15.3 第2课时 等腰三角形的判定-【通成学典·拔尖特训】2026-2027学年八年级上册数学（人教版·新教材）

拔尖特训·数学（人教版）八年级上 第2课时等腰三角形的判定 一阶·基础通关 融通新授知识，夯实双基▲ 1.[2025陕西中考]如图，在△ABC中，点D在边BC上，∠ADB=2∠C.若AB=5,BC=6,则 △ABD的周长为 () A.8 B.10 C.11 D.12 DE (第1题) (第2题) (第3题) 2.如图，在△ABC中，AB=AC,∠BAC=108°，AD,AE三等分∠BAC,图中共有等腰三角形 个. 3.如图，在△ABC中，∠A=∠ABE,CD平分∠BCE,且CD⊥BE于点D,AC=5,BC=3,则DE 的长为 4.如图，在△ABC中，AC=BC,AD平分∠BAC交BC于点D,过点A作AE⊥AD,过点D作 DEAB,DE与AE相交于点E,DE交AC于点F. (1)若∠C=72°，求∠E的度数. (2)方程思想求证：△AEF是等腰三角形 (第4题) 月二阶·素能攀升 强化运用能力，提升素能▲ 5.数形结合思想在平面直角坐标系中，O为坐标原点，已知点A(2,3),在坐标轴上找一点P,使得 △AOP是等腰三角形，则这样的点P的个数为 () A.5 B.6 C.7 D.8 6.如图，在△ABC中，AB=AC,点M在CA的延长线上，MN⊥BC于点N,交AB于点O.若 AO=3,BO=4,则MC的长为 () A.12 B.9 C.10 D.11 B DE (第6题) (第7题) 7.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD⊥BC于点D,EF是AC的垂直平分线，分别交BC,AC于 点E,F.若△ABC的周长为26，AC=10,则DC的长为 52 第十五章轴对称 8.如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点D,点D在AB的垂直平分线上，AB=AE, AC-BD. (1)求证：△ACE为等腰三角形 (2)设∠BAE=0,求∠ABE的度数. (第8题) 微专题·角平分线+平行线→等腰三角形 1.如图，在△ABC中，BC=7,∠ABC和∠ACB的平分线相交于点D,过点D作BC的平行线 交AB于点E,交AC于点F,若△AEF的周长为14，则△ABC的周长为 (第1题) 2.如图，在△ABC中，AB=AC.过点A作ADBC,交∠ACB的平分线于点D,连接BD. (1)求证：△ABD是等腰三角形. (2)若∠BDC=20°，求∠ADC的度数， (第2题) “答案与解析”见P32537.9 思路导引 AC=AB AB=BD,∠ABD=90° 作垂直将三线合一 构造一线三直角模型 BE2BC-3,∠AEB=90° 作DF⊥CB的延长线 于点F △AEB≌△BFD BE=DF=3求得△BCD的面积 如图，过点A作AE LBC,垂足为E,过点D作DF⊥CB, 交CB的延长线于点F,.∠AEB=∠DFC=90°. ∴.∠DBF+∠BDF=90°.∠ABD=90°，∴.∠ABE+ ∠DBF=90°.∴.∠ABE=∠BDF.AB=AC,AE⊥ BC,.BE-2BC-3.:AB=BD,.△AEB≌△BFD (AAS.BE=DF=3..△CD的面积=号BC· D=2x6X8=9 E B F (第7题) 8.(1):AB=AC,∠BAC=100°，∴.∠ABC=∠ACB= 40°.：BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠DBC=20° BD=AB,∴.∠ADB=∠DAB=80°.∴.∠CAD=20 ∴.∠CAD=∠DBC.(2)如图，延长AD到点E,使得 AE=BC,连接EC.:AB=AC,BD=AB,∴.BD=AC. 又：BC=AE,∠CAD=∠DBC,∴.△DBC≌△CAE. .CD=EC,∠BDC=∠ACE.∴.∠CDE=∠CED.设 ∠CDE=∠CED=a.:'∠ADB=80°，∴.∠BDE=100°. ∴.∠BDC=∠ACE=100°+a.:在△ACE中，20°+ 100°+a+a=180°，∴.a=30°..∠BDC=130°. D B E (第8题) 9.(1)DE=FB.理由：，△ACD,△BCE分别是以AC, BC为底边的等腰三角形，'.∠A=∠DCA,∠ECB= ZEBC,CE=BE,AD=CD.EF=AD,.EF=CD. '∠A=∠EBC,.∠A=∠ECB=∠DCA=∠EBC. .AD∥CE,DC∥BE.∴.∠ADC=∠DCE,∠DCE= CD=EF, ∠CEB.在△DCE和△FEB中，{∠DCE=∠FEB, CE=EB, .△DCE≌△FEB(SAS)..DE=FB.(2)∠BGE= 2∠GBC.理由：由(1)，可知∠A=∠ECB=∠CBE=a, △DCE≌△FEB.∴.∠DEC=∠GBE.:'∠GBE= ∠CBE-∠GBC=a-∠GBC,∴.∠DEC=a-∠GBC. :∠BGE+∠DEC+∠EFG=18O°，∠ECB+∠GBC+ ∠CFB=180°，∠EFG=∠CFB,.∴.∠BGE+∠DEC= ∠ECB+∠GBC.∴.∠BGE+a-∠GBC=a+∠GBC. ∴.∠BGE=2∠GBC. 第2课时等腰三角形的判定 1.C:∠ADB是△ADC的外角，∴.∠ADB=∠C+ ∠DAC.又'∠ADB=2∠C,∴.∠C=∠DAC.∴.△ACD 是等腰三角形.∴.AD=DC.'△ABD的周长=AB十 BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC,AB=5,BC=6, .△ABD的周长=5+6=11. 2.6:AB=AC,∠BAC=108°，.∠B=∠C=36°. .∴.△ABC是等腰三角形..∠BAC=108°，AD,AE三等 分∠BAC,∴.∠BAD=∠DAE=∠EAC=36. .∠DAC=∠BAE=72.∴.∠AEB=∠ADC=72 .BD=AD AE CE,AB BE AC CD. ∴.△ABE,△ADC,△ABD,△ADE,△AEC是等腰三角 形.∴.题图中共有等腰三角形6个 3.1∠A=∠ABE,∴.AE=BE.,CD平分∠BCE, 且CD⊥BE,∴.∠CDB=∠CDE=90°，∠BCD=∠ECD. :'∠CBD+∠CDB+∠BCD=180°，∠CED+∠CDE+ ∠ECD=180,.∠CBD=∠CED.∴.CB=CE=3. CDLBE,'.BD-ED-7 BE-TAE.AC-5. ∴.AE=AC-CE=2.∴.BE=AE=2..DE=1. 4.(1)在△ABC中，AC=BC,∠C=72°，.∠B= 1 ∠BAC=2(180°-∠C)=54°.：AD平分∠BAC交BC 1 于点D,∠BAD=2∠BAC=2.·AE⊥AD, ∴.∠DAE=90°.，∴.∠BAE=∠BAD十∠DAE=27°+ 90°=117.DE∥AB,∴.∠E+∠BAE=180°.∴.∠E= 180°-∠BAE=180°-117°=63°.(2)：AD平分 ∠BAC交BC于点D,.设∠BAD=∠CAD=a. AE⊥AD,.∠DAE=90°..∠BAE=∠DAE+ ∠BAD=90°+a,∠FAE=∠DAE-∠CAD=90°-a. DE∥AB,∴.∠E+∠BAE=180°.∴.∠E=180° ∠BAE=180°-(90°+a)=90°-a..∠FAE=∠E= 90°-a.∴.FA=FE.∴.△AEF是等腰三角形 5.D分三种情况讨论，即A,O,P三点分别为△AOP的 顶，点时，作出图形如图所示，可知使得△AOP是等腰三角 形的点P的个数为8 (第5题) 6.CAB=AC,∴.∠B=∠C.MN⊥BC, ∴.