15.3.1 等腰三角形（ 等角对等边、尺规作等腰三角形和等腰三角形的性质与判定） 同步评价试题 2026-2027学年人教版数学八年级上册

15.3.1 等腰三角形（ 等角对等边、尺规作等腰三角形和等腰三角形的性质与判定） 同步评价试题 2026-2027学年上学期初中数学人教版（新教材）八年级上册 一、单选题 1．如图，在中，以点O为圆心，以适当长度为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，连接，过点P作交于点D，则和正确的关系是（   ） A． B． C． D． 2．如图，点为右侧一点，连接、，，，若，，则的周长为（   ） A．10 B．9 C．8 D．7 3．如图，在中，平分交于点，，交于点．若，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，交于点F．若，，，则的周长是（   ） A．17 B．20 C．22 D．26 5．如图，已知直线，线段分别与直线m，n相交于点、点，以点为圆心，的长为半径画弧交直线于点、点．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．如图，已知为内一点，平分，若，，则的长为（   ） A．1 B． C．2 D．3 7．在中，，，点D，E分别在边，上，将沿直线翻折，使点A落在点F处．关于结论Ⅰ、Ⅱ，下列判断正确的是（　　） 结论Ⅰ：如图，当点F落在边上，且时，； 结论Ⅱ：若是以为腰的等腰三角形，则或． A．只有结论Ⅰ正确 B．只有结论Ⅱ正确 C．结论Ⅰ、Ⅱ都正确 D．结论Ⅰ、Ⅱ都不正确 二、填空题 8．如图，在中，平分，，，，则______． 9．在中，，和的平分线分别交于点G、F，若，，求___________． 10．已知、，点C在x轴上，若是等腰三角形，则满足这样条件的C有 _____个． 11．如图，在中，和的平分线相交于点，过点作交于点，交于点，过点作于，下列四个结论：；；点到各边的距离相等；设，，则．其中，正确的是______（只填写序号）    12．如图，在中，为的中点，点在边上（不与端点重合），将射线绕点顺时针旋转后与交于点，则四边形的面积是_______． 三、解答题 13．如图，在中，，的平分线交于点，过点作的垂线交于点，交于点． (1)求证：为等腰三角形； (2)若，，求的长． 14．如图，已知是延长线上一点，的平分线与的平分线交于点，过作的平行线，交于，交于．求证：． 15．如图，在中，是的平分线，过点作的平行线，交的延长线于点．于点． (1)若，求和的度数； (2)若，求的长． 16．如图，，以点为圆心，小于长为半径作圆弧，分别交，于，两点，再分别以，为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于点，作射线，交于点． (1)若，求的度数； (2)若，垂足为，求证：． 17．如图，四边形中，，，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 B B C B C A B 1．B 本题考查角平分线的作图和平行线的性质，等角对等边．观察可得平分，根据角平分线的定义求得，根据平行线的性质求得，得出，再根据等角对等边以及三角形三边关系即可求解． 解：由作图可得：平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由三角形三边关系得 故选：B． 2．B 本题考查了等角对等边．根据等角对等边求得，再根据三角形的周长公式求解即可． 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴的周长为， 故选：B． 3．C 本题考查了角平分线性质、平行线性质、以及等角对等边的性质等，进行线段的等量代换是正确解答本题的关键． 首先根据角平分线的性质得出，进而利用平行线的性质得出，即可得出进而求出即可． 解：平分交于，   ，   ，   ，   ，   ，   ，   ． 故选：C． 4．B 本题主要考查平行线的性质、角平线的定义、等角对等边等知识点；灵活运用等角对等边以及平行线的性质成为解题的关键．运用平行线性质及角平线定义可得，由等角对等边可得，，然后根据线段的和差及等量代换即可解答． 解：∵，的平分线交于点D， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长为 ， 故选：B 5．C 本题主要考查了尺规作图，等腰三角形的性质，平行线的性质等知识点，先由尺规作图得出，由等边对等角得出，进而即可得解，熟练掌握等边对等角及平行线的性质是解决此题的关键． ∵以点A为圆心，的长为半径画弧交直线m于点B、点D， ∴, ∴， ∵, ∴， ∵， ∴， 故选：C． 6．A 本题主要考查等腰三角形的判定与性质，关键在于正确地作出辅助线，构建等腰三角形． 延长与交于点E，由可推出，依据等角的余角相等，即可得等腰三角形，可推出，根据，，即可推出的长度． 解：延长与交于点E， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 又平分， ∴， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故选：A． 7．B 本题考查翻折变换的性质、等腰三角形的性质、三角形内角和定理； 由折叠可得，， 根据垂直得， 则， 即可得到， 可判断结论Ⅰ错误；分两种情况：若， 则， 根据三角形的内角和求出的度数； 若， 则， 根据三角形的内角和求出的度数，可判断结论Ⅱ正确，解答即可． 