精品解析：江苏南京求真中学2026-2027学年九年级上学期10月学情数学自测试卷

2026~2027学年第一学期南京求真学情自测卷 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 3. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 4. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 5. 如图，形如的方程的图解是：画，使，，，再以B为圆心，长为半径画弧，分别交边及延长线于点D、E，则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 6. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把【答案】直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的根是_____. 8. 直角三角形的两条直角边长是，则它的外接圆的半径是_______． 9. 已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是_______． 10. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 11. 若方程的两个根为，，且，则的值为__________． 12. 如图，的半径为3，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是___________ ． 13. 如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 14. 点是的外心，若，则为______． 15. 如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________． 16. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共8分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2． （1）当k为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？ （2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根． 19. 如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP=5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条． 20. 有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，需运送土石方共，甲车队每天运送土石方的体积为（单位：立方米/天），完成任务需要的时间为（单位：天）； （1）与的函数解析式为__________，当时，的取值范围是__________； （2）若原计划甲车队派出全部20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方，才可按时完成任务，则完成任务的时间为___________________；实际甲车队工程进行8天后，交由乙车队完成，且需要提前4天完成，则乙车队至少要派出多少辆同样的卡车才能按新要求完成任务？ 21. 求证：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 已知：___________________；求证：___________________ 22. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用21米长的铁栅栏围成一个面积为90平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是10米，铁栅栏只围三边，设垂直于墙的边为和，平行于墙的边为．在边上要造一个门，门宽是边长的一半；在边上要造一个运输通道，通道宽是边长的三分之一，求所围成长方形的两条邻边的长． 23. 【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026~2027学年第一学期南京求真学情自测卷 九年级数学（10月） 一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卷相应位置上） 1. 下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义（整式方程、只含一个未知数、未知数最高次数为2）逐一分析选项． 【详解】解：选项A：， 当时，方程为一元二次方程，但题目未明确，因此不能确定，不符合题意； 选项B：， 方程中含项，属于分式方程，不符合整式方程的要求，不符合题意； 选项C：， 方程中含两个未知数和，不是关于的一元方程，不符合题意； 选项D：， 整理为标准形式，满足整式方程、只含且的最高次数为2，符合题意； 故选：D． 2. 下列说法错误的是（ ） A. 直径是圆中最长的弦 B. 半圆是弧 C. 长度相等的两段弧是等弧 D. 圆上各点到圆心的距离相等 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查圆的相关概念，熟练掌握有关圆的相关概念是解题的关键．根据圆的定义、弦、弧及等弧的定义，逐项判断即可． 【详解】解：选项A、直径是圆中最长的弦，这是圆的性质，则A正确，不符合题意； 选项B、半圆属于弧，则B正确，不符合题意； 选项C、等弧需在同圆或等圆中长度相等且能够重合，仅长度相等不一定是等弧，则C错误，符合题意； 选项D、圆上各点到圆心的距离都相等，都等于半径，这是圆的定义，则D正确，不符合题意； 故选：C． 3. 对于反比例函数，下列结论不正确的是（ ） A. 