精品解析：河北省石家庄正定中学2024-2025学年高二上学期第一次月考数学试题

河北正定中学高二上学期第一次月考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知先求出直线的斜率，进而可求直线的倾斜角． 【详解】因为直线的一个方向向量为， 所以直线的斜率， 故直线的倾斜角为． 故选：B． 2. 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三点共面得到系数之和为，从而解出的值. 【详解】因为，动点在所在平面内运动，所以，解得． 故选：B． 3. 端午节是我国传统节日，甲，乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是，假定2人的行动相互之间没有影响，那么甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用间接法，求出两人都不来的概率后可得． 【详解】因为甲，乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是， 所以甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为为． 故选：C． 4. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】利用两直线平行求解的值，结合充要关系的定义判断即可. 【详解】由可得，解得或. 当时，：，：，显然，重合，舍去， 故时，. 因此“”是“”的充要条件. 故选：C 5. 已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】取，，为基底，表示出，，再利用向量数量积的运算求解. 【详解】如图： 取，，为基底，则，， 所以. 又，. 所以. 故选：C 6. 已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，设直线的倾斜角为，由的坐标求出直线的斜率，结合的范围可得即的取值范围， 再利用正切函数的性质分析可得的范围，即可得答案. 【详解】解：根据题意，设直线的倾斜角为， 点，，则直线的斜率， 又由，则的取值范围为，， 即的范围为，， 又由，则 故选：C. 7. 将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求得总体平均数，然后利用列举法，结合古典概型概率计算公式求得正确答案. 【详解】依题意可知，总体平均数为97， 从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，情况如下： 选到95，96，则样本平均数为95.5，所以， 选到95，97，则样本平均数为96，所以， 选到95，98，则样本平均数为96.5，所以， 选到95，99，则样本平均数为97，所以， 选到96，97，则样本平均数为96.5，所以， 选到96，98，则样本平均数为97，所以， 选到96，99，则样本平均数为97.5，所以， 选到97，98，则样本平均数为97.5，所以， 选到97，99，则样本平均数为98，所以， 选到98，99，则样本平均数为98.5，所以， 所以该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为． 故选：D. 8. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为5；事件；事件.则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为互斥事件 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出事件、、、所包含的基本事件，根据互斥事件的定义判断A，B；根据独立事件的定义判断C，D. 【详解】解：由题意可知； ； ； ； 对于A，因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 对于B，因为，所以事件与事件不是互斥事件，故错误； 对于C，因为，，，所以事件与事件不相互独立，故错误； 对于D，因为，，， 所以事件与事件相互独立，故正确. 故选：D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 复数z的虚部为 D. 在复平面内，复数z对应的点位于第四象限 【答案】AD 【解析】 【分析】计算出复数，然后计算复数判断A，由共轭复数的概念判断B，由复数的基本概念判断C，由复数的几何意义判断D即可. 【详解】由，得， 所以，故A正确； ，故B错误； 复数z的虚部为，故C错误； 在复平面内，复数z对应的点为是第四象限的点，故D正确. 故选：AD 10. 在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的半径为2 C. D. 面积的最大值为 【答案】AD 【解析】 【分析】根据正弦定理、三角形内角和定理、两角和的正弦公式和特殊角的三角函数值计算判断A,B,利用向量的数量积公式、余弦定理、基本不等式和三角形面积公式计算判断C,D. 【详解】在中，因为，所以由正弦定理得， 又， 所以，所以， 对于A，因为，则，所以，因为，所以，故A正确； 对于B,由正弦定理得外接圆半径，故B错误； 对于C,如图1，，故C错误； 对于D,由余弦定理得：， 当且仅当时取等号，因此，故D正确， 故选：AD. 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）、金刚石等的分子结构．将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体（如图2）的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 正八面体内切球的表面积为 B. 正八面体外接球的体积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，为正八面体的内切球的直径，则的取值范围为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用等体积法求得正八面体内切球半径，即可判断A；利用正八面体的对称性得出正方体的中心即为外接球球心，即可判断B；通过将两个侧面翻折共面后即可得出当共线时，取得最小值；由向量数量积的运算律得出，根据的范围即可得出的取值范围． 【详解】对于A，设该正八面体内切球的半径为， 由内切球的性质可知正八面体的体积，解得， 故它的内切球表面积为，故A项正确； 对于B项，设该正八面体外接球的半径为， 由题可知，四边形是正方形，， 在中，， 利用对称性知，故点为正八面体外接球的球心，则， 所以正八面体外接球的体积为，故B错误； 对于C，如图，因与是边长为2的全等的正三角形， 可将翻折到，使其与共面，从而得到一个菱形， 连接与相交于点，此时， 则取得最小值为，故C正确； 对于D，由A可知正八面体的内切球半径为， ， 由上述可知，， 当为棱的端点时，取得最大值，即， 当为棱的中点时，取得最小值，即， 所以得取值范围为， 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的部分图象如图所示，则______．    【答案】## 【解析】 【分析】根据图象求得，进而可得，再代入最大值点即可求得的值，进而可求得. 【详解】由已知可得，，所以，所以， 所以. 又因为在处取得最大值， 所以有， 所以. 又因为，所以， 所以， 所以. 故答案为：. 13. 已知函数是定义在上的偶函数，且，则______． 【答案】3 【解析】 【分析】首先判断函数的周期，再根据函数的周期性和偶函数的性质求值. 【详解】因为，所以，则， 从而，所以是周期为8的周期函数，故． 令，得．又是定义在上的偶函数，所以， 故． 故答案为：3 14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 【答案】 【解析】 【分析】记的中点为，点的轨迹与交于点，则平面平面，建立空间直角坐标系，利用垂直于平面的法向量确定点的位置，利用向量即可得解. 【详解】由题知，两两垂直， 以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系， 记的中点为，连接， 因为为正方形，为中点，所以，且， 所以为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面， 记点的轨迹与交于点，则平面， ，平面，所以平面平面， 所以即为点的轨迹， 因为， 所以， 设， 则， 设为平面的法向量， 则，令，得，， 因为平面， 所以，所以， 解得，则， 又， 所以， 所以. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答碰写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图，估计这人的第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数的估算方法，即可求得答案； （2）确定两组抽取人数，列举出从6人中随机抽取2人的样本空间，根据古典概型的概率公式，即可求得答案. 【小问1详解】 设第80百分位数为，前三组频率之和为， 前四组频率之和为， 故， 解得： 【小问2详解】 由样本频率估计总体频率，在和两区间内频率分别为0.2，0.1， 区间应抽取（人），设为，，，甲， 区间应抽取（人），设为，乙， 则从6人中随机抽取2人的样本空间为： ，，甲，乙，，，甲，乙，，甲，乙，，甲乙，甲，乙，共15个基本事件， 记“甲、乙两人至少有一人被选上”， 则甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲乙，甲，乙，共9个基本事件， 所以， 故甲、乙两人至少有一人被选上的概率为． 16. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，． （1）证明：平面PAD； （2）若为等边三角形，求点C到平面PBD的距离． 【答案】（1） 因为，所以， 又因为，所以，则． 因为平面平面ABCD，且平面平面，平面ABCD， 所以平面PAD． （2）． 【解析】 【分析】（1）根据梯形边长利用勾股定理可得，再利用面面垂直的性质定理可得结论； （2）利用面面垂直的性质可得三棱锥的高为，再利用等体积法计算即可求得点C到平面PBD的距离为. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在面PAD内过点P作,垂足为O，因为平面平面ABCD，且平面平面， 所以平面ABCD，如下图所示： 因为， 由（1）知平面PAD，由面PAD可得， 在中，，而， ． 设点C到平面PBD的距离为h， 由得，解得， 所以点C到平面PBD的距离为． 17. 的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若点在上，且满足，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理、三角恒等变换，结合三角形内角的取值范围、特殊角的三角函数值求解即可； （2）利用向量的线性运算、余弦定理、基本不等式、三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 ， 由正弦定理得， ， ， ， ， ， ， ， . 【小问2详解】 ， ， ， 又， ， ， ，当且仅当时，等号成立， 的面积， 即面积的最大值为. 18. 已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）． （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长． 【答案】（1） 因为四边形是边长为4的菱形，并且， 所以均为等边三角形， 故，且， 因为平面平面，且， 所以平面 因为平面，所以． （2） 【解析】 【分析】（1）要证，只需证平面，只需证，由题易证； （2）由体积求出的长，建立空间直角坐标系，假设，求出平面的法向量，由余弦值为，求出，进而可求的长. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设到平面的距离为，因为等边三角形的边长为4， 所以三棱锥的体积为，所以， 因为，所以平面， 以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立空间直角坐标系； 则，，设 因为⊥平面，所以是平面的一个法向量， 设平面的法向量为， 又， 故 取，则， 得， 因为二面角的余弦值为， 所以 解得：或（舍去），此时． 19. 王者荣耀是腾讯天美工作室推出的英雄竞技手游，不是一个人的王者，而是团队的荣耀！5v5王者峡谷PVP对战，领略英雄竞技的酣畅淋漓！在游戏中，打野玩家可以选择红开或蓝开，不依赖蓝条的英雄可以优先选择红开．在一把人机对决游戏中，坤坤选出了他的成名英雄典韦，看到敌方阵容前期较弱后，决定入侵敌方的蓝buff．已知人机所选择的英雄红开的概率为且人机只能红开或蓝开，若敌方打野选择蓝开，典韦入侵野区成功的概率为，若敌方选择红开，典韦入侵野区成功的概率为，回答下列问题 （1）坤坤连续进行了三场对局，且每场对局敌我阵容完全相同，求坤坤至少一局，最多两局成功入侵敌方野区的概率 （2）在某场单挑对决中，敌方选取老夫子并准备向坤坤的典韦发起进攻．已知典韦与老夫子的距离为，老夫子的大招指可以将典韦控制在一定范围内无法移动，为了避免被控制，坤坤迅速释放一技能位移（位移方向与老夫子大招方向的位移方向相同），已知典韦一技能位移可看作为加速度为，初速度的匀加速直线运动，老夫子的大招位移可看作速度为的匀速直线运动，且最大位移距离为8，若要求典韦能够躲开老夫子大招的控制，求典韦的加速度的最小值. (参考公式： ①匀加速直线运动，位移与初速度，加速度和时间的关系：； ②匀速直线运动，末速度与初速度，时间和加速度的关系为： 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用互斥事件的概率加法公式，求出每一局游戏典韦成功入侵和入侵失败的概率，再求三局全部成功和三局全部失败的概率，最后运用间接法即可求得； （2）设二者经过秒后速度相同，依题意，只需使在时恒成立，即使在上恒成立，求出函数的最大值即得. 【小问1详解】 不妨求三局全部成功（事件A）或三局全部失败（事件B）的概率， 若敌方红开，则成功入侵的概率为：， 若敌方蓝开，则成功入侵的概率为：， 因此由互斥事件的概率加法公式知，每一局游戏典韦成功入侵的概率都是， 每一局游戏典韦失败的概率是， 则 ， . 因此 即坤坤至少一局，最多两局成功入侵敌方野区的概率为. 【小问2详解】 由题设可得2秒后老夫子不移动. 设典韦移动时间为且不被老夫子追上， 则， 因时显然成立，故不等式等价于，记， 由可知，故得. 综上，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河北正定中学高二上学期第一次月考 数学 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案书写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将答题卡交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若直线的一个方向向量为，则它的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 已知动点在所在平面内运动，若对于空间中不在平面上的任意一点，都有，则实数的值为（ ） A. 0 B. 2 C. D. 3. 端午节是我国传统节日，甲，乙2人端午节期间来无锡旅游的概率分别是，假定2人的行动相互之间没有影响，那么甲，乙2人端午节期间至少有1人来无锡旅游的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 已知直线：，直线：，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 已知正四面体ABCD的棱长为2，E是BC的中点，F在AC上，且，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，，若，则直线的倾斜角的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 将95，96，97，98，99这5个数据作为总体，从这5个数据中随机选取2个数据作为一个样本，则该样本的平均数与总体平均数之差的绝对值不超过1的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记录骰子朝上面的点数，若用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验结果，设事件；事件：至少有一颗点数为5；事件；事件.则下列说法正确的是（ ） A. 事件与事件为互斥事件 B. 事件与事件为互斥事件 C. 事件与事件相互独立 D. 事件与事件相互独立 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知复数z满足，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. 复数z的虚部为 D. 在复平面内，复数z对应的点位于第四象限 10. 在中，角所对的边分别为，，，O为的外接圆的圆心，则下列结论正确的是（ ） A. B. 的外接圆的半径为2 C. D. 面积的最大值为 11. 化学中经常碰到正八面体结构（正八面体是每个面都是正三角形的八面体），如六氟化硫（化学式）、金刚石等的分子结构．将正方体六个面的中心连线可得到一个正八面体（如图1），已知正八面体（如图2）的棱长为2，则下列说法正确的是（ ） A. 正八面体内切球的表面积为 B. 正八面体外接球的体积为 C. 若点为棱上的动点，则的最小值为 D. 若点为棱上的动点，为正八面体的内切球的直径，则的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的部分图象如图所示，则______．    13. 已知函数是定义在上的偶函数，且，则______． 14. 在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，PA＝AB＝2，点E，F分别为CD，CP的中点，点T为△PAB内的一个动点(包括边界)，若CT∥平面，则点T的轨迹的长度为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答碰写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 2022年7月1日是中国共产党建党101周年，某党支部为了了解党员对党章党史的认知程度，针对党支部不同年龄和不同职业的人举办了一次“党章党史”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图 （1）根据频率分布直方图，估计这人的第80百分位数； （2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任“党章党史”的宣传使者．若有甲（年龄36），乙（年龄42）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率． 16. 在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，． （1）证明：平面PAD； （2）若为等边三角形，求点C到平面PBD的距离． 17. 的内角的对边分别为，已知 （1）求； （2）若点在上，且满足，求面积的最大值. 18. 已知边长为4的菱形（如图1），与相交于点为线段上一点，将三角形沿折叠成三棱锥（如图2）． （1）证明：； （2）若三棱锥的体积为8，二面角的余弦值为，求的长． 19. 王者荣耀是腾讯天美工作室推出的英雄竞技手游，不是一个人的王者，而是团队的荣耀！5v5王者峡谷PVP对战，领略英雄竞技的酣畅淋漓！在游戏中，打野玩家可以选择红开或蓝开，不依赖蓝条的英雄可以优先选择红开．在一把人机对决游戏中，坤坤选出了他的成名英雄典韦，看到敌方阵容前期较弱后，决定入侵敌方的蓝buff．已知人机所选择的英雄红开的概率为且人机只能红开或蓝开，若敌方打野选择蓝开，典韦入侵野区成功的概率为，若敌方选择红开，典韦入侵野区成功的概率为，回答下列问题 （1）坤坤连续进行了三场对局，且每场对局敌我阵容完全相同，求坤坤至少一局，最多两局成功入侵敌方野区的概率 （2）在某场单挑对决中，敌方选取老夫子并准备向坤坤的典韦发起进攻．已知典韦与老夫子的距离为，老夫子的大招指可以将典韦控制在一定范围内无法移动，为了避免被控制，坤坤迅速释放一技能位移（位移方向与老夫子大招方向的位移方向相同），已知典韦一技能位移可看作为加速度为，初速度的匀加速直线运动，老夫子的大招位移可看作速度为的匀速直线运动，且最大位移距离为8，若要求典韦能够躲开老夫子大招的控制，求典韦的加速度的最小值. (参考公式： ①匀加速直线运动，位移与初速度，加速度和时间的关系：； ②匀速直线运动，末速度与初速度，时间和加速度的关系为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $