30.1 直线与圆（第2课时） 课件 2026-2027学年人教版九年级数学上册

30.1 直线与圆 （第 2 课时 · 切线的性质与判定） 人教版 · 数学 · 九年级上册 授课教师：__________ 班级：__________ 课时：1 课时 学习目标 目标 1. 掌握切线的性质定理“圆的切线垂直于过切点的半径”，并能用于计算与说理。 2. 掌握切线的判定定理“经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线”， 　　能判定一条直线是否为圆的切线。 3. 体会性质与判定的互逆关系，积累“连半径、作垂线”的辅助线经验。 课前复习 复习 1.（填空）设⊙O 的半径为 r，圆心 O 到直线 l 的距离为 d， 　　则直线 l 与⊙O 相切⇔＿＿＿＿。 　　则直线 l 与⊙O 相切⇔d＝r。 2.（口答）⊙O 的半径为 5，圆心 O 到直线 l 的距离为 5，直线 l 　　与⊙O 有几个公共点？此时直线 l 叫作⊙O 的什么？ 2. 有 1 个公共点；此时直线 l 叫作⊙O 的切线。 二、切线的性质（课本P150） 探究 1.（填空）如图30.1-6，直线 l 与⊙O 相切于点 A，连接 OA。 由于直线 l 与⊙O 只有一个公共点，则 l 上的点 P 在⊙O 外， 从而 OP＞OA，即半径 OA 是圆心 O 与直线 l 上的点的＿＿＿＿ 从而 OP＞OA，即半径 OA 是圆心 O 与直线 l 上的点的最短 连线，由此可得半径 OA 与切线 l 的位置关系是＿＿＿＿。 连线，由此可得半径 OA 与切线 l 的位置关系是垂直。 解：半径 OA 是圆心 O 与直线 l 上各点连线中 　　最短的（垂线段最短），由此可得半径 OA 与 　　切线 l 的位置关系是垂直。 二、切线的性质 · 性质定理 探究 2.（填空）由此得到切线的性质定理： 　　圆的切线＿＿＿＿于过＿＿＿＿的半径。 　　圆的切线垂直于过＿＿＿＿的半径。 　　圆的切线垂直于过切点的半径。 几何语言：如图30.1-6，∵直线 l 是⊙O 的切线，A 为切点， 　　∴OA⊥l。 二、切线的性质 · 巩固 巩固 3.（口答）如图30.1-6，若 OA＝4，则圆心 O 到 　　直线 l 的距离等于＿＿＿＿。 　　直线 l 的距离等于4。 4.（填空）过圆上一点能作圆的切线＿＿＿＿条； 4.（填空）过圆上一点能作圆的切线1条； 　　过圆内一点＿＿＿＿作圆的切线 　　过圆内一点不能作圆的切线 　　（填“能”或“不能”）。 解：∵切线 l 垂直于过切点的半径 OA， 　　∴圆心 O 到直线 l 的距离等于 OA＝4。 解：过圆上一点能作圆的切线 1 条； 　　过圆内一点不能作圆的切线。 三、切线的判定（课本P150～151） 探究 1.（填空）切线的判定定理：经过半径的＿＿＿＿ 1.（填空）切线的判定定理：经过半径的外端 　　并且＿＿＿＿于这条半径的直线是圆的切线。 　　并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 几何语言：如图30.1-6，∵OA 是⊙O 的半径，直线 l 经过 OA 的 　　外端 A，且 l⊥OA，∴l 是⊙O 的切线。 三、切线的判定 · 辨析 辨析 2.（辨析）（填空）“垂直于半径的直线是圆的切线” 　　这句话＿＿＿＿（填“正确”或“错误”）， 　　这句话错误（填“正确”或“错误”）， 　　理由是：这条直线不一定经过半径的＿＿＿＿。 　　理由是：这条直线不一定经过半径的外端。 错误。理由是：这条直线不一定经过半径的外端 　　（垂直于半径的直线若不经过半径的外端， 　　则与圆相离或相交，不是切线）。 三、切线的判定 · 例2（课本P151） 例题 例2　如图30.1-9，△ABC 为等腰三角形， 　　O 是底边 BC 的中点，腰 AB 与⊙O 相切于点 D。 　　求证：AC 是⊙O 的切线。 E 证明：连接 OD、OA，过点 O 作 OE⊥AC 于 E。 ∵AB 与⊙O 相切于点 D，∴OD⊥AB，且 OD 是⊙O 的半径。 ∵AB＝AC，O 是 BC 的中点，∴AO 是∠BAC 的平分线 　　（等腰三角形三线合一）。 ∵AO 平分∠BAC，OD⊥AB，OE⊥AC， 　　∴OE＝OD（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴OE 是⊙O 的半径，且 AC 经过 OE 的外端 E 并垂直于 OE， 　　∴AC 是⊙O 的切线。 四、课堂练习 · 练习1（课本P152练习1） 练习 1.（课本P152练习1）如图，AB 是⊙O 的直径，∠ABC＝45°， AC＝AB。求证：AC 是⊙O 的切线。 证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC＝45°， 　　∴∠BAC＝180°－45°－45°＝90°，即 AC⊥AB。 ∵O 是 AB 的中点，即 OA 是⊙O 的半径， 　　且 AC 经过半径 OA 的外端 A 并垂直于 OA， 　　∴AC 是⊙O 的切线。 四、课堂练习 · 练习2（课本P152练习2） 练习 2.（课本P152练习2）如图，AB 是⊙O 的直径， 　　直线 l1、l2 是⊙O 的切线，A、B 是切点。 　　l1、l2 有怎样的位置关系？证明你的结论。 解：l1∥l2。 证明：∵直线 l1 是⊙O 的切线，A 为切点，∴AB⊥l1 　　（切线的性质定理）；同理 AB⊥l2。 　　∴l1∥l2（在同一平面内，垂直于同一条直线的 　　两条直线平行）。 四、课堂练习 · 练习3（课本P152练习3） 练习 3.（课本P152练习3）如图，在以点 O 为圆心 　　的两个同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切， 　　点 P 为切点。求证：AP＝BP。 证明：连接 OP。∵AB 与小圆相切于点 P， 　　∴OP⊥AB（切线的性质定理）。 ∵OP⊥AB 且 OP 经过圆心 O，由垂径定理， 　　OP 平分 AB，∴AP＝BP。 四、课堂练习 · 练习4（选择） 练习 4.（选择）下列说法：①与圆只有一个公共点的直线是圆的切线； ②经过半径外端的直线是圆的切线； ③垂直于半径的直线是圆的切线； ④经过半径外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线。 其中正确的是（　　） A. ①④　　B. ①②　　C. ②③　　D. ③④ 解：①是切线的定义，正确；②缺少“垂直于这条半径”的条件， 　　错误；③缺少“经过半径外端”的条件，错误；④是切线的 　　判定定理，正确。故选 A。 四、课堂练习 · 练习5（填空·综合） 练习 5.（填空·综合）在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8。 若⊙C 的半径为 4.8，则斜边 AB 所在直线与⊙C 的位置关系是＿＿＿＿；若要使⊙C 与 AB 所在直线相切， 的位置关系是相切；若要使⊙C 与 AB 所在直线相切， 则⊙C 的半径应等于＿＿＿＿。 则⊙C 的半径应等于4.8。 解：由勾股定理得 AB==10。 　　设 C 到 AB 的距离为 h，由面积法得 h＝6×8÷10＝4.8。 　　d＝4.8＝r，AB 所在直线与⊙C 相切；半径应等于 4.8。 　　故填相切；4.8。 四、课堂练习 · 练习6（填空·中考热点） 练习 6.（填空·中考热点）在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝6， 以 A 为圆心、以 5 为半径作⊙A，则点 D 与⊙A 的位置关系是＿＿＿＿＿＿；直线 BD 与⊙A 的位置关系是 的位置关系是点 D 在⊙A 外；直线 BD 与⊙A 的位置关系是 ＿＿＿＿。 相交。 解：AD＝BC＝6＞5，∴点 D 在⊙A 外。 　　由勾股定理得 BD==10。 　　设 A 到直线 BD 的距离为 h，由 　　S△ABD=×AB×AD=×8×6=24= 　　×BD×h，得 h＝2×24÷10＝4.8。 　　∵d＝4.8＜r＝5，∴直线 BD 与⊙A 相交。故填外；相交。 五、课堂小结 小结 填一填：（1）切线的性质定理：圆的切线＿＿＿＿于过切点的半径； 填一填：（1）切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径； （2）切线的判定定理：经过半径的＿＿＿＿并且＿＿＿＿ （2）切线的判定定理：经过半径的外端并且＿＿＿＿ （2）切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直 　　于这条半径的直线是圆的切线； （3）证明切线时常作辅助线：已知直线与圆有公共点时， 　　＿＿＿＿半径；没有公共点时，过圆心作直线的＿＿＿＿线， 　　连接半径；没有公共点时，过圆心作直线的＿＿＿＿线， 　　连接半径；没有公共点时，过圆心作直线的垂线， 　　证距离等于半径（简记“有点连半径，无点作垂线”）。 六、作业布置 作业 必做题：①课本P152练习第1题，写出完整证明过程； ②课本P152练习第3题，写出完整证明过程。 选做题：把例2中“腰 AB 与⊙O 相切于点 D” 改为“腰 AC 与⊙O 相切于点 E”，其余条件不变，把结论换成 “AB 是⊙O 的切线”，结论还成立吗？写出你的证明。 必做①：证明过程见课堂练习1； 　　必做②：证明过程见课堂练习3。 六、作业布置 · 选做题（解答） 作业 选做题（解答） 解：结论仍然成立。 证明：连接 OE、OA，过点 O 作 OD⊥AB 于 D。 ∵AC 与⊙O 相切于点 E，∴OE⊥AC，且 OE 是⊙O 的半径。 ∵AB＝AC，O 是 BC 的中点，∴AO 是∠BAC 的平分线 　　（等腰三角形三线合一）。 ∵AO 平分∠BAC，OE⊥AC，OD⊥AB， 　　∴OD＝OE（角平分线上的点到角两边的距离相等）。 ∴OD 是⊙O 的半径，且 AB 经过 OD 的外端 D 并垂直于 OD， 　　∴AB 是⊙O 的切线。 下课啦！ 谢谢观看 · 同学们再见 学而时习之，不亦说乎 —— 课后记得复习巩固哦 $