图象必经过点 B. y随x的增大而增大 C. 图象在第二、四象限内 D. 图象关于坐标原点中心对称 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的性质，根据反比例函数的性质，利用排除法求解即可． 【详解】解：A、把代入解析式得，所以点在函数图象上，故本选项正确，不符合题意； B、，∴在每一个象限内，y随x的增大而增大，故本选项错误，符合题意； C、，∴函数图象在二、四象限内，故本选项正确，不符合题意； D、反比例函数的图象关于原点中心对称，故本选项正确，不符合题意． 故选：B． 4. 俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半．”意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学过的东西就会遗忘部分．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】理解题意，找到剩余知识量的等量关系．每天遗忘百分比为，剩余知识量每天在上一天剩余的基础上按比例衰减，据此列出方程即可． 【详解】解：设原始知识量为， ∵每天遗忘的百分比为， ∴第一天后剩余的知识量为， 第二天后剩余的知识量为， 又∵两天不练丢一半，即两天后剩余知识量为原来的， ∴． 5. 如图，形如的方程的图解是：画，使，，，再以B为圆心，长为半径画弧，分别交边及延长线于点D、E，则该方程的一个正根是（ ） A. 的长 B. 的长 C. 的长 D. 的长 【答案】A 【解析】 【分析】首先根据勾股定理求出AB，然后根据求根公式得出方程的根，根据等式，即可得解. 【详解】∵，，，， ∴ 又∵ ∴ ∴该方程的正根为 ∴ ∵ ∴x即为AE的长 故答案为A. 【点睛】此题主要考查勾股定理以及方程两根公式的运用，熟练掌握，即可解题. 6. 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为与关于直线对称，反比例函数的图象与交于点．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】过点B作轴，根据题意得出，再由特殊角的三角函数及等腰三角形的判定和性质得出，，利用各角之间的关系，确定，B，D三点共线，结合图形确定，然后代入反比例函数解析式即可． 【详解】解：如图所示，过点B作轴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， ∵与关于直线对称， ∴， ∴， ∴，B，D三点共线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 将其代入得：， 故选：A． 【点睛】题目主要考查等腰三角形的判定和性质，特殊角的三角函数及反比例函数的确定，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键． 二、填空题（每小题2分，共20分．不需写出解答过程，请把【答案】直接填写在答题卷相应位置上） 7. 方程的根是_____. 【答案】0和-4. 【解析】 【分析】根据因式分解即可求解. 【详解】解 ∴x1=0,x2=-4, 故填：0和-4. 【点睛】此题主要考查一元二次方程的求解，解题的关键是熟知一元二次方程的解法. 8. 直角三角形的两条直角边长是，则它的外接圆的半径是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，直角三角形外接圆的性质．根据勾股定理可得斜边长，再根据直角三角形外接圆的性质解答即可． 【详解】解：∵直角三角形的两条直角边长是， ∴斜边长为， ∴它的外接圆的半径是． 故答案为： 9. 已知 两点在双曲线上，且，则m的取值范围是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特点，熟知反比例函数的增减性是解题的关键． 先题意判断出反比例函数的图象所在的象限，故可得出的正负，进而确定m的取值范围． 【详解】解：∵两点在双曲线上，且， ∴反比例函数图象在二、四象限， ∴，解得：． 故答案为：． 10. 已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：）与电阻（单位：）成反比例函数关系，它的图象如图所示．当电流从6A增加到10A时，电阻小了______． 【答案】2.4 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据题意得到反比例函数解析式是解题的关键. 根据题意，由待定系数法求出反比例函数解析式，再根据反比例函数的性质进行计算即可得到答案． 【详解】解：设， 把代入得：， 反比例函数的解析式为， 当时，， 当时，， 当电流I从增加到时，电阻R减小了 故答案为2.4． 11. 若方程的两个根为，，且，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】关于x的一元二次方程的两个实数根，和系数，，，有如下关系：，． 【详解】解：∵方程的两个根为，， ∴，， ∵， ∴，此时，，符合题意． 12. 如图，的半径为3，点P是弦延长线上的一点，连接，若，，则弦的长是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了垂径定理，掌握勾股定理，含30度角的直角三角形的性质是解题的关键． 过点O作于H，连接，则，利用勾股定理求出，则由垂径定理可得． 【详解】解：过点O作于H，连接， 则，， 在中，，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 如图，已知的顶点A在反比例函数的图象上，点B，C，D在坐标轴上，连接交于点E．若，，则k的值为______． 【答案】10 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数k的几何意义，平行四边形的性质，熟练掌握反比例函数k的几何意义是解题的关键． 根据平行四边形的性质，结合三角形及平行四边形面积公式可得，则设，得到方程，解得，再根据反比例函数k的几何意义得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 设， ∵若，， ∴， 解得， ∵顶点A在反比例函数的图象上， ， ， 故答案为：10． 14. 点是的外心，若，则为______． 【答案】55°或125° 【解析】 【分析】根据点Ａ与点O在边同侧或两侧，分类讨论，按照同弧所对的圆心角和圆周角的关系解答即可． 【详解】解：分两种情况： （1）点Ａ与点在BC边同侧时，如下图： . ∵ ∴ （2）点与点在BC边两侧时，如下图： ∵，即所对的圆心角为 ∴所对的圆心角为： ∴ 故答案为：55或125 【点睛】本题考查的是同弧所对的圆心角和圆周角之间关系，根据题意分类讨论是解题关键． 15. 如图，在以AB为直径的半圆中，=，CD⊥AB，EF⊥AB，CD=CF=1，则以AC和BC的长为两根的一元二次方程是________． 【答案】 【解析】 【分析】连接OD，OE，因为=，根据等弧所对的圆心角相等可得∠DOC=∠EOF，因为CD⊥AB，EF⊥AB，所以∠DCO=∠EFO=90°，又因为DO==EO，所以Rt△DOC∽Rt△EOF，所以CO=OF=，在Rt△DOC中，OD=，所以AO=DO=，AC=，BC=AB-AC=- =，所以以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 【详解】解：连接OE，OD， ∵=， ∴∠DOC=∠EOF， ∵CD⊥AB，EF⊥AB， ∴∠DCO=∠EFO=90°， 又∵DO=EO， ∴Rt△DOC≌Rt△EOF， ∴CO=OF=， ∵在Rt△DOC中，OD=， ∴AO=DO=，AC=AO-CO=，AB=2AO=，BC=AB-AC=- =， ∴以AC和BC的长为两根的一元二次方程是（x-）(x-)=0，整理，得． 故答案为：x2-x+1=0． 【点睛】本题考查圆心角定理及其推论，全等三角形的判定与性质以及根与系数的关系．此题属于开放题，注意数形结合与方程思想的应用． 16. 如图，是的直径，点C在上，，垂足为D，，点E是上的动点（不与C重合），点F为的中点，若在E运动过程中的最大值为4，则的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是点与圆的位置关系、勾股定理等问题．解题关键是确定点、、三点共线时，有最大值，并利用了数形结合的思想．方法一：取中点，连接和，设的半径为，根据点的运动轨迹，确定点的运动轨迹，根据，可确定当点、、三点共线时，有最大值，此时，求出，再根据在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，则，联立即可求出半径的值，然后求出的长，利用勾股定理即可求出的长；方法二：连接，，根据题意得到当为直径时，有最大值，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：方法一：如图所示、取中点，连接和，设的半径为， ∵点为的中点， ∴， ∵点是上的动点（不与重合），点为顶点， ∴点的运动轨迹是以点圆心，以的长为半径的圆上， 则， ∴当点、、三点共线时，有最大值，此时， ∴， ∵， ∴， ∵点为的中点， ∴， ∴，解得：， ∴， 在中， ； 方法二：如图，连接，， ∵，是直径， ∴， 又∵点是的中点， ∴， 当为直径时，有最大值， ∴ ， ∴， ∴， 在中， ； 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，共8分．请在答题卷指定区域作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1）， （2） （3）， （4） 【解析】 【分析】（1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）将该方程整理得，再利用配方法解该方程即可； （3）将该方程整理得，再利用因式分解法解该方程即可； （4）利用配方法解一元二次方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 已知关于x的一元二次方程x2+（k+4）x+k+3＝0的两根是x1，x2． （1）当k为何值时，这个方程总有两个不相等的实数根？ （2）说明：无论k为何值，方程总有一个不变的根． 【答案】（1）k≠-2； （2）∵x2+（k+4）x+k+3＝0，即（x+1）[x+（k+3）]＝0， ∴x+1＝0或x+（k+3）＝0， ∴x1＝﹣1，x2＝﹣（k+3）， ∴无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1． 【解析】 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式Δ＝b2﹣4ac，可得出Δ＝（k+2）2，由方程总有两个不相等的实数根，可得出（k+2）2＞0，解之即可得出k≠-2，进而可得出当k≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根； （2）利用因式分解法解一元二次方程，可得出方程的两个根，进而可得出无论k为何值，方程总有一个不变的根为x＝﹣1． 【详解】解：（1）∵a＝1，b＝（k+4），c＝k+3， ∴Δ＝b2﹣4ac＝（k+4）2﹣4×1×（k+3）＝k2+4k+4＝（k+2）2， ∵方程总有两个不相等的实数根， ∴（k+2）2＞0，即k+2≠0， ∴k≠-2， ∴当k≠-2时，这个方程总有两个不相等的实数根； （2） 略 【点睛】本题考查一元二次方程的根与判别式的关系、因式分解法解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的根与判别式的关系是解答的关键． 19. 