26.4 第1课时 最大高度问题和最大面积问题-【初中学霸创新题】2026-2027学年九年级上册数学同步教案（人教版·新教材 安徽专版）

该初中数学教学设计聚焦二次函数在实际问题中的最值应用，以小球竖直上抛高度问题导入，衔接二次函数顶点性质，搭建从理论到实际的学习支架，引导学生分析变量关系。 通过跳水高度、矩形菜园面积等实例，培养数学眼光（抽象数量关系）、数学思维（推理运算求最值）、数学语言（构建函数模型），注重自主探索与合作交流，助力学生提升建模能力，为教师提供清晰教学流程与实用案例。

26.4 实际问题与二次函数 第1课时 最大高度问题和最大面积问题 课题 最大高度问题和最大面积问题 课型 新授课 教学内容 教材第51-52页的内容 教学目标 1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决最大高度问题和最大面积问题． 教学重难点 教学重点：会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。 教学难点：能分析实际问题中变量之间的二次函数关系。 教 学 过 程 备 注 1.创设情境，引入课题 【问题】从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度 h（单位：m）与小球的运动时间 t（单位：s）之间的关系式是h= 30t - 5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？ 【师生活动】教师分析：可以看出，这个函数的图象是一条抛物看线的一部分，这条抛物线的顶点是这个函数的图象的最高点.也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值. 解：显然t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值，这个最大值即为小球的最大高度. 即小球运动的时间是3 s时，小球最高，且最大高度是45 m. 【归纳】一般地，当a＞0(a＜0)时，抛物线y＝ax2＋bx＋c的顶点是最_低_(_高_)点，也就是说，当x＝_－_时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最小(大)值__. 2.学以致用，应用新知 【例1】在一次跳水运动中，某运动员的重心相对于水面的高度h(单位:m)与起跳后的时间t(单位:s)之间的关系式是h=-4.9t2+2.8t+11.运动员起跳后经过多长时间达到最高点?运动员跳水过程中重心的最大高度是多少?(结果保留小数点后一位.) 解：对于二次函数h=-4.9t2+2.8t+11,当 当t==-≈0.3时， h有最大值==11.4. 因此，运动员起跳后大约0.3 s时，其重心达到最高点，最大高度为 11.4 m. 【例2】如图，利用一面墙(墙的长度不限)，用 20 m长的篱笆围成一个矩形菜园.如何围才能使菜园的面积最大?最大面积是多少? 解:设垂直于墙的边长为x m，则平行于墙的 边长为(20-2x)m，矩形菜园的面积S=x(20-2x), 即S=-2x2+20x（0＜x＜10）. 当x==-=5时， S有最大值==50. 因此，当垂直于墙的边长为5 m时，这个矩形菜园的面积最大，最大面积为50 m2. 4.随堂训练，巩固新知 （1）某广告公司设计一幅周长为12 m的矩形广告牌，广告设计费为每平方米1000元，设矩形的一边长为x m，面积为S m2. ①写出S与x之间的关系式，并写出自变量x的取值范围； ②请你设计一个方案，使获得的设计费最多，并求出这个费用． 解：①∵矩形的一边长为x m， ∴另一边长为(6－x)m， ∴S＝x(6－x)＝－x2＋6x，其中0＜x＜6； ②∵S＝x(6－x)＝－x2＋6x＝－(x－3)2＋9， ∴当x＝3，即矩形的一边长为3 m时，矩形面积最大，为9 m2，这时设计费最多，为9×1000＝9000(元). （2）如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度为10m)，围成中间隔有一道篱笆(平行于AB)的矩形花圃，设花圃的一边AB为x m，面积为y m2. ①求y与x的函数解析式； ②y是否有最大值？如果有，请求出y的最大值． 解：①y＝－3x2＋30x； ②当x＝时，y最大值＝. 5.课堂小结，自我完善 （1）如何求二次函数的最小（大）值，如何利用二次函数的最小（大）值解决实际问题？ （2）在解决问题的过程中应注意哪些问题？学到了哪些思考问题的方法。 6.布置作业 课本P52练习。 正如一次函数能解决实际问题一样，二次函数的实际应用也十分广泛，让我们一起去看看二次函数的实际应用吧。 教师总结，学生体会。 实际问题中，先求出函数解析式，再求出使函数值最大的自变量的值。 让学生得出求二次函数的最小（大）值的结论，体会由特殊到一般的思想方法。 引导学生独立完成并交流，教师适时指点。 学生独立完成，教师巡视指导，了解学生掌握情况，并集中订正。 板书设计 最大高度问题和最大面积问题 利用二次函数最大（小）值求面积最大问题。 教后反思 教学过程中，强调学生自主探索和合作交流，引导学生设计有助于学生设计表格，经历计算、观察、分析、比较的过程，直观地看出变化情况。 学科网（北京）股份有限公司 $