精品解析：河北唐山市第一中学2026-2027学年高二上学期10月学情调研数学试题

2026-2027年度第一学期高二年级10月份学情调研数学学科 考生注意: 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一.选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设，向量且，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 3. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 4. 若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 经过点，倾斜角为的直线方程为 C. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 D. 经过两点的直线方程为 6. 已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（ ） A. B. C. D. 7. 如果，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 8. 如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ） A. B. C. D. 二.选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 10. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 11. 已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C. 已知，，则 D. 已知，，，则三棱锥的表面积 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转所得的直线方程______. 13. 如图，三棱锥中，平面ABC，，且，．若D是棱PC上的点，满足，且，则________． 14. 如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，点是内的一动点（含边界），则的最小值是__________． 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值. （3）若本例条件不变，为的中点，证明： 16. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求点到平面的距离． 17. 如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 18. 如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，. （1）若过点，且为线段的中点，求直线的方程； （2）若，求的面积取得最大值时直线的方程； （3）设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 19. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，点在上，且，设点是线段上（含端点）的一动点. （1）求证：平面； （2）设与平面所成角为，求的范围； （3）若，判断直线是否在平面内，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027年度第一学期高二年级10月份学情调研数学学科 考生注意: 1.答卷前，考生务必将自己的考生号、姓名、考点学校、考场号及座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需要改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 一.选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求. 1. 设，向量且，则（ ） A. 3 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，， 所以有，， 解得，， 所以， 所以. 2. 我国古代数学名著《九章算术》中，将底面为矩形且一侧棱垂直于底面的四棱锥称为阳马.如图所示，已知四棱锥是阳马，平面，且，若，则（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间向量加、减运算法则，以为基底表示出向量即可. 【详解】 . 故选：D 3. 已知动点Q在所在平面内运动，若对于空间中任意一点P，都有，则实数m的值为（ ） A. 0 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】利用空间中四点共面的推论可求的值. 【详解】由条件可知，四点共面， 又因为， 所以，解得， 故选：D. 4. 若过点的直线与以，为端点的线段相交，则直线的倾斜角取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】画出图形分析，结合直线的倾斜角以及斜率的关系即可求解. 【详解】如图所示： 当点从点向点运动时，则直线的倾斜角越来越大， 当点与点重合时，直线的倾斜角的最小值为， 由直线倾斜角与斜率的关系可知， 所以， 当点与点重合时，直线的倾斜角的最大值为， 由直线倾斜角与斜率的关系可知， 所以， 又注意到当点从点向点运动时，是连续变化的， 因此满足题意的直线的倾斜角取值范围为. 故选：D. 5. 下列说法正确的是（　　） A. 截距相等的直线都可以用方程表示 B. 经过点，倾斜角为的直线方程为 C. “”是“直线与直线平行”的充分不必要条件 D. 经过两点的直线方程为 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线的截距式概念判断A；举反例判断B；根据直线平行求参数，再利用充要条件定义判断C；根据直线两点式方程及一般方程的概念判断D. 