解：∵，，将沿直线翻折，点A落在点F处， ∴，，， ∵点F落在边上，且， ∴， ∴， ∴， 故结论Ⅰ错误； 若是以为腰的等腰三角形，且，则， ∴， ∴； 若是以为腰的等腰三角形，且，则， ∴， ∴， ∴或， 故结论Ⅱ正确， 故B符合题意，而A、C、D都不符合题意， 故选：B． 8．8 本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定，角平分线的意义等知识，构造三角形全等是解题的关键； 在上取点E，使，连接，则由角平分线的性质可证明，从而有，则可得，有，再由即可求解． 解：如图，在上取点E，使，连接， ∵平分， ∴； 在与中， ， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：8． 9．12 本题考查了角平分线的定义、等腰三角形的判定与性质、平行线的性质，熟练掌握利用角平分线的定义和平行线的性质可证等腰三角形是解题的关键． 根据角平分线的定义和平行线的性质可证和是等腰三角形，从而可得，，进而可得，然后进行计算即可解答． 解：∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴，， ∵，， ∴==， 故答案为：12． 10．4 本题考查了等腰三角形的性质和判定的应用，分，，三种情况，根据等腰三角形性质即可求解． 解：以B为圆心，以为半径画弧，交x轴于，两点，此时； 以A为圆心，以为半径画弧，交x轴于点，此时； 作的垂直平分线交x轴于，此时， 满足这样条件的C有: （个）， 故答案为：4． 11． 根据角平分线的定义和三角形的内角和定理，即可求得正确；由角平分线的定义和平行线的性质得出，，进而得出正确；过点作于，作于，连接，由角平分线的性质定理得出，然后利用三角形的面积公式即可得出正确；由角平分线的性质定理得出，于是可得结论正确． 解：在中，和的平分线相交于点， ，， ， ， 结论正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， ，， ，， ，， ， 结论正确； 如图，过点作于，作于，连接，   在中，和的平分线相交于点， ，， ， 又， ， 结论正确； 在中，和的平分线相交于点， ，， ， 即点到各边的距离相等， 结论正确； 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，三角形的内角和定理，平行线的性质，等腰三角形的判定，角平分线的性质定理，三角形的面积公式等知识点，熟练掌握相关知识点并能加以综合运用是解题的关键． 12．9 本题主要考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，旋转的性质．连接，证明，可得，从而得到四边形的面积，即可求解． 解：如图，连接， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 根据题意得：， ∴， ∴， 即， 在和中， ∵，，， ∴， ∴， ∴四边形的面积． 故答案为：9 13．(1) 证明：， ， 又平分， ， 又在和中 ， ， ， 为等腰三角形； (2)5 本题考查了等腰三角形的判定和性质，线段垂直平分线的性质，三角形的内角和，等腰三角形的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得到，由角平分线的定义得到，根据三角形的内角和得到，得到，于是得到结论； （2）连接，根据等腰三角形的性质得到垂直平分，得到，由等腰三角形的性质得到，等量代换得到，于是进一步得到，利用即可得出结论． （1）略 （2）如图，连接， 平分， 垂直平分， ， ， ， ， 又， ， 又中，， ， ， ． ． 14． 证明：、是与的角平分线， ，． ， ，， ，， ， ． 本题考查了等腰三角形的判定与性质，角平分线的定义以及平行线的性质．首先根据角平分线的定义和平行线的性质进行角之间的等量代换，得到，，根据等角对等边得到是等腰三角形，然后进行边之间的等量代换即可证明结论． 略 15．(1)， (2) 此题主要考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握等腰三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键． （1）根据角平分线定义得，再根据得，，然后根据得，进而可得的度数； （2）先根据角平分线定义得，再根据得，，则，由此得，则，再证明得，继而得，据此即可求出的长． （1）解： 是的平分线，， ， ，， ，， ， ， ， 故；； （2）解：是的平分线， ， ， ，， ， 是等腰三角形， ， ， ，即， ， ， 又，， ， ， ， ， ． 16．(1) (2) 证明：， ， 平分， ， ， ， ． 本题考查了角平分线的作法，平行线的性质，等腰三角形的判定及性质；理解角平分线的作法，掌握等腰三角形的判定及性质是解的关键． （1）由作法得平分，结合平行线的性质，即可求解； （2）由等角对等边得，由等腰三角形的性质，即可得证． （1）解：， ， ， 由作法得， 平分， ； （2）略 17． 本题考查了等腰三角形的性质与判定、全等三角形的性质与判定、直角三角形的性质，熟练掌握相关知识点是解题的关键．过点作于点，根据等角对等边得到，再由得到，，推出，再通过证明得到，再利用直角三角形的性质即可求出的度数． 解：如图，过点作于点， ， ， 又， ，， ， ， ， ， 在和中 ， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $