30.1 直线与圆的位置关系（第1课时）——相离、相切、相交 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

该初中数学教学设计聚焦“直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交）”核心知识点，通过日出、车轮滚动等生活情境导入，类比点与圆位置关系，引导学生从公共点个数和圆心到直线距离d与半径r的关系构建知识脉络。 这份资料以探究式学习为特色，通过动手操作画圆移动直尺观察公共点、测量d与r归纳关系，培养几何直观和数学抽象能力，例题用面积法求距离突破难点，渗透逻辑推理，助力学生理解位置关系判定，为教师提供详细教学策略与易错点指导。

人教版（2024）九年级上册“学·融”课时教学设计 年级组 九年级 学科组 数学 主备人 审阅人 授课教师 授课时间 课 题 30.1 直线与圆的位置关系（第1课时）——相离、相切、相交 课 型 新授课 教学 目标 1.理解直线与圆的三种位置关系（相离、相切、相交），能根据公共点个数准确判断直线与圆的位置关系。 2.掌握用圆心到直线的距离d与半径r的大小关系判定位置关系的方法，理解d>r相离、d=r相切、d<r相交的等价性。 3.经历观察、操作、探究、归纳的过程，体会数形结合思想和分类讨论思想，培养几何直观和推理能力。 ★核心素养：几何直观（图形位置关系的感知）、数学抽象（从公共点个数到d与r关系的抽象）、逻辑推理（位置关系判定的推理） 重点 直线与圆的三种位置关系及其判定方法（d与r的大小比较）。 ★关键：理解"公共点个数"与"d与r大小关系"两种判定方式的等价性，d=r是相切的临界条件 难点 灵活运用d与r的大小关系解决含参数的位置关系判断问题，以及在几何图形中计算圆心到直线的距离。 ★突破策略：①找准圆心和直线；②正确计算圆心到直线的距离（常用面积法、坐标法）；③列不等式求解参数范围；④注意临界值d=r的取舍 教学 方法 直观演示法、操作探究法、类比归纳法、分层训练法 ★学法指导：观察图形→数公共点→量距离→比较d与r→归纳结论，类比点与圆的位置关系学习 教学过程设计 教 学 过 程 及 方 法 目标导学 二次备课 一、情境导入 1.生活情境： ①日出时，太阳（看作圆）与地平线（看作直线）的位置关系经历了怎样的变化过程？ ②自行车车轮（圆）在地面（直线）上滚动时，车轮与地面有什么位置关系？ ③将一把直尺（直线）放在一个圆形纸片上，移动直尺，观察直尺与圆有几种位置关系？ 2.互动提问：点与圆有哪几种位置关系？是用什么量来判断的？（d<r在圆内、d=r在圆上、d>r在圆外）那么直线与圆是否也可以类似地用距离来判断？ 3.揭示课题：今天我们就来系统学习直线与圆的三种位置关系及其判定方法——30.1直线与圆的位置关系。 任务驱学 任务1：动手操作——在纸上画一个圆，将直尺边缘看作一条直线，移动直尺，观察直线与圆的公共点个数有几种情况？分别画出示意图。 任务2：测量探究——对每种位置关系，过圆心O作直线l的垂线，垂足为D，测量OD的长度（记为d），与半径r比较，记录d与r的大小关系。 任务3：归纳总结——根据操作和测量结果，完成下表： | 位置关系 | 公共点个数 | d与r的关系 | |---------|-----------|-----------| | 相离 | 0 | d>r | | 相切 | 1 | d=r | | 相交 | 2 | d<r | 【设计意图】通过动手操作和测量，让学生从"形"和"数"两个角度自主发现直线与圆位置关系的判定方法，体现数形结合思想。 二次备课 二、合作探究 探究1 直线与圆的位置关系（从"形"的角度） ①相离：直线与圆没有公共点； ②相切：直线与圆只有一个公共点，这条直线叫做圆的切线，这个公共点叫做切点； ③相交：直线与圆有两个公共点，这条直线叫做圆的割线。 ★深度剖析： ①相切是相离与相交的临界状态，只有一个公共点是其本质特征； ②"只有一个公共点"不同于"有一个公共点"，前者强调唯一性； ③直线与圆最多有两个公共点，不可能有三个或更多。 ★易错点提示：不要将"直线与圆有公共点"等同于"相切"，有公共点包括相切（1个）和相交（2个）。 探究2 直线与圆位置关系的判定（从"数"的角度） 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d，则： ①d>r ⇔ 直线l与⊙O相离； ②d=r ⇔ 直线l与⊙O相切； ③d<r ⇔ 直线l与⊙O相交。 ★深度剖析： ①符号"⇔"表示双向等价，既可由d与r的关系判断位置关系，也可由位置关系推出d与r的关系； ②d的取值范围是d≥0，当d=0时直线经过圆心，此时直线一定与圆相交（d=0<r）； ③判定的关键是准确求出圆心到直线的距离d。 ★数学思想渗透：数形结合思想——将图形位置关系（形）转化为数量关系（数）来研究。 教 学 过 程 及 方 法 激思展学 例1 已知⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离分别为：①3；②5；③7，判断直线l与⊙O的位置关系。 解：①∵d=3，r=5，d<r，∴直线l与⊙O相交； ②∵d=5，r=5，d=r，∴直线l与⊙O相切； ③∵d=7，r=5，d>r，∴直线l与⊙O相离。 【方法总结】判断位置关系"三步法"：一定半径r，二求距离d，三比大小下结论。 例2 如图1，直线与圆的三种位置关系示意图，根据图形回答： （1）三个图中直线与圆分别有几个公共点？ （2）分别写出d与r的大小关系。 解：（1）相离0个、相切1个、相交2个；（2）相离d>r、相切d=r、相交d<r。 【方法总结】从图形中读取信息：看公共点个数判断位置关系，看垂线段长度与半径比较判断数量关系。 例3 如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，以C为圆心，r为半径作圆。 （1）当r取何值时，⊙C与直线AB相离？ （2）当r取何值时，⊙C与直线AB相切？ （3）当r取何值时，⊙C与直线AB相交？ 解：过C作CD⊥AB于D，由面积法：AB=√3²+4²=5， S△ABC=1/2×3×4=1/2×5×CD，两边同乘2得：3×4=5×CD，即12=5CD，∴CD=12/5=2.4。 即圆心C到直线AB的距离d=2.4。 （1）当r<2.4时，d>r，⊙C与AB相离； （2）当r=2.4时，d=r，⊙C与AB相切； （3）当r>2.4时，d<r，⊙C与AB相交。 【方法总结】在三角形中判断圆与边的位置关系，关键是用面积法求出圆心到边的距离（即斜边上的高），再与半径比较。 图2 二次备课 展示交流，深化理解 1.学生板演例3的解答过程，重点展示面积法求CD的步骤，小组互评解题规范。 2.讨论问题： ①在例3中，如果以A为圆心作圆，半径r取何值时圆与直线BC相切？（提示：A到BC的距离就是AC=3，所以r=3时相切） ②直线与圆的位置关系中，为什么d=r是相切而不是相交或相离？（因为d=r时垂足恰好落在圆上，直线与圆只有这一个公共点） 3.教师强调： ①求圆心到直线的距离是解题关键，常用方法有面积法、坐标法、三角函数法； ②注意"相切"的临界条件，在求参数范围时要特别关注等号是否成立； ③两种判定方法（公共点个数法和d与r比较法）要灵活选用。 ★拓展思考：若直线l与⊙O相交，且公共点为A、B，已知OA=OB=r，你能求出弦AB的长度范围吗？（0<AB≤2r，当直线经过圆心时AB=2r为直径） 教 学 过 程 及 方 法 评价促学 反馈测学 课堂检测，反馈学情 1.填空：直线与圆有____个公共点时叫做相切，这个公共点叫做____。 2.填空：已知⊙O半径为6，圆心O到直线l的距离d=6，则直线l与⊙O的位置关系是____。 3.选择：⊙O的半径为5，圆心O到直线l的距离为3，则直线l与⊙O的位置关系是（　） A.相离 B.相切 C.相交 D.无法确定 4.解答：已知⊙O的半径为4，若直线l与⊙O相离，则圆心O到直线l的距离d的取值范围是____。 5.拓展：如图2，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，以C为圆心r为半径作圆，当r=____时，⊙C与AB相切。 【参考答案】1.1，切点；2.相切；3.C（d=3<5相交）；4.d>4；5.4.8（面积法：AB=10，CD=6×=4.8） 反馈订正：第5题先用勾股定理求AB=10，再用面积法求斜边上的高CD=4.8，相切时r=CD=4.8。 二次备课 课 堂 小 结 1.三种位置关系：相离（0个公共点）、相切（1个公共点，切点）、相交（2个公共点，割线）。 2.判定方法：设半径r，圆心到直线距离d，则d>r相离、d=r相切、d<r相交。 3.关键技能：求圆心到直线的距离（面积法、坐标法），列不等式求参数范围。 4.数学思想：数形结合思想（形→数）、分类讨论思想（三种位置关系）、临界思想（d=r）。 5.易错提醒：有公共点≠相切（包括相切和相交）；d=0时直线过圆心必相交。 ★知识网络：直线与圆→公共点个数→d与r比较→相离、相切、相交→实际应用 课后 作业 1.必做：课本30.1练习第1、2题；习题30.1第1、2、3题。 2.选做： ①已知⊙O半径为5，直线l上有一点P到圆心O的距离为5，判断直线l与⊙O的位置关系并说明理由；（提示：OP=5=r，但P到O的距离不等于O到l的距离，需分类讨论） ②在平面直角坐标系中，⊙O半径为3，直线y=x+b与⊙O相切，求b的值。 3.预习：阅读课本30.1切线的判定部分，思考：除了用d=r判断相切外，还有没有更直接的判定方法？ 板 书 设 计 30.1 直线与圆的位置关系 一、三种位置关系 相离：0个公共点，d>r 相切：1个公共点（切点），d=r 相交：2个公共点（割线），d<r 二、判定方法 ①公共点个数法 ②d与r比较法 三、典型例题 例3 Rt△中面积法求d=，判断r范围 四、数学思想：数形结合、分类讨论、临界思想 课 后 反 思 教学反思 1.日出和车轮滚动的生活情境引入自然，学生能直观感知三种位置关系，参与度高。 2.通过动手操作测量d与r的关系，学生自主归纳出判定方法，体现了探究式学习理念。 3.例3的面积法求距离是本节重点和难点，部分学生对"斜边上的高就是圆心到直线的距离"理解不够，需加强几何直观。 4.课堂检测第5题正确率约70%，说明面积法的掌握还需巩固，后续可增加专项训练。 5.d=r临界条件的取舍是易错点，在求参数范围时学生容易漏等号，需反复强调。 6.改进方向：可增加动态几何演示（几何画板），让学生直观看到d变化时位置关系的连续变化过程；增加坐标系中直线与圆位置关系的题型，为后续学习打基础。 学科网（北京）股份有限公司 $