∠MNC=∠MNB=90°.∴.∠B+∠BON=90°，∠C+ ∠M=90°.∴.∠M=∠BON.'∠BON=∠MOA, ∴.∠M=∠MOA.∴.AM=AO=3.:'BO=4,∴.AB= AC=AO+BO=7...MC=AM+AC=10. 7.8如图，连接AE.△ABC的周长为26，∴.AB+ AC+BC=26.AC=10,∴.AB+BC=26-10=16. :EF是AC的垂直平分线，∴.EA=EC.∴.∠1=∠C ∴.∠2=∠1+∠C=2∠C.:∠B=2∠C,∴∠B=∠2. .AB=AE..AB=CE.AD⊥BC,∴.BD=DE .AB+BC=AB+BE+CE=CE+2DE+CE=2CE+ 2DE=2CD=16.∴.CD=8. 2A B DE (第7题) 8.(1):'AE平分∠BAC,∴.∠CAE=∠BAE.设∠CAE= ∠BAE=a.点D在AB的垂直平分线上，∴.AD=BD. ∴.∠BAD=∠ABD=a..∠ADC=∠BAD+∠ABD= 2a..AC=BD,AD=BD,.AC=AD.∴.∠ACD= ∠ADC=2a.又.'∠BAC=∠BAD+∠CAD=2a, .∠BAC=∠BCA.∴AB=BC.AE=AB,∴.AE BC,AD+DE=BD+DC..AD=BD,.DE=DC. ∴.∠DEC=∠DCE.又：∠ADC=∠DEC+∠DCE= 2a,∴.∠DEC=a=∠CAE..AC=EC.∴.△ACE为等 腰三角形.(2)：AE平分∠BAC交BC于点D, ∴.∠CAE=∠BAE=0.由(1)，可得∠ACD=∠ADC= 20.又∠CAE+∠ACD+∠ADC=180°，.0+20+ 20=180°..0=36°..∠BAE=36°.AE=AB, ·∠ABE=2X(180°-36)=72. 一微专题·角平分线+平行线一→等腰三角形 1.21BD平分∠ABC,.∠EBD=∠CBD. .EF∥BC,∴.∠EDB=∠DBC.∴.∠EDB=∠EBD. ∴.ED=EB.同理可得，FD=FC.∴.BE+CF=DE+ DF=EF.:△AEF的周长=AE+AF+FE=AE+ AF+BE+CF=AB+AC=14,∴.△ABC的周长= AC+AB+BC=14+7=21. 2.(1)AD∥BC,∴.∠ADC=∠DCB..CD平分 ∠ACB,∴.∠ACD=∠DCB.∴.∠ADC=∠ACD. ∴AD=AC.·AB=AC,∴AD=AB.∴.△ABD是 等腰三角形.(2)设∠ADC=x.由(1)，可得∠ADC- ∠ACD=∠DCB=x.∴.∠ACB=∠ACD+∠DCB= 2x.:AB=AC,∴.∠ABC=∠ACB=2x.:'∠BDC= 20°，∴.∠ADB=∠ADC+∠BDC=x+20°.：AD= AB,∴.∠ADB=∠ABD=x+20°.∠BDC+ ∠DBC+∠DCB=180°，.∴.∠BDC+∠ABD+ ∠ABC+∠DCB=180°..20°+x+20°+2x+x= 180°，解得x=35°.∴.∠ADC=35°. 第3课时等边三角形的性质与判定 1.D:△ABC是等边三角形，∴.BC=AB=AC=6. BD是∠ABC的平分线，CE=CD,.CE=CD= AC=3.·BE=BC+CE=9. 1 2.C:△ABC是等边三角形，∴.∠ACB=60°. '∠ACB=∠CGD+∠CDG,∴.∠CGD+∠CDG=60 CG=CD,∴.∠CGD=∠CDG=30°.∠CDG= ∠DFE+∠E,∴.∠DFE+∠E=30°.DF=DE, ∴.∠E=∠DFE=15°. 3.5:△ABC是等边三角形，∴.∠B=∠C=60°，AB= BC=AC.:EF∥BC,∴.∠AEF=∠B=60°，∠AFE= ∠C=60°..∠AEF=∠AFE=60°.∴AE=AF. ∴.△AEF是等边三角形.∴.EF=AE.△ABC的周长 为21，.AB=7.又·BE=2,∴.AE=ABBE=7一2= 5..EF=AE=5.