【详解】对于A，截距相等且为0的直线不可以用方程表示，错误； 对于B，经过点，倾斜角为的直线方程不能写成，错误； 对于C，因为直线与直线平行， 所以，解得， 所以“”是“直线与互相平行”的充要条件，错误； 对于D，当时，直线的斜率存在，直线方程为， 即． 当时，直线的斜率不存在，直线方程为， 此时满足方程．所以D正确． 故选：D 6. 已知直线与直线关于点对称，则恒过的定点为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求出直线所过定点的坐标，求出点关于点的对称点的坐标，即为所求. 【详解】直线的方程可化为，由得， 所以，直线过定点，点关于点的对称点为， 因此，直线恒过的定点. 故选：C. 7. 如果，那么直线不经过的象限是（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】C 【解析】 【分析】将直线的一般式方程转化为斜截式方程即可. 【详解】由可得，, 所以直线的斜率纵截距， 所以直线经过一、二、四象限， 故选:C. 8. 如图，矩形ABCD中，，E为边AB的中点，将沿直线DE翻折成.在翻折过程中，直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分别取DE，DC的中点O，F，点A的轨迹是以AF为直径的圆，以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系，利用向量法求出正弦值为，换元后利用基本不等式可得答案. 【详解】分别取DE，DC的中点O，F，则点A的轨迹是以AF为直径的圆， 以为轴，过与平面垂直的直线为轴建立坐标系， 则，平面ABCD的其中一个法向量为= (0,0.1)， 由，设，则， 记直线与平面ABCD所成角为， 则 设， 所以直线与平面ABCD所成角的正弦值最大为， 故选：A. 【点睛】本题主要考查利用向量法求线面角，考查了三角函数的恒的变换以及基本不等式的应用，考查了空间想象能力与计算能力，属于综合题. 二.选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知空间中三个向量，，，则下列说法正确的是（ ） A. 与是共线向量 B. 与同向的单位向量是 C. 在方向上的投影向量是 D. 与的夹角为 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共线向量的定义判断A，结合单位向量和共线向量的定义判断B，根据投影向量的定义判断C，根据向量垂直的坐标关系判断D. 【详解】已知空间中三个向量，， 对于A选项，因为，故、不共线，A错； 对于B选项，与同向的单位向量是，B对； 对于C选项，在方向上的投影向量是， 所以在方向上的投影向量是，C对； 对于D选项，因为， 则、不垂直，D错. 故选：BC. 10. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 11. 已知单位向量，，两两的夹角均为，若空间向量满足，则有序实数组称为向量在“仿射”坐标系（为坐标原点）下的“仿射”坐标，记作，则下列命题是真命题的为（ ） A. 已知，，则 B. 已知，，其中，则当且仅当时，向量的夹角取得最小值 C. 已知，，则 D. 已知，，，则三棱锥的表面积 【答案】BC 【解析】 【分析】根据已知，借组图形，利用向量的线性运算以及数量积运算进行求解. 【详解】对于A，， 因为，且，所以，故A错误； 对于B，如图所示，设，，则点A在平面上，点在轴上， 由图易知当时，取得最小值，即向量与的夹角取得最小值，故B正确； 对于C，根据“仿射”坐标的定义可得， ，故C正确； 对于D，由已知可得三棱锥为正四面体，棱长为1，其表面积，故D错误． 故选：BC． 三.填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 直线绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转所得的直线方程______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意确定坐标，再根据垂直的斜率关系，结合点斜式求解即可. 【详解】由题意，直线过，又斜率为， 故绕它与y轴的交点按逆时针方向旋转后与原直线垂直，斜率为， 此时所得的直线方程为，即. 故答案为： 13. 如图，三棱锥中，平面ABC，，且，．若D是棱PC上的点，满足，且，则________． 【答案】 【解析】 【分析】证明出两两垂直，建立空间直角坐标系，设，从而由垂直关系得到方程，求出的值. 【详解】因为平面ABC，平面， 所以，又， 故两两垂直，以为坐标原点，所在直线分别为轴， 平行于的直线为轴，建立空间直角坐标系， 故， 因为，所以， 因为， 所以， 解得，负值舍去. 故答案为： 14. 如图，在棱长为1的正方体中，点在线段上运动，点是内的一动点（含边界），则的最小值是__________． 【答案】## 【解析】 【分析】由题易知平面，点关于平面对称点为，又，当时，取得最小值，，则即可求解． 【详解】连接，交平面于，连接， 在正方体中，易知平面，且， 设点关于平面对称点为， 则在上，且， ， 又当时，取得最小值， 又，所以此时， 故， 即的最小值是． 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 如图，在棱长为的正方体中，，分别为，的中点，点在上，且. （1）求证：； （2）求与所成角的余弦值. （3）若本例条件不变，为的中点，证明： 【答案】（1）证明：以所在直线分别为轴，轴，轴，建系如图， 则根据题意可得： ，即，； （2） （3）证明：因为为的中点，所以， 又因为 所以， 所以，即， 又平面，平面， 所以 【解析】 【分析】（1）根据题意，建立空间直角坐标系，结合空间向量的坐标运算，由，即可证明； （2）根据题意，由空间向量的坐标运算，代入计算，即可得到结果. （3）利用向量证明，再结合平面，平面即可证明. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知 ， 又与所成角的范围为，与所成角的余弦值为． 【小问3详解】 略 16. 如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是菱形，，，点是的中点． （1）求证：平面； （2）若平面平面，求点到平面的距离． 【答案】（1）在四棱锥中，连接交于点， 则为的中点，连接． 为的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2） 【解析】 【分析】（1）证得，即可根据线面平行的判定证得结论； （2）方法一：证得平面，以为原点建立空间直角坐标系，利用空间向量法求点面距离； 方法二：证得平面，由，根据等体积法求线面距离． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 方法一：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点，连接，， 则， 平面平面，平面平面， 平面． 是正三角形，． 以为原点，分别以，，所在的直线为轴、轴、轴建立空间直角坐标系． 又，则，，，，， ，． 设平面的法向量为， 则，即， 令，则 又， 设点到平面的距离为， 则， 即点到平面的距离为． 方法二：四边形是菱形，且， 为正三角形，取的中点， 连接，，则， 又平面平面，平面平面， 平面． ，是正三角形，，易得， ，连接， ． 由，． 取的中点，连接． ，， ， 可得． 设点到平面的距离为h，由， 得， 解得，即点到平面的距离为． 17. 如图所示的几何体中，垂直于梯形所在的平面，为的中点，，四边形为矩形，线段交于点. （1）求证：平面； （2）求二面角的正弦值； （3）在线段上是否存在一点，使得与平面所成角的大小为？若存在，求出的长；若不存在，请说明理由. 【答案】 （1）因为四边形为矩形，所以为的中点.连接， 在中，分别为的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2） （3）在线段上存在一点满足题意，且 【解析】 【分析】(1)由题意结合线面平行的判定定理即可证得题中的结论； (2)建立空间直角坐标系，利用两个半平面的法向量可得二面角的余弦值，然后利用同角三角函数基本关系可得二面角的正弦值； (3)假设点Q存在，利用直线的方向向量和平面的法向量计算可得点Q的存在性和位置. 【详解】（1）略 （2）易知两两垂直，如图以为原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系. 则，所以. 设平面的法向量为， 则即解得 令，得 所以平面的一个法向量为. 设平面的法向量为， ，据此可得 ， 则平面的一个法向量为， ，于是. 故二面角的正弦值为. （3）设存在点满足条件. 由， 设，整理得， 则. 因为直线与平面所成角的大小为， 所以 解得， 由知，即点与重合. 故在线段上存在一点，且. 【点睛】本题的核心在考查空间向量的应用，需要注意以下问题： (1)求解本题要注意两点：一是两平面的法向量的夹角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想进行向量运算，要认真细心，准确计算． (2)设分别为平面α，β的法向量，则二面角θ与互补或相等.求解时一定要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角． 18. 如图，平面直角坐标系内，为坐标原点，点在轴正半轴上，点在第一象限内，. （1）若过点，且为线段的中点，求直线的方程； （2）若，求的面积取得最大值时直线的方程； （3）设，，若，求证：直线过一定点，并求出此定点的坐标. 【答案】（1） （2） （3）由题意，直线斜率不为，设的方程为. 令，得，即； 令，得，即 ∴， 由得：，即， ∴的方程为，即， ∴直线恒过定点. 【解析】 【分析】（1）由题意，可设，，，由中点列关于方程组即可求解出坐标，计算斜率，利用点斜式写出直线方程；（2）由，根据两点距离公式列式，由基本不等式求解得，从而可得当，时三角形面积最大，从而得坐标，计算斜率，利用点斜式写出直线方程；（3）设的方程为，表示出坐标，从而可得，，代入计算可得，即可得直线方程为，判断得定点坐标. 【小问1详解】 易知直线的方程为，设，，， 为线段的中点，则， 解得，所以，， 所以， 故直线的方程为：， 即. 【小问2详解】 设，，. 由，得，即. ∵，∴， 当且仅当，即，时取等号， 所以的面积， 当的面积取最大值时，，， 所以，直线的方程为：， 即. 【小问3详解】 略 19. 如图，在四棱锥中，平面为的中点，点在上，且，设点是线段上（含端点）的一动点. （1）求证：平面； （2）设与平面所成角为，求的范围； （3）若，判断直线是否在平面内，说明理由. 【答案】（1）证明：因为平面平面，所以， 又因为平面平面， 所以平面. （2） （3）直线平面，理由：由以及（2）得， 若平面，则且，使得， 则有，解得，故， 所以直线平面. 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的性质定理和判定定理证明即可； （2）建立空间直角坐标系，求出的方向向量和平面的法向量，利用夹角公式结合换元法即可求解； （3）由代入坐标建立的方程组，由方程组有解可得直线是否在平面内. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在底面中，过作，交于， 由题意可知，又平面， 则以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立空间直角坐标系， 则， ，可知. , 设， 则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，有，故. 故 ， 令，则 ， 而， 故. 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $