专题特训10 反比例函数与几何图形的综合应用-【通成学典】2026-2027学年九年级上册数学拔尖特训(人教版·新教材)

第二十七章反比例函数 专题特训十) 反比例函数与几何图形的综合应用 类型一反比例函数与三角形 1,如图，一次函数y=2x与反比例函数y=2的图象相交于A,B两点，以AB为边作等边三角形 ABC.若反比例函数y=的图象过点C,则k的值为 (第1题) (第2题) 2,如图，若双曲线y=在第一象限的一支与边长为6的等边三角形AOB的边OA,AB分别相交 于C,D两点，且OC=3BD,则实数k的值为 3.[2025苏州中考]如图，一次函数y=2x+4的图象与x轴、y轴分别交于A,B两点，与函数y= (k≠0，r>0)的图象交于点C,过点B作工轴的平行线，与函数y=(k≠0，x>0)的图象交 于点D,连接CD (1)求A,B两点的坐标. (2)若△BCD是以BD为底边的等腰三角形，求k的值. (第3题) 4.[2025湄博中考]如图，函数y=6(x<0)和y-12(x>0)的图象分别与直线y=红十b依次 相交于A(m,1),B,C(3,n)三点 (1)求出直线AC对应的函数解析式， (2)分别以点A,C为圆心，以大于)AC的长度为半径作弧，两弧相交于点E和点F,直线EF 交y轴于点D,连接AD,CD.试判断△ACD的形状，并说明理由. (3)请直接写出关于x的不等式kx十b<二6的解集， (第4题) 59 拔尖特训·数学（人教版）九年级上 类型二反比例函数与特殊平行四边形 5.如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A,D分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，函 数y=(k>0,x>≥0)的图象经过矩形对角线的交点E.若点A(2,0),D0,4),则的值为 () A.16 B.20 C.32 D.40 y DA D' A O C i BO CB'C'x (第5题) (第6题) (第7题) (第8题) 6如图，在平面直角坐标系Oy中，四边形OABC是矩形，A(6,0),SE0=24,双曲线y=与 AB,BC交于点D,E,连接DE,DC.当△DCE的面积最大时，k的值为 () A.15 B.12 C.9 D.3 7.如图，在矩形OABC和正方形CDEF中，点A在y轴的正半轴上，点C,F均在x轴的正半轴 上，点D在边BC上，BC=2CD,AB=3.若点B,E在同一个反比例函数的图象上，则这个反比 例函数的解析式为 8.如图，在平面直角坐标系xOy中，菱形ABCD的顶点A,C的坐标分别为(0,2√3)，(2,0)，顶点 B在x轴的负半轴上，顶点D在反比例函数y=《的图象上，向右平移菱形ABCD,对应得到菱 形A'BCD',当这个反比例函数图象经过CD'的中点E时，点E的坐标是 9.如图，M是四边形ABCD对角线的交点，AC⊥x轴于点C,BD⊥y轴于点B.反比例函数C1: y—兰位于第一象限的图象经过点M,M是AC的中点 (1)求经过点A的反比例函数C2的解析式. (2)若点D恰好也在反比例函数C2的图象上，求证：四边形ABCD是菱形 C2 (第9题) 60 “答案与解析”见P36直线AB对应的函数解析式为y=ax十b,三=am十b. 7m 3 :.b=m 一am..直线AB对应的函数解析式为y=ax十 3 一am.:BC=2AC,点A的横坐标为m,∴点B的横 坐标为-2m.把x=一2m代入y=ax十3-am,得y 77 m=，解得am=子：一2m(-3am+品）=， .6am2-6=k.∴.k=-4. 6.<S<2把点B(3,1)分别代入y=-x+b和y ,得b=4,k=3,“一次函数的解析式为y=一x十4，反 比例函数的解析式为y=三：P是线段AB上一点， 设P,-n+4.把点A(m,3)代人y=三，得m=1, 1≤n≤3.S=2OD·PD=·n(-n+4) -号m2-4n)=-20m-2+2.”-号<0，且1<n≤ 3,∴·当n=2时，S有最大值，且最大值是2；当n=1或 m一3时，S有最小值，且最小值是号“S的取值范围是 是<52 7①把A(-3m)代人y=-号x,得m=2A(-3, 2》.”点A在反比例函数y=冬≠0)的图象上， 一3×2=一6.(2)由题意，易得点B的坐标为(3，一2)， ∴.OA=OB.连接BE.:CDAB,.S△oR=2S△AC= 号×12=6.20E·2g=60E=4E0,0.根据 平移可设直线CD对应的函数解析式为y三一。x十6.将 E(0,4)代人，得b=4..直线CD对应的函数解析式为 y=-号x+4 8.(1)由题意，得k1=一6×1=一6，∴.反比例函数的解 析式为y=-6.6=一6，解得a=-1.点A的坐 标为（一1,6）.：一次函数的图象经过A(一1,6)，B(一6， -k2+b=6, 1)两点，. 解得 -6k2+b=1,” ,=1·、一次函数的解 b=7. 析式为y=x+7.(2)-6≤x≤-1.(3)点C的横 坐标为-4，代人y=x+7,得y=一4十7=3，∴.C(-4, 3将y=3代人y=9得=-2D(-2,3过点 B,D分别作x轴的垂线，垂足分别为F,E.B(一6,1)， D(-2,3),∴.DE=3,BF=1,EF=一2一（一6）=4. :S△D十S△Po=S棉无FED十S△D0,S△m0=S△DP0=3, &SAm=S#=号(DE+BF)·EF=子X(3+ 1)×4=8. 