第二十七章 反比例函数 专题训练·双曲线与抛物线：代几综合 2026--2027学年人教版九年级数学上册

九年级数学人教版上学期第二十七章反比例函数专题训练 双曲线与抛物线：代几综合 双曲线与抛物线的代几综合问题，以二次函数与反比例函数的交点为基础，融合平面几何中的三角形、四边形等基本图形，考查面积最值、特殊图形存在性及图象变换． 解题的核心方法包括坐标法、铅垂高水平宽分割法以及分类讨论．对于面积问题，常通过设抛物线上动点坐标，用铅垂线段长建立面积关于动点横坐标的二次函数关系式，利用配方法求最值；对于等腰三角形、直角三角形或平行四边形存在性问题，依据勾股定理或边角对边平行等几何性质建立方程并分类讨论求解． 本专题包含：交点与解析式确定、三角形面积最大值、特殊三角形存在性、抛物线平移与翻折对交点的影响、参数范围与交点个数、多条件联动的综合开放探究，着力培养逻辑推理与综合运算素养． 专题1　交点与函数解析式的确定 1．【2025南京中考真题改编·交点求法】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 和点 ． （1）求 的值； （2）求 、 的值； （3）求两个图象的第三个交点 的坐标． 2．【教材改编·人教九上第二十二章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 和点 ． （1）求 、 的值； （2）求两个图象的第三个交点 的坐标； （3）求 的面积． 3．【2025北京期末·三角形面积】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 ． （1）求 的值（双曲线解析式为 ）； （2）求另外两个交点 、 的坐标； （3）求 的面积． 4．【教材改编·华东师大九下第26章】如图，双曲线 经过点 ，抛物线 的顶点恰为点 ． （1）求 的值； （2）求 、 的值； （3）求抛物线与双曲线所有交点的坐标． 专题2　面积的最大值与最值探究 5．【2025武汉中考模拟·面积最值】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、．点 是抛物线上位于 、 之间（不含端点）的一个动点． （1）设点 的坐标为 ，写出 的取值范围； （2）求 面积的最大值； （3）求此时点 的坐标． 6．【教材改编·北师大九下第二章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、．点 是抛物线上位于 、 之间（不含端点）的动点． （1）写出点 横坐标 的取值范围； （2）求 面积的最大值； （3）求此时点 的坐标． 7．【2025苏州期末·铅垂高最值】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、．点 是抛物线上位于 、 之间（不含端点）的动点． （1）写出点 横坐标 的取值范围； （2）求 面积的最大值； （3）判断该最大值是否为定值，与抛物线的形状有何关系． 8．【教材改编·人教九上第二十七章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、．点 是抛物线上位于 、 之间（不含端点）的动点． （1）写出点 横坐标 的取值范围； （2）求 面积的最大值； （3）求此时点 的坐标． 专题3　特殊图形的存在性探究 9．【2025成都中考类题·面积存在性】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、． （1）求直线 的解析式； （2）在抛物线上是否存在点 ，使 的面积等于 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）若点 的横坐标为 ，判断点 是否在直线 的下方． 10．【教材改编·沪科版九年级下册】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、． （1）求直线 的解析式； （2）在抛物线上是否存在点 ，使 的面积等于 ？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）判断（2）中所求的点 是否都在双曲线的同一支上． 11．【2025杭州期中·等腰三角形存在性】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、． （1）求线段 的长度； （2）在 轴上是否存在点 ，使 为等腰三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）判断（2）中所求的点 中，哪一个到 、 两点的距离之和最小． 12．【原创·直角三角形分类讨论】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、． （1）求线段 的长度； （2）在 轴上是否存在点 ，使 为直角三角形？若存在，求出点 的坐标；若不存在，请说明理由． （3）判断 能否为等边三角形，并说明理由． 专题4　抛物线的平移与翻折 13．【2025合肥中考类题·平移与交点】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 ． （1）求 的值； （2）求抛物线的顶点坐标，并判断该顶点是否在双曲线上； （3）把抛物线向下平移 个单位长度，判断新抛物线与双曲线的交点个数． 14．【教材改编·浙教版九年级上册】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）把抛物线沿 轴翻折，写出新抛物线的解析式； （3）判断新抛物线与双曲线的交点个数． 15．【2025长沙期末·轴对称变换】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求抛物线的顶点坐标； （2）把抛物线向上平移 个单位长度，写出新抛物线的解析式； （3）判断新抛物线与双曲线的交点个数． 16．【教材改编·人教九上第二十二章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求直线 的解析式； （2）把抛物线向下平移 个单位长度，写出新抛物线的解析式； （3）判断新抛物线与双曲线的交点个数． 专题5　参数范围与交点个数 17．【2025济南中考类题·水平线交点】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求 的值； （2）若直线 与抛物线交于两点，且这两点的横坐标之积为 ，求 的值； （3）判断直线 与双曲线是否有公共点． 18．【教材改编·华东师大九下第26章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求 的值； （2）若直线 与抛物线交于 、 两点，且 ，求 的值； （3）判断此时点 、 是否都在双曲线下方． 19．【2025广州期末·面积相等探究】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求 的面积； （2）若点 在抛物线上，且 ，求点 的横坐标； （3）判断（2）中所求的点 是否都在双曲线上． 20．【原创·公共点个数与参数范围】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求 的面积； （2）若直线 与双曲线恰有一个公共点，与抛物线有两个公共点，求 的取值范围； （3）在（2）的条件下，判断直线 与 的边是否有公共点． 专题6　多条件联动的综合开放探究 21．【2025郑州中考类题·交点总数最值】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求 的面积； （2）在抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，求点 的横坐标； （3）探究：是否存在过原点的直线，使它与此抛物线和双曲线的交点总数达到最多？说明理由． 22．【教材改编·北师大九下第二章】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求 的面积（ 为坐标原点）； （2）在双曲线上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的坐标； （3）比较 与 的大小． 23．【2025西安期末·直角三角形验证】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求 的面积； （2）若点 在 轴上，且 为等腰三角形，求点 的坐标； （3）判断 的形状，并说明理由． 24．【原创·代几综合开放探究】如图，抛物线 与双曲线 的图象交于点 、、． （1）求 的面积； （2）判断 的形状，并说明理由； （3）在抛物线上是否存在点 ，使 ？若存在，求出点 的横坐标；若不存在，请说明理由． 参考答案 1．解：（1） 点 在双曲线 上，． 验证：点 满足 ， 点 也在该双曲线上． （2） 点 、 都在抛物线 上， 两式相减得 ，． 把 代入 得 ，． （3）此时抛物线为 ，双曲线为 ． 联立得 ，两边同乘 （）得 ． 分组分解得 ， 或 或 ． 当 时，， 第三个交点为 ． 2．解：（1） 点 、 都在抛物线 上， 两式相减得 ，． 把 代入 得 ，． （2）此时抛物线为 ，与 联立得 ． 分组分解得 ， 或 或 ． 当 时，， 第三个交点为 ． （3）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交直线 于点 ，则 ． ． ，且 ， ． 3．解：（1） 点 在双曲线 上，． （2）联立 ，两边同乘 （）得 ． 分组分解得 ， 或 或 ． 当 时，，； 当 时，，． （3）直线 过 、，其斜率对应解析式为 ． 过点 作铅垂线交 于点 ，则 ． ． 4．解：（1） 双曲线 经过点 ，． （2） 抛物线的顶点为 ， ，即 ． 把 ， 代入 得 ，． （3）此时抛物线为 ，双曲线为 ． 联立得 ，分组分解得 ， 或 或 ． 当 时，；当 时，；当 时，． 三个交点的坐标分别为 、、． 5．解：（1） 点 位于 、 之间且不与端点重合， 的取值范围为 ． （2）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交直线 于点 ，则点 的坐标为 ． ． ，且 ， ． 配方得 ． ， 当 时， 取得最大值 ． 的最大值为 ． （3）当 时，， 点 的坐标为 ． 6．解：（1） 点 位于 、 之间的抛物线上， 的取值范围为 ． （2）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交 于点 ，则 ． ． ，且 ， ． ， 当 时， 取得最大值 ． （3）当 时，， 点 的坐标为 ． 7．解：（1） 点 位于 、 之间的抛物线上， 的取值范围为 ． （2）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交 于点 ，则 ． ． ，且 ， ． ， 当 时， 取得最大值 ， 此时点 的坐标为 ． （3）该最大值只与线段 的水平跨度和抛物线的二次项系数有关， 本题中线段 的水平跨度为 ，二次项系数为 ， 最大值为 ，是一个确定的数值， 它不随抛物线上动点的具体位置变化，只由线段 与抛物线本身决定． 8．解：（1） 点 位于 、 之间的抛物线上， 的取值范围为 ． （2）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交 于点 ，则 ． ． ，且 ， ． 配方得 ． ， 当 时， 取得最大值 ． （3）当 时，， 点 的坐标为 ． 9．解：（1）设直线 的解析式为 ． 把 、 代入得 解得 ，， 直线 的解析式为 ． （2）存在．设点 的坐标为 ， 过点 作铅垂线交直线 于点 ， 则 ． ， 令 ，得 ． 当 时，，，无实数根； 当 时，，解得 或 ． 当 时，，； 当 时，，． （3）当 时，抛物线上点的纵坐标为 ，直线 上对应点的纵坐标为 ． ， 点 在直线 的上方． 10．解：（1）设直线 的解析式为 ． 把 、 代入得 解得 ，， 直线 的解析式为 ． （2）存在．设点 ，过点 作铅垂线交 于点 ， 则 ． ， 令 ． 当 时，，，无实数根； 当 时，，解得 或 ． 当 时，； 当 时，． ，． （3） 且 ， 这两个点的横坐标均为正，它们都在双曲线 的第四象限分支所在的同一区域内， 但 、 均在抛物线上，不一定在双曲线上，需分别验证： 当 时，双曲线上对应纵坐标为 ， 与 不相等， 点 不在双曲线上；同理 也不在双曲线上． 11．解：（1）． （2）存在．设点 的坐标为 ． ，． 情形一：． ，展开得 ， ，解得 ，此时 ． 情形二：． ，即 ，无实数根，此情形不成立． 情形三：． ，即 ，解得 或 ， 此时 ，． 满足条件的点 有三个：、、． （3）点 到 、 两点的距离之和为 ； 点 的距离之和为 ； 点 的距离之和同为 ． ，，， 点 、 到 、 两点的距离之和最小． 12．解：（1）． （2）存在．设点 的坐标为 ． ，，． 情形一：．由勾股定理的逆定理得 ， ，展开得 ， ，解得 ，此时 ． 检验：，，，成立． 情形二：．同理得 ， ，展开得 ， ，解得 ，此时 ． 检验：，，，成立． 情形三：．同理得 ， ，整理得 ，即 ， ， 无实数根，此情形不成立． 满足条件的点 有两个：、． （3）不能．理由如下：若 为等边三角形，则 ， 但由（2）知满足 的点 不存在（ 无实根）， 且 与 轴不垂直，无法构造出等边三角形， 不能为等边三角形． 13．解：（1） 点 在双曲线 上，． （2）抛物线 的顶点横坐标为 ，纵坐标为 ， 顶点坐标为 ，恰为点 ． 点 在双曲线上， 抛物线的顶点在双曲线上． （3）平移后新抛物线为 ． 联立 ，两边同乘 （）得 ． 设 ，则 ，， 在 内有一根； ，， 在 内有一根； ，， 在 内有一根． 新抛物线与双曲线有 个交点． 14．解：（1）抛物线 的顶点横坐标为 ， 纵坐标为 ， 顶点坐标为 ． （2）把抛物线沿 轴翻折，即把解析式中的 换成 ， 新抛物线的解析式为 ． （3）联立 ，两边同乘 （）得 ． 设 ，则 ，， 在 内有一根； ，，，，均大于零． 的两根约为 与 ， 在这两点处 的取值分别为 与 ，均为正数， 其余区间内无实根． 新抛物线与双曲线只有 个交点． 15．解：（1）抛物线 的顶点横坐标为 ，纵坐标为 ， 顶点坐标为 ． （2）平移后新抛物线为 ． （3）联立 ，两边同乘 （）得 ． 设 ，则 ． ， 恒成立， 在实数范围内单调递增，其图象与 轴至多有一个交点． 又 ，， 在 内有且只有一个实数根． 新抛物线与双曲线只有 个交点． 16．解：（1）设直线 的解析式为 ． 把 、 代入得 解得 ，， 直线 的解析式为 ． （2）平移后新抛物线为 ． （3）联立 ，两边同乘 （）得 ． 设 ，则 ，， 在 内有一根； ，， 在 内有一根； ，， 在 内有一根． 新抛物线与双曲线有 个交点． 17．解：（1） 点 在双曲线 上，． （2）设直线 与抛物线两交点的横坐标为 、， 它们是方程 即 的两根． 由根与系数的关系得 ． ，，解得 ． 检验：， 直线与抛物线确有两个交点． （3）直线 与双曲线 的公共点满足 ，解得 ， 直线 与双曲线有且只有一个公共点 ． 18．解：（1） 点 在双曲线 上，． （2）设 、 两点的横坐标为 、， 它们是方程 即 的两根． 由根与系数的关系得 ，． ． ，，解得 ． 检验：， 直线与抛物线确有两个交点． （3） 时，方程 的两根为 ，， 点 ，． 当 时，双曲线上的纵坐标为 ；， 点 在双曲线下方； 当 时，双曲线上的纵坐标为 ；， 点 恰在双曲线上． 点 在双曲线下方，点 在双曲线上． 19．解：（1）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交 于点 ，则 ． ． （2）设点 的坐标为 ， 过点 作铅垂线交直线 于点 ， 则 ． ， 令 ． 当 时，，解得 或 ； 当 时，，，无实数根． 点 的横坐标为 或 ． （3）当 时，抛物线上点的纵坐标为 ，与点 重合， 而点 恰在双曲线 上（）， 该点在双曲线上； 当 时，纵坐标为 ，双曲线在 处的纵坐标为 ， ， 该点不在双曲线上． 所求点中只有横坐标为 的点在双曲线上． 20．解：（1）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交 于点 ，则 ． ． （2）直线 与双曲线 恰有一个公共点， 对任意 ，方程 都有唯一解 ， 只需 ． 直线 与抛物线有两个公共点，即方程 有两个不相等的实根， ，解得 ． 的取值范围为 且 ． （3）当 时，直线 位于 轴下方且高于 ， 点 、 的纵坐标分别为 与 ， 此时直线与边 有公共点； 当 时，直线位于 轴上方，与边 有公共点（点 的纵坐标为 ）． 在（2）的条件下，直线 与 的边总有公共点． 21．解：（1）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交 于点 ，则 ． ． （2）设点 的坐标为 ，过点 作铅垂线交 于点 ， 则 ． ， 令 ． 当 时，，解得 或 ； 当 时，，，无实数根． 点 的横坐标为 或 （其中 时点 与点 重合）． （3）存在．设过原点的直线为 （）． 它与双曲线 的公共点个数由方程 即 决定， 当 时 ，方程有两个不相等的实根， 有 个公共点； 它与抛物线 的公共点个数由方程 决定， 即 ， 恒成立， 有 个公共点． 当 时，直线与两图象的公共点总数为 个，达到最多， 存在这样的直线，例如 ． 22．解：（1）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交 于点 ，则 ． ． （2）存在．设点 的坐标为 （）， 过点 作铅垂线交直线 于点 ， 则 ． ， 令 ，得 ． 当 时，，即 ，解得 或 ； 当 时，，解得 或 （舍去）． 时，； 时，； 时，，即点 ． ，，． （3）由第 20 题结论知 ， ，． 23．解：（1）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交 于点 ，则 ． ． （2）． 设点 的坐标为 ，则 ，． 情形一：，即 ，，解得 ，． 情形二：，即 ，，解得 或 ； 情形三：，即 ，，解得 或 ． 满足条件的点 有五个：、、、、． （3） 是以 为直角的直角三角形．理由如下： ；； ． ， 由勾股定理的逆定理知 ，即 为直角三角形． 24．解：（1）直线 过 、，其解析式为 ． 过点 作铅垂线交 于点 ，则 ． ． （2） 是以 为直角的直角三角形．理由如下： ；； ． ， 由勾股定理的逆定理知 ． （3）存在．设点 的坐标为 ， 过点 作铅垂线交直线 于点 ， 则 ． ， 令 ． 当 时，，解得 或 ； 当 时，，无实数根． 点 的横坐标为 或 （其中 时点 与点 重合）． 学科网（北京）股份有限公司 $