26.4第1课时最大高度问题和最大面积问题--教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.4 第1课时 最大高度问题和最大面积问题 课题名称 26.4 第1课时 最大高度问题和最大面积问题 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 最大高度问题和最大面积问题 内容解析 《最大高度问题和最大面积问题》是二次函数实际应用的第一课时，主要研究如何利用二次函数的图象和性质解决实际生活中的最值问题。本节课主要内容包括：利用二次函数求实际问题中的最大高度（如抛物线形拱桥、喷水池、投篮等）和最大面积（如用篱笆围矩形、窗户采光等）。 从知识体系来看，本节课是二次函数图象和性质的实际应用，是前面所学知识的综合运用。通过本节课的学习，学生将体会数学建模的过程，提高用数学解决实际问题的能力。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了一次函数、反比例函数等知识的基础上，进一步研究二次函数的图象、性质及其应用。本章的主要内容包括：二次函数的概念、二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的实际应用。二次函数是初中函数体系的重要组成部分，也是中考的重点和难点。 对应课标： ①会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 ②通过实际问题分析数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的重要数学模型。 ③能根据已知条件确定二次函数的表达式。 ④理解二次函数与一元二次方程的关系。 ⑤能利用二次函数解决简单的实际问题。 课时目标 1.能根据实际问题中的条件列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围。（模型观念、运算能力） 2.会利用二次函数的图象和性质求实际问题中的最大值或最小值。（几何直观、运算能力） 3.经历建立二次函数模型解决实际问题的过程，体会数学建模思想，发展应用意识。（模型观念、应用意识） 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能从实际问题中抽象出变量关系，列出二次函数解析式，并注意自变量的取值范围。 达成目标2的标志是：学生能通过配方法或公式法求出顶点坐标，从而得到最大高度或最大面积。 达成目标3的标志是：学生能经历“问题情境—建立模型—求解验证—拓展应用”的数学建模过程。 学情分析 已有的知识、认知水平 九年级学生已经学习了二次函数的图象和性质，掌握了配方法求顶点坐标的方法，具备了一定的数形结合思想基础。学生在前面的学习中已经接触过一些简单的函数应用题，能够从实际问题中抽象出数学模型。但学生在处理实际问题时，往往容易忽略自变量的取值范围，需要教师引导。 困惑点或探索点 学生在列函数解析式时容易找不准变量之间的关系；容易忽略自变量的取值范围，导致求出的最值不符合实际意义；对如何将实际问题转化为数学模型还不够熟练。 教学 重难点 教学重点 利用二次函数解决实际问题中的最大高度和最大面积问题。 教学难点 从实际问题中抽象出二次函数模型，确定自变量的取值范围。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：二次函数在实际生活中有着广泛的应用，如建筑设计、体育运动、经济决策等。掌握利用二次函数求最值的方法，能帮助我们解决很多实际问题。 学什么：最大高度问题（拱桥、喷水池、投篮）、最大面积问题（篱笆围矩形、窗户采光）、建立函数模型的一般步骤。 怎么学：采用“问题情境—建立模型—求解验证—拓展应用”的教学思路。通过两个典型例题（最大高度和最大面积），引导学生经历完整的数学建模过程。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 创设情境 提出问题 创设情境 师：我们已经学习了二次函数的图象和性质，知道二次函数y=ax²+bx+c的图象是一条抛物线，它有最高点或最低点。 师：在实际生活中，很多问题都和抛物线有关。比如： （1）抛物线形拱桥的最高点在哪里？最大高度是多少？ （2）用一段长为40米的篱笆围矩形场地，怎样围面积最大？ 师：这些问题都可以用二次函数的知识来解决。今天我们就来学习如何利用二次函数解决实际问题中的最值问题。 学生能回忆起二次函数的最值与顶点坐标的关系。 学生能想到用二次函数解决实际问题。 通过创设实际问题情境，激发学生的学习兴趣。 让学生初步感受二次函数在实际生活中的应用价值。 概念探究 探究最大高度问题和最大面积问题 探究1：最大高度问题（拱桥问题） 例1：如图，抛物线形拱桥的跨度是20米，拱高是4米。当水面宽10米时，水面拱顶的高度是多少？ 解：以拱桥顶点为原点，建立平面直角坐标系。 设抛物线的解析式为 y = ax²。 因为抛物线过点(10, -4)， 所以 -4 = a × 10²，即 100a = -4， 解得 a = - = -。 所以抛物线的解析式为 y = -。 当水面宽10米时，x = 5， 代入得 y = - = -1。 所以水面拱顶的高度是 4 - 1 = 3米。 答：当水面宽10米时，水面拱顶的高度是3米。 师：这个问题的关键是什么？ 生：建立坐标系，求出抛物线的解析式。 师：对。我们通过建立二次函数模型，求出了拱桥的高度。 （教师展示拱桥示意图。） 探究2：最大面积问题（篱笆围矩形） 例2：用总长为40米的篱笆围成一个矩形场地，怎样围才能使场地面积最大？最大面积是多少？ 解：设矩形的一边长为x米，面积为S平方米。 则另一边长为 = 20 - x 米。 所以 S = x(20 - x) = -x² + 20x。 配方得：S = -(x - 10)² + 100。 因为 a = -1 < 0，所以抛物线开口向下，函数有最大值。 当 x = 10 时，S 取得最大值 100。 此时另一边长为 20 - 10 = 10 米，即围成正方形时面积最大。 答：当矩形的长和宽都是10米（即正方形）时，面积最大，最大面积是100平方米。 师：这个问题的关键是什么？ 生：列出面积的函数关系式，再求最大值。 师：对。我们通过建立二次函数模型，求出了最大面积。 （教师展示矩形围场示意图和面积函数图象。） 探究3：总结建立函数模型的一般步骤 师：通过以上两个例子，我们来总结一下利用二次函数解决实际问题的一般步骤： （1）审题：理解题意，找出变量之间的关系； （2）建模：设自变量，列出二次函数解析式，并确定自变量的取值范围； （3）求解：利用配方法或公式法求出顶点坐标，得到最值； （4）验证：检验结果是否符合实际意义。 师：大家要特别注意自变量的取值范围，求出的最值必须在取值范围内才有意义。 （教师展示喷水池的例子作为拓展。） 学生能从实际问题中抽象出二次函数模型。 学生能正确列出函数解析式并求最值。 学生能说出建立函数模型的一般步骤。 通过最大高度问题的探究，让学生体会建立函数模型解决实际问题的过程，培养模型观念。 通过最大面积问题的探究，让学生掌握利用二次函数求最值的方法，发展运算能力。 通过总结建模步骤，帮助学生形成解决实际问题的一般思路，提高应用意识。 课堂练习 知识巩固 辨析应用 练习1：某喷水池的喷水高度y（米）与水平距离x（米）之间的关系为 y = -x² + 4x + 1。 （1）喷出的水的最大高度是多少？ （2）水池的半径至少要多少米，才能使喷出的水不落池外？ 参考答案： （1）y = -(x-2)² + 5，最大高度是5米； （2）令y=0，解得x = 2±√5，取正值得x≈4.23米，水池半径至少约4.23米。 练习2：用长为30米的篱笆靠墙围成一个矩形菜园，怎样围面积最大？最大面积是多少？ 参考答案： 设垂直于墙的边长为x米，则平行于墙的边长为30-2x米。 面积S = x(30-2x) = -2x² + 30x = -2(x-7.5)² + 112.5。 当x=7.5时，最大面积是112.5平方米。 练习3：某商店销售一种商品，每件进价为20元。调查发现：当售价为30元时，每天可卖出100件；售价每降低1元，每天可多卖出10件。当售价为多少时，每天的利润最大？最大利润是多少？ 参考答案： 设售价为x元，利润为W元。 W = (x-20)[100+10(30-x)] = -10x² + 600x - 8000 = -10(x-30)² + 1000。 当x=30时，最大利润是1000元。 学生能正确建立二次函数模型并求最值。 学生能注意自变量的取值范围。 学生能解决简单的实际问题。 通过基础练习题，巩固利用二次函数求最值的方法。 通过辨析题，加深学生对函数模型的理解。 通过综合应用题，培养学生的应用意识和解决实际问题的能力。 反思总结 学生为主体发言总结 师：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 生1：我学会了用二次函数解决最大高度问题。 生2：我学会了用二次函数解决最大面积问题。 生3：我知道了建立函数模型的一般步骤。 生4：我明白了求最值时要注意自变量的取值范围。 师：本节课你还有哪些疑惑？ 生：怎么快速找到等量关系？ 师：这个问题需要我们多练习、多总结，大家课后可以多做一些应用题。 学生能主动归纳本节课所学的主要内容，形成知识体系。 学生能提出自己的疑惑和问题，养成反思的习惯。 通过学生自主总结，梳理本节课的知识脉络，加深对利用二次函数解决实际问题的理解。 通过提出疑惑，激发学生进一步学习的兴趣。 板书设计 26.4 第1课时 最大高度问题和最大面积问题 1. 最大高度问题（拱桥、喷水池）： 建立坐标系→求解析式→求顶点→得最大高度 2. 最大面积问题（篱笆围矩形）： 设边长→列面积函数→配方求顶点→得最大面积 3. 一般步骤： 审题→建模→求解→验证 4. 注意： 自变量的取值范围 最值必须在取值范围内 提纲挈领，重点突出，便于学生梳理知识体系。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $