精品解析：江苏徐州市东苑中学2026-2027学年上学期九年级数学第一次学情自测试卷

九年级学情调研数学 （满分140，时间90分钟） 一、单选题（每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题目要求） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，即反比例函数中，为定值依此判断即可． 【详解】解：反比例函数中，， A、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； B、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意； C、，∴此点在反比例函数的图象上，故本选项符合题意； D、，∴此点不在反比例函数的图象上，故本选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一般地，形如（为常数，）的函数称为反比例函数．根据反比例函数的概念逐项判断即可． 【详解】解：A、分母为，不是反比例函数； B、分母为，不是反比例函数； C、符合反比例函数定义，是反比例函数； D、分母是常量，不是反比例函数． 3. 若是方程的解，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据方程的解的定义，将已知的解代入原方程，即可计算出的值． 【详解】解：∵是方程的解， ∴ 将代入原方程得 计算得． 4. 用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】按照配方法的步骤，先移项，再配方，将方程左边化为完全平方式，即可得到变形结果． 【详解】解：∵， ∴移项得：， 方程两边同时加上一次项系数一半的平方，得： ， 整理得：． 5. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用增长率问题的基本关系，即初始投入乘以平均年增长率的年数次方等于最终投入，即可得到正确方程. 【详解】解：∵设研发投入的平均年增长率为，2023年研发投入为亿元，从2023年到2025年共经过年， ∴2024年研发投入为亿元， 2025年研发投入为亿元， 又∵2025年研发投入为亿元， ∴列方程得. 6. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得． 7. 已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵，当时，， ∴， 解得， ∴与的函数关系式为． 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据k的正负性，分别判断反比例函数图象所在的象限以及一次函数图象经过的象限，从而确定正确选项．  【详解】解：当  时，， ∴反比例函数的图象在第一、三象限， 一次函数的图象经过第一、三、四象限，选项B符合题意； 当 时，， ∴反比例函数的图象在第二、四象限， 一次函数的图象经过第一、二、四象限， 选项A、C、D均不符合题意． 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 已知点在反比例函数的图象上，则_________ 【答案】## 【解析】 【分析】把点的坐标代入函数关系式即可求解． 【详解】解：点在反比例函数的图象上， ． 10. 已知，是方程的两个根，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根与系数的关系求出、，整体代入代数式求值． 【详解】解：，是方程的两个根， 则，， 故． 11. 已知是关于的方程的一个根，则________． 【答案】 【解析】 【分析】把代入方程中求得的值，再将所求代数式变形并整体代入即可求解． 【详解】解：∵是关于的方程的一个根， ∴，即， ∴． 12. 一个等腰三角形的两条边长分别是的两根，则该等腰三角形的周长是______ 【答案】 【解析】 【分析】先求解一元二次方程，再根据等腰三角形的定义及三角形三边关系作答即可． 【详解】解：解得，， 若等腰三角形的腰长为3，底边长为6： 此时，不满足“三角形任意两边之和大于第三边”，无法构成三角形，舍去该情况； 若等腰三角形的腰长为6，底边长为3： 此时，符合三边关系，可以构成三角形，周长为． 13. 已知点都在反比例函数的图像上，则 ____________．（填“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了比较反比例函数函数值的大小；分别求出，的值，比较即可． 【详解】解：当时，；当时，； 则； 故答案为：． 14. 如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 【答案】50 【解析】 【分析】本题考查了图象与点的关系，代入解析式，计算判断即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴反比例函数， 当时， 故． 15. 如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，设与轴交于点，将面积转化为的面积，然后结合反比例函数系数的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接，，设与轴交于点， 轴， ，轴， 点A，B分别为反比例函数与图象上的点， ，， ． 16. 如图，在中，，，，点P从点C开始沿射线方向以的速度运动；同时点Q也从点C开始沿射线方向以的速度运动． _________秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为． 【答案】或 【解析】 【分析】先根据动点速度设运动时间为，得出、，依据点、所在线段位置划分为、、三种情况，每种情况结合图形形状选用对应割补法列出四边形面积方程求解，求出解后验证数值是否落在对应取值范围内，舍去取值范围内不符的解，即可得出所有符合条件的时间． 【详解】解：设运动时间为，由题意得，， 当点在线段上时，； 当点在线段上时，； 故分三种情况讨论： ①当时，如图， ， ∵， ∴， 解得 或（不合题意，舍去）； ②当时，如图， ， ∵， ∴， 解得； ③当时，如图， ， ∵， ∴， 解得（，不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）； 综上所述， 或秒后以、、、为顶点的四边形的面积为． 三、解答题． 17. 解方程： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ， ∴； 【小问2详解】 解： ∴或 ． 18. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【小问1详解】 解：， ，，， ， ，； 【小问2详解】 解：， 或， ， 19. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取何值，方程总有实数根． 【答案】证明：∵方程 中：，，， ∴， ∴无论m取何值，方程总有实数根． 【解析】 【详解】略． 20. 一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度y（吨/天）随卸货天数t（天）的变化而变化．已知y与t是反比例函数关系，图像如图所示． （1）求y与t之间的函数表达式； （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过6天卸载完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？ 【答案】（1） （2）40 【解析】 【分析】（1）直接利用待定系数法确定函数关系式，进而得出答案； （2）直接利用（1）中函数解析式，将t=6代入，进而得出答案． 【小问1详解】 解：设y与t之间的函数表达式为， 把点（2，120）代入得： ，解得：k=240， ∴y与t之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：当t=6时，， ∵k=240＞0， ∴y随t的增大而减小， ∴当时，， 答：平均每天至少要卸货40吨． 【点睛】此题主要考查了反比例函数的应用，正确求出反比例函数解析式是解题的关键． 21. 某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． （1）用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． （2）若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 【答案】（1） （2）该商品的售价为20元 【解析】 【分析】（1）根据题意列式即可； （2）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得，该商品每日的销售量为； 【小问2详解】 解：根据题意可得，， 解得，（舍去）． 答：该商品的售价为20元． 22. 已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； （2）求当，且时，自变量的取值范围． 【答案】（1）， 补充其函数图象如下： （2）或 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求反比例函数关系式，利用图象及反比例函数性质解不等式，掌握解法是解题的关键． （1）把点代入，即可求出，再根据表达式补全图象，即可求解； （2）根据图象即可求解． 【小问1详解】 解：把点代入得， 解得：， ∴反比例函数的表达式为 【小问2详解】 解：当时，， 由图象得当时，， 当时，， 当，且时，或． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）先将点坐标代入一次函数求出纵坐标，得到点完整坐标，再把点坐标代入反比例函数求出值，即可写出反比例函数表达式； （2）先把点坐标代入一次函数求出，得到两个交点坐标，结合函数图象，直接找出一次函数图象位于反比例函数图象上方对应的取值范围； （3）设直线与轴交于点，求出点坐标，设，将面积拆分为与面积之和，列出含绝对值的方程求解，即可得到点坐标． 【小问1详解】 解：把代入，得 ， ∴， 把代入，得 ，解得， ∴反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：把代入，得 ，解得， ∴； 又， 由图可知，的解集为或； 【小问3详解】 解：如图，设直线与轴交于点， 令，则， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 24. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． （1）【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． （2）【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 （3）【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 【答案】（1） 描点、连线画出函数图象如图所示： （2）①左，1；②B （3）①右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； ② 【解析】 【分析】（1）列表，描点、连线画出函数的图象即可； （2）结合图象填空即可； （3）根据发现的规律填空即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①函数的图象可以看作是由函数的图象向左平移1个单位长度， ②上述探究方法运用的数学思想是类比思想． 故答案为：左，1；B 【小问3详解】 ①函数的图象可以看作是由函数的图象向右平移2个单位长度； 向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）而得到； ②根据平移的性质，函数图象的对称中心的坐标为． 故答案为：右平移2个单位长度；向下平移1个单位长度（向下平移1个单位长度；向右平移2个单位长度）； 【点睛】本题考查了反比例函数的图象，一次函数的图象，正比例函数图象，一次函数图象与几何变换，数形结合是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级学情调研数学 （满分140，时间90分钟） 一、单选题（每小题3分，共24分，每小题只有一个选项是符合题目要求） 1. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 2. 下列函数是y关于x的反比例函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 若是方程的解，则的值是（ ） A. B. 3 C. D. 1 4. 用配方法解方程 ，变形后的结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 为突破半导体技术壁垒、建设科技强国，某国产芯片企业持续加大自主研发投入．该企业2023年研发投入30亿元，2025年研发投入达到45亿元，那么这两年研发投入的平均年增长率为多少？设研发投入的平均年增长率为x，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于x的方程有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知某物体的质量与其体积成反比例关系，即，当体积是时，质量为．则与的函数关系式是（ ） A. B. C. D. 8. 在同一直角坐标系中，函数与的图象可能是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题有8小题，每小题4分，共32分） 9. 已知点在反比例函数的图象上，则_________ 10. 已知，是方程的两个根，则__________． 11. 已知是关于的方程的一个根，则________． 12. 一个等腰三角形的两条边长分别是的两根，则该等腰三角形的周长是______ 13. 已知点都在反比例函数的图像上，则 ____________．（填“”或“”） 14. 如图，在压力不变的情况下，某物体承受的压强（单位：）与它的受力面积（单位：）成反比例函数关系．当时，则压强__________． 15. 如图，点A，B分别为反比例函数与图象上的点，轴，点P在x轴上，连接、，则的面积为______． 16. 如图，在中，，，，点P从点C开始沿射线方向以的速度运动；同时点Q也从点C开始沿射线方向以的速度运动． _________秒后以A、B、P、Q为顶点的四边形的面积为． 三、解答题． 17. 解方程： （1） （2） 18. 解方程： （1） （2） 19. 已知关于x的一元二次方程．求证：无论m取何值，方程总有实数根． 20. 一艘载满货物的轮船到达目的地后开始卸货，平均卸货速度y（吨/天）随卸货天数t（天）的变化而变化．已知y与t是反比例函数关系，图像如图所示． （1）求y与t之间的函数表达式； （2）由于遇到紧急情况，要求船上的货物不超过6天卸载完毕，那么平均每天至少要卸货多少吨？ 21. 某网店销售一种成本为12元/件的小商品，通过市场调研发现，当售价定为15元/件时，日均销售量为90件，售价每上涨1元，日均销售量减少2件．设该商品的售价定为x元/件． （1）用含x的式子表示出该商品每日的销售量：________． （2）若规定该商品的售价不得高于30元/件，且网店计划每日销售该商品的利润为640元，求该商品的售价． 22. 已知：反比例函数的图象的一支如图所示，它经过点． （1）求这个反比例函数的表达式，并补画该函数图象的另一支； （2）求当，且时，自变量的取值范围． 23. 如图，一次函数与反比例函数的图象相交于点、． （1）求反比例函数的表达式； （2）请直接写出关于的不等式的解集； （3）若点是轴上的一点，的面积是，求点的坐标． 24. 在同一平面直角坐标系中，函数的图象可以由函数的图象平移得到．依此想法，数学小组对反比例函数图象的平移进行探究． （1）【动手操作】 列表： 1 2 3 4 5 2 1 0 1 2 3 4 2 1 描点连线：在已画出函数的图象的坐标系中画出函数的图象． （2）【探究发现】 ①将反比例函数的图象向___________平移___________个单位长度得到函数的图象． ②上述探究方法运用的数学思想是（　　） 整体思想 B．类比思想 C．分类讨论思想 （3）【应用延伸】 ①将反比例函数的图象先___________，再___________得到函数的图象． ②函数图象的对称中心的坐标为___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $