【点睛】此题考查一次函数，反比例函数中系数及常数项与图象位置之间关系．直线y=kx+b、双曲线y=当k＞0时经过第一、三象限，当k＜0时经过第二、四象限． 6. 如图，反比例函数的图像经过点，将线段沿轴向右平移至线段，点落在反比例函数的图像上．则线段扫过的面积为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反比例函数的图像与性质，图形的平移，设，结合平移的性质可得的纵坐标为，的横坐标为，再利用面积公式计算即可. 【详解】解：∵反比例函数的图像经过点， ∴设， ∵将线段沿轴向右平移至线段， ∴的纵坐标为， ∵点落在反比例函数的图像上． ∴的横坐标为， ∴线段扫过的面积为， 故选：C 7. 如图，一次函数的图象交反比例函数的图象于A、B两点，交坐标轴于C、D两点．若，则的面积为（ ） A. 1 B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先分别表示出，，故，，根据得，再联立方程组得，运用根与系数的关系得，整理得 ，然后表示 再运用勾股定理列式计算，得，建立方程，解得，最后把数值代入的面积公式计算，即可作答． 【详解】解：∵一次函数的图象交反比例函数的图象于A、B两点， ∴令，则， 则， ∴ 令，则，解得， 则； ∴ ∴ ∵ ∴ 联立， 整理得， 设A、B两点的横坐标分别是， ∴ ∴ 则 ∵点A、B在一次函数上 ∴， 即 则 ∵ ∴ ∵ ∴ 整理得， ∴ 的面积． 8. 如图，反比例函数经过、两点，过点作轴于点，过点作轴于点，连接、、．若，，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的几何意义，矩形的判定与性质，熟练掌握值几何意义是关键．延长交于点E，设，则，求出，，进而得到，证明四边形是矩形，再求出，得到，根据，建立方程求解即可． 【详解】解：延长交于点E， 设， ∵， ∴， ∵轴，轴， ∴点的纵坐标为，点的纵坐标为， ∴， ∴， ∴，， ∵反比例函数经过、两点， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故选：D． 二．填空题（3×8=24） 9. 若函数是y关于x的反比例函数，则_____． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查反比例函数的定义，根据定义列出且，求出的值即可． 【详解】解：∵函数是y关于x的反比例函数， ∴且， 解得，． 故答案为：5． 10. 若，是一元二次方程的两个实数根，则的值为 ____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 根据题意，利用一元二次方程根与系数的关系即可求解． 【详解】解：由题可知， 因为，是一元二次方程的两个实数根， 所以，，且， 则， 所以； 故答案为： 11. 已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是______． 【答案】 【解析】 【分析】先判断出函数图象位于第二四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大判断出y1、y2、y3的大小关系，然后即可选取答案． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象位于第二四象限，在每一个象限内y随x的增大而增大， ∵， ∴，， ∴； 故答案为：； 【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键． 12. 若关于x的方程，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】设，原方程可化为，利用因式分解法解方程，再结合解答即可． 【详解】解：设，则原方程可化为， 因式分解，得， 解得或， ∵， ∴， 又∵当时，；当时，，舍去， ∴， 即． 13. 某班级课堂从“理解”、“归纳”、“运用”、“综合”、“参与”等五方面按的比例对学生学习过程进行课堂评价．某同学在课堂上五个方面得分如图所示，则该学生的课堂评价成绩为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查加权平均数．根据加权平均数的计算方法即可解答本题． 【详解】解：依题意，该学生的课堂评价成绩为 故答案为：． 14. 已知一组数据：，，，的平均数是2，方差是3，另一组数据：，，的方差是______． 【答案】27 【解析】 【分析】根据方差的定义得到把数据，，，都扩大3倍，则方差扩大3的平方倍，然后每个数据减2，方差不变，于是得到，，的方差为27． 【详解】解：，，，的平均数是2，方差是3， ，，的方差， ，，的方差为27． 故答案为27． 【点睛】本题考查了方差：一组数据中各数据与它们的平均数的差的平方的平均数，叫做这组数据的方差；方差是反映一组数据的波动大小的一个量．方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好． 15. 火力发电厂的大烟囱并不是我们所理解的排放废气的烟囱，它的专业名字叫双曲线冷却塔（如图1)，它的纵截面是如图2所示的轴对称图形，四边形是一个矩形，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴建立平面直角坐标系，其中曲线和曲线分别是两个反比例函数图象的一部分，若冷却塔的高度为，，上口宽，则底部直径的长为____． 【答案】 【解析】 【分析】设反比例函数的解析式为，代入得出反比例函数的解析式为： ，当时得出，得出，得出，由对称的性质，得，进而求得的长． 【详解】根据题意可知， ． 设反比例函数的解析式为 将点 代入，得 ． 反比例函数的解析式为： ∵， ∴当时， ． 解得．经检验，是分式方程的解． ∴ ． ∴． 由对称的性质，得． ∴ 16. 如图，直线与函数和的图象分别交于点A、B，点B的横坐标为，过原点的直线与函数和的图象分别交于点C、D．若，则的长为_________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出点的坐标，进而求出以及的值，联立直线与函数，求出点的坐标，进而求出，设过原点的直线的解析式为，分别联立直线与函数和，求出点、点的坐标，进而求出、，从而得到，证明出，即可得解． 【详解】解：点B的横坐标为，且点在直线的图象上， ， 又点在函数的图象上， ， ， 联立，解得：或（舍）， ， ， ， 设过原点的直线的解析式为， 联立，解得：或（舍）， ， 联立，解得：或（舍）， ， ， ， ， 又， ， ， ， ． 三．解答题（共82分） 17. 用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的多种解法（因式分解法、公式法），解题的关键是观察方程结构，优先选用简便的因式分解法，无法因式分解时利用求根公式求解． （1）移项后利用平方差公式因式分解求解； （2）十字相乘法因式分解求解； （3）化为标准式后套用求根公式求解； （4）先展开、移项、合并同类项整理成一元二次方程标准形式，再因式分解求解． 【小问1详解】 解： 或 解得 【小问2详解】 解： 或 解得 【小问3详解】 ∵， 方程有两个不相等的实数根， 即 【小问4详解】 解： 或 解得 18. 已知与成反比例，且当时，． （1）求y与x之间的函数关系式； （2）当时，求x的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据反比例函数的定义设，再利用待定系数法求解即可； （2）将代入（1）所得关系式求解即可． 【小问1详解】 解：与成反比例， 设， 当时，， ， 解得：， ， 【小问2详解】 解：由（1）可知，， 当时，， 解得：． 19. 已知关于的一元二次方程． （1）求证：该方程总有两个实数根； （2）若方程的一个根是另一个根的3倍，求的值． 【答案】（1） 证明：， 该方程总有两个实数根； （2）的值为或 【解析】 【分析】（1）先计算出根的判别式的值得到，然后根据根的判别式的意义即可得到结论； （2）先解方程得出，，再分两种情况：当时，当时，分别列出方程，解方程即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 解得：，， 方程的一个根是另一个根的3倍， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：， 综上所述，的值为或 ． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、解一元二次方程、解一元一次方程，熟练掌握以上知识点，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． 20. 如图，一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点，为常数． （1）求一次函数和反比例函数的解析式； （2）根据图象直接写出不等式 的解集为 ； （3）点为轴上一点，若的面积为1，请直接写出点的坐标． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将点代入反比例函数的解析式即可求出反比例函数的解析式，再将点代入已求出的反比例函数解析式求出的值，进而得点的坐标，然后将点，的坐标代入一次函数的解析式即可求出一次函数的解析式； （2）观察函数的图象，找出一次函数的图象在反比例函数的上方所对应的的取值范围即可； （3）过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，根据点，的坐标可求出四边形，根据题意，分三种情况：①点在线段上，即；②当在延长线上时，即；③当在延长线上时，即；由面积关系列方程求解即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入之中得， 反比例函数的解析式为； 将代入反比例函数之中得， 点的坐标为， 将点，代入之中得，解得， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：由（1）知一次函数的图象与反比例函数 的图象交于两点， 