如图，点P是⊙O内一定点． （1）过点P作弦AB，使点P是AB的中点（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； （2）若⊙O的半径为13，OP=5， ①求过点P的弦的长度m范围； ②过点P的弦中，长度为整数的弦有______条． 【答案】 （1）如图1，弦AB即为所求； （2）①过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26；②4 【解析】 【分析】（1）连接OP并延长，过点P作AB⊥OP即可； （2）①过点P的所有弦中，直径最长为26，与OP垂直的弦最短，由垂径定理和勾股定理求出AB=24，即可得出答案； ②过P点最长的弦为直径26，最短的弦24，长度为25的弦有2条，即可得出结论． 【详解】解：（1）略 （2）①过点P的所有弦中，直径最长为直径26，与OP垂直的弦最短， 连接OA，如图2所示： ∵OP⊥AB， ∴AP=BP===12， ∴AB=2AP=24， ∴过点P的弦的长度m范围为24≤m≤26； ②∵过P点最长的弦为直径26， 最短的弦24， 长度为25的弦有两条， ∴过点P的弦中，长度为整数的弦共有4条， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了垂径定理、勾股定理以及作图；熟练掌握垂径定理和勾股定理是解题的关键． 20. 有甲、乙两个车队，甲车队承担了某工程运送土石方的任务，需运送土石方共，甲车队每天运送土石方的体积为（单位：立方米/天），完成任务需要的时间为（单位：天）； （1）与的函数解析式为__________，当时，的取值范围是__________； （2）若原计划甲车队派出全部20辆卡车，每辆卡车每天可运送土石方，才可按时完成任务，则完成任务的时间为___________________；实际甲车队工程进行8天后，交由乙车队完成，且需要提前4天完成，则乙车队至少要派出多少辆同样的卡车才能按新要求完成任务？ 【答案】（1），； （2）天；乙车队至少要派出30辆同样的卡车才能按新要求完成任务 【解析】 【分析】（1）每天运送体积运送时间总运送体积； （2）乙车队要派出辆同样的卡车才能按新要求完成任务，根据题意列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【小问1详解】 解：由题意可得：， ∴与的函数解析式为， ∴当时，随着的增大而减小， 当时，， ∴当时，的取值范围是； 【小问2详解】 解：原计划完成任务的时间为天， 设乙车队要派出辆同样的卡车才能按新要求完成任务， 由题意可得，， 解得， 故乙车队至少要派出30辆同样的卡车才能按新要求完成任务． 21. 求证：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半． 已知：___________________；求证：___________________ 【答案】已知：如图，弧所对的圆周角是，圆心角是． 求证：． 证明： 当圆心在上时，如图①， ， ， 又， ； 当在圆心在圆周角的内部时，如图②，作直径， 同①可得，， ， ∴； 当圆心在圆周角的外部时，如图③，作直径， 同理，， ． 综上所述：. 【解析】 【详解】略 22. 如图，某建筑工程队在一堵墙边上用21米长的铁栅栏围成一个面积为90平方米的长方形仓库，已知可利用的墙长是10米，铁栅栏只围三边，设垂直于墙的边为和，平行于墙的边为．在边上要造一个门，门宽是边长的一半；在边上要造一个运输通道，通道宽是边长的三分之一，求所围成长方形的两条邻边的长． 【答案】所围成长方形仓库的两条邻边的长分别是9米和10米 【解析】 【分析】设垂直于墙的边的长为米，平行于墙的边的长为米，则米，由题意可得，铁栅栏的总长为米，且门宽为米，通道宽为米，表示出，再结合长方形仓库的面积列出关于的一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】解：设垂直于墙的边的长为米，平行于墙的边的长为米，则米， 由题意可得，铁栅栏的总长为米，且门宽为米，通道宽为米， ∴， 整理得， ∵某建筑工程队在一堵墙边上用21米长的铁栅栏围成一个面积为90平方米的长方形仓库 ∴， ∴， ∴， 解得，， 当时，，故不符合题意， 当时，，符合题意； ∴所围成长方形仓库的两条邻边的长分别是9米和10米． 23. 【感知】（1）如图①，点、、、均在上，点在外，点、、三点共线，，则为______度； 【理解】（2）如图②，是四边形的外接圆，连接、，点在上，，若延长到点，使，连接，请探究线段，，之间的数量关系； 【应用】（3）如图③，是的直径，点、在上，点是弧的中点，点为圆周上一动点，若，，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据圆内接四边形的对角互补，即可求解； （2）根据圆内接四边形的对角互补可得，推出，证明，得到，，推出，根据勾股定理得到，结合，，，即可求解； （3）分两种情况讨论：当点与点分别在直径的异侧时，当点与点分别在直径的同侧时，分别求得即可． 【详解】解：（1）点、、、均在上，， ， ， 点、、三点共线， ， 故答案为：； （2）是四边形的外接圆， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ，， 点在上， ，即， ，即， ， ，，， ， 线段，，之间的数量关系为； （3）当点与点分别在直径的异侧时，如图，连接，，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴； 当点与点分别在直径的同侧时，如图，连接，，，过点作交的延长线于点， 是的直径， ， 点是弧的中点， ， ， ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在和中 ∴， ∴， ∴， ∴ 综上所述：或． 【点睛】本题主要考查了圆内接四边形的综合题，圆内接四边形的性质，圆周角定理，旋转的性质，等腰直角三角形的判定，勾股定理，全等三角形的判定与性质，理解题意并学会运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $