3.1.2 函数的表示法课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

函数的表示法 第三章 3.1　3.1.2　函数的表示法 索引 1.了解函数的三种表示方法及各自的优缺点. 2.掌握函数图象的作法与应用. 3.会求一些简单函数的解析式. 学习目标 如果一个人极有才华,我们会用“才高八斗”来形容;如果一个人兼有文武才能,我们会用“出将入相”来形容;如果一个人是稀有而可贵的人才,我们会用“凤毛麟角”来形容;如果一个人品行卓越,天下绝无仅有,我们会用“斗南一人”来形容,那么对于不同呈现出来的函数,是否也会有不同的表示方法呢?让我们一起来探究吧. 引入 课时精练 一、函数的表示法 二、作函数的图象 三、求函数的解析式 课堂达标 内容索引 函数的表示法 一 探究 给出下列三个对应关系: ①x,y∈R,y=4x-1; ②存款利率y与存期x对应关系: ③李明购买2B铅笔费用与铅笔支数的关系如图所示. 存期x个月 3 6 12 24 36 利率y 0.011 0.013 0.015 0.021 0.0275 6 结合初中所学,它们分别是用什么形式表达两个变量x,y之间的对应关系的?它们是否都是函数关系? 提示　分别用解析法、列表法、图象法表示对应关系,都是函数关系. 7 函数的三种表示方法 知识梳理 解析式 图象 表格 表示法 定义 解析法 用_________表示两个变量之间的对应关系 图象法 用______表示两个变量之间的对应关系 列表法 列出______来表示两个变量之间的对应关系 8 温馨提示 (1)解析法:能简明全面地概括两个变量间的对应关系,也可以通过解析式求出任何一个变量的函数值,但是缺乏直观;(2)列表法:不需计算即可直接看出表格中自变量的函数值,但表格外的数据没法求解;(3)图象法:能直观形象地表示随着自变量的变化,相应函数值的变化趋势,但是图象法得到的函数值未必准确. (链接教材P67例4)某问答游戏的规则是:共5道选择题,基础分为50分,每答错一道题扣10分,答对不扣分,试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参与者的得分y与答错题目道数x(x∈{0,1,2,3,4,5})之间的函数关系. 例1 (1)该函数关系用列表法表示为: x/道 0 1 2 3 4 5 y/分 50 40 30 20 10 0 (2)该函数关系用图象法表示,如图所示. (3)该函数关系用解析法表示为y=50-10x(x∈{0,1,2,3,4,5}). 10 理解函数表示法的三个关注点 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法,无论是哪种方式表示函数,都必须满足函数的概念. (2)三种表示方法用不同方式表示出了函数自变量与函数值的对应关系,各有优缺点,在解题的过程中,可以选取最适合的方法表示函数,实际操作中多以解析法为主. 思维升华 11 已知函数f(x)=-x-1,x∈{1,2,3,4},试分别用图象法和列表法表示函数y=f(x). 训练1 用图象法表示函数y=f(x),如图所示. 用列表法表示函数y=f(x),如表所示. x 1 2 3 4 y -2 -3 -4 -5 12 作函数的图象 二 13 (链接教材P72习题T3)作出下列函数的图象并指出其值域: (1)y=x2+x(-1≤x≤1); 例2 用描点法可以作出函数的图象如图①所示. 由图可知y=x2+x(-1≤x≤1)的值域为. 14 (2)y=(0<x≤1). 用描点法可以作出函数的图象如图②所示. 由图可知y=(0<x≤1)的值域为[2,+∞). 15 思维升华 描点法作函数图象的三个关注点 (1)画函数图象时首先关注函数的定义域,即在定义域内作图. (2)图象是实线或实点,定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图象. (3)要标出某些关键点,例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等,要分清这些关键点是实心点还是空心圈. 提醒　函数图象既可以是连续的曲线,也可以是直线、折线、离散的点等. 16 作出下列函数的图象: (1)y=1-x(x∈Z);(2)y=x2-4x+3,x∈[1,3]. 训练2 (1)因为x∈Z,所以图象为直线y=1-x上的孤立点,其图象如图①所示. (2)y=x2-4x+3=(x-2)2-1,当x=1,3时,y=0; 当x=2时,y=-1,其图象如图②所示. 17 求函数的解析式 三 18 (1)已知f(x)是二次函数,且满足f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x); 例3 依题意,设f(x)=ax2+bx+c(a≠0), 由f(0)=1,得c=1,则f(x)=ax2+bx+1. 又因为f(x+1)-f(x)=2x对任意x∈R成立, 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-(ax2+bx+1)=2x, 即2ax+a+b=2x. 由恒等式性质,得 所以所求二次函数为f(x)=x2-x+1. (2)已知f(+1)=x+2,求f(x); 法一(换元法)　令t=+1, 则x=(t-1)2,t≥1, 所以f(t)=(t-1)2+2(t-1)=t2-1(t≥1), 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 法二(配凑法)　f(+1)=x+2=(+1)2-1. 因为+1≥1, 所以f(x)的解析式为f(x)=x2-1(x≥1). 20 (3)已知f(x)+2f(-x)=x2+2x,求f(x). ∵f(x)+2f(-x)=x2+2x,① ∴将x换成-x, 得f(-x)+2f(x)=x2-2x.② ∴由2×②-①得3f(x)=x2-6x, ∴f(x)=x2-2x. 21 思维升华 求函数解析式的四种常用方法 (1)待定系数法:若已知f(x)的解析式的类型,设出它的一般形式,根据特殊值确定相关的系数即可. (2)换元法:设t=g(x),解出x,代入f(g(x)),求f(t)的解析式即可.注意换元时t的取值范围. (3)配凑法:对f(g(x))的解析式进行配凑变形,使它能用g(x)表示出来,再用x代替两边所有的“g(x)”即可. (4)方程组法(或消元法):当同一个对应关系中的两个之间有互为相反数或互为倒数关系时,可构造方程组求解. 提醒:写解析式时,应注明定义域. (1)如果f=,则当x≠0且x≠1时,求f(x)的解析式. 训练3 令t=,则x=(t≠0,且t≠1). f(t)==(t≠0,t≠1), 所以f(x)=(x≠0,x≠1). 23 (2)已知2f(x)+f=x(x∈R,且x≠0),求f(x)的解析式. 由 可知f(x)=-(x≠0). 24 【课堂达标】 1.已知f(x)是反比例函数,且f(-3)=-1,则f(x)的解析式为 A.f(x)=- B.f(x)= C.f(x)=3x D.f(x)=-3x √ 由题意设f(x)=(k≠0), 由f(-3)=-1,得=-1,得k=3. 所以f(x)=. 2 3 4 1 2.已知学校宿舍与办公室相距a m,某同学有重要材料要送给老师,从宿舍出发,先匀速跑步3 min来到办公室,停留2 min,然后匀速步行10 min返回宿舍,在这个过程中,这位同学行走的路程s是时间t的函数,则这个函数图象是 √ 2 3 4 1 由题意可得先匀速跑步3 min来到办公室,路程是递增的;停留2 min,路程不发生变化;再匀速步行10 min返回宿舍,总路程也是增加的,只有A符合. 2 3 4 1 3.已知f=,那么f(x)的解析式为______________________________.  由f=可知,函数f(x)的定义域为{x|x≠0,且x≠-1}. 令t=(t≠0且t≠-1),则x=, 所以f(t)==, 故f(x)=(x≠-1,且x≠0). f(x)=(x≠-1,且x≠0) 2 3 4 1 4.已知函数f(2x-1)=3x-5,若f(x0)=4,则x0=____________.  法一　令t=2x-1,则x=, 故f(t)=-5=t-. 因为f(x0)=4,所以x0-=4,解得x0=5. 法二　由已知得 解得 5 2 3 4 1 【课时精练】 √ 1.购买某种饮料x听,所需钱数为y元.若每听2元,用解析法将y表示成x(x∈{1,2,3,4})的函数为 A.y=2x B.y=2x(x∈R) C.y=2x(x∈{1,2,3,…}) D.y=2x(x∈{1,2,3,4}) 由题意得y=2x,x∈{1,2,3,4}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 一、基础巩固 15 16 √ 2.一个面积为100 cm2的等腰梯形,上底长为x cm,下底长为上底长的3倍,则把它的高y(单位:cm)表示成x的函数为 A.y=50x(x>0) B.y=100x(x>0) C.y=(x>0) D.y=(x>0) 由·y=100,得xy=50, ∴y=(x>0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 3.函数f(x)=|x-1|的图象是 √ 由函数解析式可得,函数图象过点(1,0)和(0,1)两点,排除A,C;又f(-1)=2≠0,排除D,故选B. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 4.(多选)已知f(2x-1)=4x2,则下列结论正确的是 A.f(3)=9 B.f(-3)=4 C.f(x)=x2 D.f(x)=(x+1)2 √ f(2x-1)=4x2=(2x-1)2+2(2x-1)+1,故f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,故选项C错误,选项D正确; f(3)=16,f(-3)=4,故选项A错误,选项B正确. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 √ 5.已知函数y=f(x)的对应关系如下表,函数y=g(x)的图象是如图所示的曲线ABC,其中A(1,3),B(2,1),C(3,2),则f(g(2))= 由题图知g(2)=1,∴f(g(2))=f(1)=2. x 1 2 3 f(x) 2 3 0 A.3 B.2 C.1 D.0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 6.函数y=-的图象是 √ 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 根据函数y=-的定义域为(-∞,1)∪(1,+∞)可排除B,D; 再根据当x=2时,y=-1<0,排除A. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 7.下列函数中,对于定义域内的任意x,f(x+1)=f(x)+1恒成立的为 A.f(x)=x+1 B.f(x)=-x2 C.f(x)= D.y=|x| √ 对于A选项,f(x+1)=(x+1)+1=f(x)+1,成立; 对于B选项,f(x+1)=-(x+1)2≠f(x)+1,不成立; 对于C选项,f(x+1)=,f(x)+1=+1,不成立; 对于D选项,f(x+1)=|x+1|,f(x)+1=|x|+1,不成立. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 8.函数f(2x+1)=x2-3x+1,则f(3)=____________.  -1 令2x+1=3,得x=1, 则f(3)=1-3+1=-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 9.已知函数f(x)的定义域为(0,+∞),且f(x)=2f·-1,则f(x)=____________.  +(x>0) 因为f(x)=2f·-1,① 所以f=2f(x)·-1,② 把②代入①得f(x)=+(x>0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 10.已知f=x2+,则f(x)=____________,f(2)=____________.  x2+2 6 f=x2+=+2. 故f(x)=x2+2,则f(2)=22+2=6. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 11.(1)已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)-2f(-x)=1+2x,求f(x). 由题意得,在f(x)-2f(-x)=1+2x中, 以-x代替x可得f(-x)-2f(x)=1-2x, 联立得 消去f(-x)可得f(x)=x-1. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 (2)已知函数f(x)=x2-bx+c且f(1)=0,f(2)=-3,求f(x). 由 故f(x)=x2-6x+5. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 12.函数f(x)=-的图象大致是 √ 根据题意,f(x)=-,其定义域为{x|x≠0},排除A. 当x<0时,f(x)=--=->0,B不正确. 二、综合运用 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 当x>0时,f(x)=-=, 若x∈(0,)时,f(x)<0,则C项不正确. 只有选项D满足. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 13.已知函数F(x)=f(x)+g(x),其中f(x)是x的正比例函数,g(x)是x的反比例函数,且F=16,F(1)=8,则F(x)的解析式为_____________________.  F(x)=3x+(x≠0) 设f(x)=bx(b≠0),g(x)=(a≠0,x≠0), 则 解之得 因此F(x)=3x+(x≠0). 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 14.已知函数f(x)=-x2+2x+3,画出函数f(x)的图象,并根据图象回答下列问题: (1)比较f(0),f(1),f(3)的大小; (2)若x1<x2<1,比较f(x1)与f(x2)的大小; (3)求函数f(x)的值域. 函数f(x)=-x2+2x+3的定义域为R, 列表: x -1 0 1 3 y 0 3 4 0 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 描点,连线,得函数图象如图. (1)根据图象,得f(0)=3,f(1)=4,f(3)=0, 所以f(3)<f(0)<f(1). (2)根据图象,当x1<x2<1时,有f(x1)<f(x2). (3)根据图象,可以看出函数的图象是以(1,4)为顶点,开口向下的抛物线, 因此,函数的值域为(-∞,4]. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 15.(多选)如图所示的四个容器高度都相同.将水从容器顶部一个孔中以相同的速度注入其中,注满为止.用下面对应的图象显示该容器中水面的高度h和时间t之间的关系,其中正确的为 √ √ √ 对于选项A,水面的高度h的增加应是均匀的,因此不正确,其余选项均正确. 三、拓展提高 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 16.设函数f(x)=(a,b为非零常数)满足: (1)f(2)=1;(2)f(x)=x有唯一解,求函数y=f(x)的解析式和f(f(-3))的值及f(x)的值域. 因为f(2)==1. ∴2a+b=2,① 又因为f(x)=x有唯一解, 即=x有唯一解, 所以ax2+(b-1)x=0有两个相等的实数根, 则Δ=(b-1)2=0,∴b=1.② 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 代入①式,得a=. 所以f(x)==. 所以f(-3)==6. 因此f(f(-3))=f(6)==. 又f(x)===2-, 由≠0,知f(x)≠2. 故函数f(x)的值域是{y|y∈R,且y≠2}. 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1 15 16 $