陕西部分校2026-2027学年高二第一学期阶段性检测(一) 数学试卷

2026～2027学年高二第一学期阶段性检测卷（一） 数学 （试卷满分：150分，考试时间：120分钟） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；回答非选择题时，用0.5 mm的黑色字迹签字笔将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 3．考试结束后，请将答题卡上交． 4．本卷主要命题范围：必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册第一章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．命题“，”的否定是 A．， B．， C．， D．， 2．已知向量，则的值为 A． B． C． D． 3．如图，直三棱柱中，若，，，则 A． B． C． D． 4．与向量同向的单位向量为 A． B． C． D． 5．向量，，，若，，则，的夹角大小为 A． B． C． D． 6．已知，则 A． B． C． D． 7．在空间直角坐标系中，已知，，，则点到直线的距离为 A． B． C． D． 8．若定义在上的偶函数在区间上单调递增，且，则满足的的取值范围为 A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数，，则 A． B． C．为纯虚数 D．在复平面内，复数所对应的点位于第四象限 10．在空间直角坐标系中，已知点，，，则下列结论正确的有 A．点关于轴对称的点的坐标为 B．若，且，则 C．若，且，则 D．在上的投影向量为 11．如图，在直三棱柱中，，，为上一点，为上一点，，（），则 A．直线和为异面直线 B．异面直线与的夹角为 C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．某次期中考试随机抽取了12名同学的数学成绩作为样本，分别是53，59，61，62，67，75，77，80，82，86，90，93．则这组数据的60百分位数为__________． 13．若直线的一个方向向量与平面的一个法向量的夹角为，则直线与平面所成的角为__________． 14．若实数，且，则的最小值为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤． 15．（本小题满分13分）已知指数函数（）的图象过点． （1）求，的值； （2）求关于的不等式的解集． 16．（本小题满分15分）已知向量，． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 17．（本小题满分15分）在中，内角，，的对边分别为，，，且． （1）求角的大小； （2）若，且，求的面积． 18．（本小题满分17分）如图，在直四棱柱中，四边形是矩形，，，点是棱上的一点，且． （1）求证：四边形为正方形； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 19．（本小题满分17分）如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）若与底面所成角为，平面平面，求平面与平面的夹角． 学科网（北京）股份有限公司 $2026~2027学年高二第一学期阶段性检测卷（一)·数学 参考答案、提示及评分细则 1.B2.C3.B4.A5.B6.D7.A8.C 9.AC 10.BC 11.BCD π 12.8013.614.4 15.解：4)由题知指数函数f(,则b2+4h-4=1,得b=1或b=5,又b>0,b=1, …3分 a2=2 图象经过 解得a=2, …6分 (2)a=2,以2为底的对数函数在其定义域内是单调递增的，…8分 3 3-2x>0, X< x-1>0, →x>1, 3-2x>x-1, 4 X< ∴满足条件 3’:不等式的解集为 …13分 16.解：1)a=(2,-1,2).万=(1,41) .2a=(4,-2,4) …3分 2ā-万=(3，-6,3). .2a-6=V32+(-6)+32=3v6 。。。。。。。。 …7分 (a+2b)(a-b) cos0= (2)设ā+2b与-b的夹角为0，则 a+26a-6 …10分 a+26=(47,4).a+26=9 …11分 a-6=(1,-5,).a-=35 。。。。。。。。。。。。 …12分 cos0=4x1+7×(-5)+4x1-27-V5 9×3W3 275 3 …14分 3 向量石+25与石-b夹角的余弦值为3.…15分 17.解：(1)因为a+b=ccos B-bcosC,由正弦定理得sinA+sinB=sin Ccos B-sin BcosC, …1分 又siA=si(B+C),所以sin BcosC+cos Bsin C+sinB=sin Ccos B--sin BcosC,3分 所以2 sin BcosC+sinB=0 …4分 1 osC=- 又sinB>0,解得 2 …5分 ,Cs2元 又0<C<元，则3； …6分 a b sinA sinB sinC sin =2 2π 1212 (2)若c=V3,所以 3 ,所以sinA a,sinB b,…8分 11=4 2.2 二+二=4 又sin A sinB,所以ab,所以a+b=2ab, …10分 cosC=a+b-c21 2ab2,所以a2+b+ab-3=0, 所以(a+b-ab-3=(2ab)-b-3=(ab-14ab+3)=0,解得ab=1,13分 1 AABC=2 absin C=x -×l×sin 所以 34 …15分 18.(1)证明：连接DB,如图所示，在直四棱柱ABCD-AB,CD中，BB,上平面ABCD, 又ACC平面ABCD,所以BB⊥AC …1分 又AC⊥DB,BB∩DB=B,BB,DBC平面BDB,所以AC⊥平面BDB,4分 又BDC平面BDB,所以AC⊥BD,又四边形ABCD是矩形，所以四边形ABCD为正方形；7分 A B (2)解：以D为坐标原点，DA,DC,DD所在的直线分别为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标 系， 知图所示所45a0.cQ2.0,n@a2),Paa) m-aa.c-ai)丽-(5a到 …9分 EA=2x-42=0 4 设平面P4C的一个法向量为元=(x八2)，所以 EC z=0 令2=3，解得x=22,y=2V2 所以平面P1C的-个法向量为i=(22,22,3) …13分 设直线AD与平面PAC所成角的大小为B, sin0=cos(i,AD） n.ADV2×2W2+0×2V2+2×3 √6 AD V6×5 15 所以 √6 即直线AD与平面PAC所成角的正弦值为15.…。 …17分 19.解：(1)取PA的中点为G,连接FG,EG. EC=1AD 因为四边形ABCD是矩形，且点E为BC的中点，所以EC∥AD,且 ,…1分 GF=1AD 又因为F,G分别为PD,PA的中点，所以GFAD,且 2 …3分 所以GFEC,且GF=EC,所以四边形ECFG为平行四边形，…5分 所以CFIIEG,且CF文平面PAE,EGC平面PAE, 所以CF∥平面PAE;… …6分 (2)因为PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形， 所以分别以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系，如图所示 B 因为PB与底面ABCD所成角为45°，即∠PBA=45°，所以PA=AB.…7分 因为过点A作AH⊥PE,垂足为H,因为平面PDE⊥平面PAE,平面PDE∩平面PAE=PE, AHC平面PAE,所以AH⊥平面PDE,DEC平面PDE,所以AH⊥DE.… …8分 又因为PA⊥平面ABCD,DEc平面ABCD,所以PA⊥DE,又因为PA,AHC平面PAE, PA∩AH=A,所以DE⊥平面PAE,AEC平面PAE,所以DE上AE.9分 因为E为BC中点，所以AE=DE,即△AED为等腰直角三角形，即∠EAD=45°， 又因为四边形ABCD是矩形，所以∠BAE=45°，所以AB=BE,即AD=2AB.…10分 设AB=a,则4(00,0)，E(aa,0).C(a,2a,0) P(0,0,a) 则正=ea0.-00o）,7元-u2a.亚-0a到 …11分 设平面PAE的法向量为%=（化，M,乙） AE.n=0 ax+ay =0 x+乃=0 则4P%=0,则a=0 ，因为a>0,即（名=0 ,则=0，令=1，则乃=-1， 所以4=（山，-1,0） …13分 设平面ACF的法向量为几=(，2,2) ax2+2ay2=0 x2+2y2=0 AC.n2=0 a 1 则(4F%,=0 即 @%+23=0 ,即( 4+2=0 令乃=1，则=名3=-2 所以%=(-2,1，-2) 。。。。。。。。。。 …15分 cos=cos(m 厉 3 2 V2×3 设平面PAE与平面ACF的夹角为B,则 π 所以4，即平面PAE与平面ACF的夹角为4.…17分