专题特训十反比例函数与几何图形的 综合应用 y=2x, x=1, 1.一6由题意，建立方程组。2解得 或 y= x y=2 =-1:A1,2,B(-1,-2.点A,B关于原点对 y=-2. 称.∴.AB的垂直平分线OC经过原点.：直线AB对应的 函数解析式为y=2x,∴·.易得直线OC对应的函数解析式 为y=寸.可设C(e,2)小.：△AB0为等边三 1 角形，AC=AB.“a-1D+(-7a-2- √(1+1)2+(2十2)2.∴.a=±23..点C的坐标为 (2B,一)或(-233).将点C的坐标代入y=冬，得 k=一6 2 :过点C作CELx轴于点E,过点D作DF⊥ x轴于点F.设BD=m,则OC=3m.,'△AOB是等边三 角形，.在Rt△OCE中，∠COE=60°.∴.易得OE= 2m,CE=33 3 2m六点C的坐标为（号m,35nm. 2m,2m小在 Rt△BDF中，BD=m,∠DBF=60°，则BF= 2m,DF= 受m点D的坐标为(6-m号).：双曲线y 过cD同点m…9a=6-), 2n,解 得m=号m-0舍去.C(号9）6 25 3.(1)在y=2x十4中，令y=0,得x=一2，.点A的坐 标为（一2,0）.在y=2x十4中，令x=0,得y=4,∴.点B 的坐标为(0,4).(2)过点C作CE⊥BD,垂足为E. ,△BCD是以BD为底边的等腰三角形，∴.CB=CD. CELBD,BE=DE.在y=中，令y=4,得x 冬D(午4小.BE=DE=令在y=兰中，令x 冬得y=8C(答8：点C在一次西数y=2x十4 的图象上8=2×冬+4，解得=16.6的值为16。 4.(1)把A(m,1)代人y=6(x<0),得m=-6,.点 A的坐标为(-6,1).把C(3,n)代人y=12(x>0),得n 4,.点C的坐标为(3,4).把A(-6,1),C(3,4)代人y= 1 一6k+b=1, k= kx十b,得 解得 3’.直线AC对应的 3k+b=4, b=3. 函数解析式为y一了r十3(2)△A(D是等腰直角三角 形.理由：由作图，可得DA=DC,即DA2=DC2.设点D 的坐标为(0，d),则62+(1一d)2=32+(4-d)2,解得d= -2,∴.DA2=DC2=62+(1+2)2=45,AC=(3+6)2+ (4-1)2=90.∴.DA2+DC2=AC.∴.△DAC是等腰直 角三角形.（(3)令号十3=一解得，=-6 -3,由图象可得关于x的不等式x十b<的解集为 x<一6或一3x0. 5.B:BD∥x轴，D(0,4),∴.B,D两点纵坐标相同，都 为4.∴.可设B(t,4).:矩形ABCD的对角线的交点为 E,E为BD中点，∠DAB=90.÷E(,4). ∠DAB=90°，.AD2+AB2=BD2.A(2,0),D(0, 4),B(t,4),∴.2+42+(t-2)2+4=t,解得t=10. E(5,4.函数y=(k>0,x>0)的图象经过点E, ∴.k=5×4=20. 6.B四边形OABC是矩形，A(6,0),SE0Ax=24, B6,.D(6,合)E(年4CE=冬，BD 4合：Sam=2CEBD.Sam=×合 (4-会)=-8k-12+3.:-6<0当6=12 1 时，S△x有最大值 3 7.y=18四边形OABC是矩形，OC=AB=3. ,四边形CDEF是正方形，∴.CD=CF=EF.BC= 2CD,∴.设CD=m,则BC=2m.∴.B(3,2m),E(3十m, m.设反比例函数的解析式为y一会3X2m=(3十 m)m,解得m=3或m=0(不合题意，舍去)..B(3,6). “k=3×6=18,这个反比例函数的解析式为y8 8.(8,W3)设菱形的边长为a,则AB=BC=AD=a. A(0,25),C(2,0),.OA=23,OB=a-2. :AB2=OB2+OA2,∴.a2=(a-2)2+(23)2,解得a= 4.∴AD=4.∴.D(4,23.顶点D在反比例函数y= 兰的图象上-4X2后-85y8E是 CD'的中点，∴.点E的纵坐标为3.把y=√3代入y= 8得=8点E的坐标是(65。 9.(1)设点M的坐标为(a,b).,'点M在反比例函数y= 号的图象上o山-2.：ACL:拍，M是AC的中点， ∴.点A的坐标为(a,2b).设经过点A的反比例函数C2的 解析式为y=左把Aa,26)代人，得26-产，即=2ab. a 又ab=2,∴.k=4..反比例函数C2的解析式为y= .(2)设点M的坐标为(a,b).BDLy轴，.点D 的纵坐标与点M的纵坐标相同.，点D在反比例函数C2 的图象上，令y=6,得x=各“点D的坐标为 (合b)由(1知Aa,2b)a6=2.即a=号点M的 坐标为（号b)BM=DM=子.“M是AC的中点， ∴.AM=CM..四边形ABCD是平行四边形.·ACL x轴，BD⊥y轴，∴.AC∥y轴，BD∥x轴，即AC⊥BD. ∴.四边形ABCD是菱形 27.3实际问题与反比例函数 第1课时用反比例函数解决乘积型实际问题 1.C根据题意，可知xy的值即为糖水中含固体糖质量. :乙、丁两杯对应的点恰好在同一个反比例函数的图象 上，∴.乙、丁两杯糖水中含固体糖质量相同.：甲杯对应