过作轴的垂线，如图所示： 观察函数的图象可知当或时，一次函数的图象均在反比例函数的上方， 的解集为或； 【小问3详解】 解：过点，分别作轴的垂线，垂足分别为，，如图所示： ， ，，，， ， 轴，轴， 四边形为直角梯形， ， 设点的坐标为， 的面积为1， ①点在线段上，即，如图所示： ， ，， ，， ，解得， 此时点的坐标为； ②当在延长线上时，即，如图所示： ，，则，， ，则，解得， 此时点的坐标为； ③当在延长线上时，即，如图所示： ，，则，， ，则，解得， 由于，与当在延长线上时，即矛盾，此种情况不存在； 综上所述：点的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点，待定系数法求函数的解析式等，解答此题的关键是熟练掌握待定系数法求函数的解析式的方法与技巧，难点是解答（3）时，根据相关点的坐标向坐标轴作垂线把不规则图形的面积转化为规则图形面积的和差． 21. 如图，在中，，点是的重心，且，的延长线交于． （1）求证：； （2）求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由，利用等角的余角相等得，根据点是的重心，可得是边上的中线，所以，所以，可得，又，根据相似三角形的判定方法得到； （2）设，由点是的重心，根据重心的性质得，根据重心的定义得是边上的中线，接着根据直角三角形斜边上的中线性质得到，于是得到，求得，根据为边上的中线，于是得到，推出，即可得到结论． 【小问1详解】 证明：如图， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∵点是的重心， ∴是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问2详解】 解：如图，设， ∵点是的重心，， ∴，为边上的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的中线， ∴， ∴， ∴． ∴的值为． 【点睛】本题考查三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点；重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．也考查相似三角形的判定与性质，直角三角形斜边上的中线的性质，等角的余角相等，三角形中线的性质． 22. 如图，矩形的顶点分别在轴的正半轴上，点为对角线的中点，点在边上，反比例函数在第一象限内的图象经过点，且． （1）求反比例函数的解析式． （2）若反比例函数的图象与矩形的边交于点，将矩形折叠，使点与点重合，折痕分别与轴正半轴交于点，求线段的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质和已知条件得到点的坐标为，继而根据为的中点，得到，进而根据待定系数法得到反比例函数的解析式． （2）连接，根据反比例函数的图象与矩形的边交于点，得到，进而得到，设，根据折叠的性质和勾股定理列方程，并解方程得到． 【小问1详解】 解：四边形是矩形， ，， 点在边上， ， ， ， 点的坐标为， 点为的中点， ，， ， ，解得， 反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：如图，连接， 反比例函数的图象与矩形的边交于点， 设点， ，解得， ， ， 设，则， 在中，， 即， 解得， ． 23. 智能科技点亮生活，人工智能成为时代发展的新风向．某商场计划启用导航机器人，为往来顾客提供指引服务，工作人员现对甲、乙两款导航模型进行轮性能测试，得到如下成功率数据（单位：）： 甲模型：，，，，，，，，，； 乙模型：，，，，，，，，，． 两组数据的平均数、四分位数和方差如表所示： 平均数 最小值 最大值 方差 甲模型 乙模型 根据以上信息，回答下列问题： （1）________，________； （2）请补全乙模型测试准确率的箱线图； （3）结合以上数据，请从甲、乙两个模型中选拔一个部署到智能安防系统，并说明理由． 【答案】（1）80，145 （2）补全乙模型测试准确率的箱线图如图所示： （3）选择乙模型，理由如下：乙模型的方差较小，四分位距更小，更稳定． 选择甲模型，理由如下：甲模型的平均数较高，上四分位数和中位数都要更好，整体高分较多． 【解析】 【分析】（1）利用方差公式和下四分位的求解方法即可解答； （2）由表格数据画箱线图即可解； （3）根据表格中的平均数、方差、四分位数和箱线图等做出决策． 【小问1详解】 解：由题意，； 将乙模型的测试数据从小到大排列为：，，，，，，，，，，共10个数，偶数个， 方法一：前半部分数据为70，75，80，80，80，有奇数个，正中间的数为80，则，即； 方法二：的位置为，不是整数，取第3位，则，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 24. 综合与实践 【项目背景】研究商品的销售利润与售价之间的关系 【素材呈现】 素材1：某商场以每件40元的成本价新进一批小家电，准备采用降价销售的方式尽快售出小家电，获取合理的利润； 素材2：在销售过程中发现，这种小家电的售价定为60元/件时，每天可卖出100件，在此基础上，这种小家电的价格每降低2元，该商场每天可多卖出5件； 素材3：假设该小家电的价格定为元． 【问题解决】 （1）用含的代数式表示该商场每天售出小家电的数量是__________件； （2）已知该商场销售这种小家电每天的利润是1250元，求这种小家电的价格； （3）该商场销售这种小家电每天的利润能否达到2500元？若能，求出这种小家电的价格；若不能，请说明理由． 【答案】（1） （2）50元/件 （3） 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 理由：根据题意得， 整理得， ， 此一元二次方程没有实数根， 该商场销售这种小家电每天的利润不能达到2500元． 【解析】 【分析】（1）小家电的数量等于原来的数量100加上增长的数量，列式化简即可； （2）根据利润等于单价乘以数量列方程，求解方程，即可得解； （3）根据利润等于单价乘以数量列方程，根据判别式判断方程解的情况． 【小问1详解】 解：该商场每天售出小家电的数量是件， 故答案为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 整理得， ， 解得，（不合题意，舍去） 答：该商场销售这种小家电每天的利润是1250元时，这种小家电的价格为50元/件； 【小问3详解】 略 25. 如图，点P为x轴负半轴上的一个点，过点P作x轴的垂线，交函数的图像于点A，交函数的图像于点B，过点B作x轴的平行线，交于点C，连接AC． （1）当点P的坐标为（﹣1，0）时，求△ABC的面积； （2）若AB＝BC，求点A的坐标； （3）连接OA和OC．当点P的坐标为（t，0）时，△OAC的面积是否随t的值的变化而变化？请说明理由． 【答案】（1）；（2）点A（−2，）； （3）△OAC的面积不随t的值的变化而变化，理由： 过点A作AM⊥y轴于点M，过点C作CN⊥y轴于点N， 则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，）， ∴S△OAC＝S梯形AMNC＝（−t）（＋）＝， ∴△OAC的面积不随t的值的变化而变化． 【解析】 【分析】（1）点P（−1，0）则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（−，4），S△ABC＝BC×AB，即可求解； （2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，），AB＝BC，即：-()＝−t，即可求解； （3）由S△OAC＝S梯形AMNC＝（−t）（＋）＝，即可得到结论． 【详解】解：（1）点P（−1，0），则点A（−1，1），点B（−1，4），点C（−，4）， ∴S△ABC＝BC×AB＝×（−＋1）×（4−1）＝； （2）设点P（t，0），则点A、B、C的坐标分别为（t， ）、（t，）、（，）， ∵AB＝BC， ∴-()＝−t，解得：t＝±2（舍去2）， ∴点A（−2，）； （3）略． 【点睛】本题考查了反比例函数系数k的几何意义，关键是通过函数关系，确定相应坐标，进而求解． 26. 如图（1），在△ABC中，如果正方形PQMN的边QM在BC上，顶点P，N分别在AB，AC上，那么我们称这样的正方形为“三角形内接正方形”小波同学按数学家波利亚在《怎样解题》中的方法进行操作：如图（2），任意画△ABC，在AB上任取一点P′，画正方形P′Q′M′N′，使Q′，M′在BC边上，N′在△ABC内，连结BN′并延长交AC于点N，画NM⊥BC于点M，NP⊥NM交AB于点P，PQ⊥BC于点Q，得到四边形PQMN，小波把线段BN称为“波利亚线”，请帮助小波解决下列问题： （1）四边形PQMN是否是△ABC的内接正方形，请证明你的结论； （2）若△ABC为等边三角形，边长BC＝6，求△ABC内接正方形的边长； （3）如图（3），若在“波利亚线”BN上截取NE＝NM，连结EQ，EM．当时，猜想∠QEM的度数，并说明你的理由． 【答案】（1）四边形PQMN是△ABC的内接正方形，证明详见解析；（2）12﹣18；（3）∠QEM＝90°，理由详见解析 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形PQMN是矩形，再证明MN＝PN即可； （2）根据平行线分线段成比例定理列比例式可得结论； （3）证明△BQE∽△BEM，推出∠BEQ＝∠BME，由∠BME+∠EMN＝90°，可得∠BEQ+∠NEM＝90°，即可解决问题． 【详解】解：（1）四边形是的内接正方形，理由是： 如图2中，由画图可知， 四边形是矩形，， △， 同理可得：， ， ， 四边形是正方形，即四边形是的内接正方形； （2）如图1，过作于，交于，设正方形的边长为， 为等边三角形，边长， 高线， 四边形是正方形， ， ， 即，解得：， 答：内接正方形的边长是； （3）如图3中，结论：． 理由：设，，则，，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质和判定，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $