3.1.2 函数的表示法课件-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

3.1.2 函数的表示法 新课导入 新课导入 x -1 0 1 3 5 y 14 7 2 -2 2 新课导入 解析法、图象法和列表法分别从三个不同的角度刻画了自变量与函数值的对应关系．采用解析法的前提是变量间的对应关系明确，采用图象法的前提是函数的变化规律清晰，采用列表法的前提是定义域内自变量的个数较少． 在用三种方法表示函数时要注意： (1)解析法必须注明函数的定义域． (2)列表法必须罗列出所有的自变量与函数值的对应关系． (3)图象法必须清楚函数图象是直线，折线，曲线，或是离散的点．　　 例题讲解 例1 某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走余下的路程．下列图中纵轴表示离校的距离，横轴表示出发后的时间，则较符合该学生走法的是(　　) 解析：由题意可知，一开始速度较快，后来速度变慢，所以开始曲线比较 陡峭，后来曲线比较平缓，又纵轴表示离校的距离，所以开始时距离最大， 最后距离为0. 答案：D　 例题讲解 例1　(2)将一条长为10 cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做一个正方形.试用多种方法表示两个正方形的面积之和S与其中一段铁丝长x(x∈N*)的函数关系． 例题讲解 ②列表法： ③图象法： 概念认知 函数图象与值域 例2 作出下列函数的图象并求出其值域： （1）y＝2x＋1，x∈[0,2]； 注意： 1.画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图． 2.要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等．要分清这些关键点是实心点还是空心圈．　　 针对训练 例题讲解 例题讲解 待定系数法步骤：1.设解析式；2.代值化简；3.求解未知系数；4.下结论 针对训练 1.已知函数f(x)是二次函数，且f(0)＝1，f(x＋1)－f(x)＝2x，求f(x)； 解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)． ∵f(0)＝1，∴c＝1. 又∵f(x＋1)－f(x)＝2x， ∴a(x＋1)2＋b(x＋1)＋1－(ax2＋bx＋1)＝2x， 整理，得2ax＋(a＋b)＝2x. 由恒等式的性质，知上式中对应项的系数相等， 例题讲解 注意：注意换元前后自变量范围的不同 例题讲解 针对训练 2．（1）已知f(x＋1)＝x2－3x＋2，求f(x)． 针对训练 例题讲解 例5 已知函数f(x)对于任意的x都有f(x)－2f(－x)＝1＋2x，求f(x)． 解：由题意，在f(x)－2f(－x)＝1＋2x中， 以－x代x可得f(－x)－2f(x)＝1－2x， 例题讲解 针对训练 新知探究 四、分段函数 如果函数y＝f(x)，x∈A，根据自变量x在A中不同的取值范围，有着不同的对应关系，则称这样的函数为分段函数. 示例： 1 x y O 否，分段函数是一个完整函数，不同解析式在不同条件下成立，需注明范围. 例题讲解 例题讲解 (2)当a≤－2时，a＋1＝3，即a＝2>－2，不合题意，舍去； 当－2<a<2时，a2＋2a＝3，即a2＋2a－3＝0. ∴(a－1)(a＋3)＝0，得a＝1或a＝－3. ∵1∈(－2,2)，－3∉(－2,2)，∴a＝1符合题意； 当a≥2时，2a－1＝3，即a＝2符合题意． 综上可得，当f(a)＝3时，a＝1或a＝2. 例题讲解 (3)当x≤－2时，f(x)>2x可化为x＋1>2x， 即x<1，所以x≤－2； 当－2<x<2时，f(x)>2x可化为x2＋2x>2x， 即x≠0，所以－2<x<0或0＜x＜2； 当x≥2时，f(x)>2x可化为2x－1>2x，则x∈∅. 综上可得，x的取值范围是{x|x＜0或0＜x＜2}． 方法归纳 1．求分段函数函数值的步骤 (1)先确定要求值的自变量属于哪个区间． (2)然后代入该区间对应的解析式求值，直到求出值为止．当出现f(f(x0))的 形式时，应从内到外依次求值． 2．已知函数值求字母取值的步骤 (1)对字母的取值范围分类讨论． (2)代入不同的解析式中． (3)通过解方程求出字母的值． (4)检验所求的值是否在所讨论的区间内．　　 针对训练 针对训练 例题讲解 例7　(1)已知f(x)的图象如图所示，求f(x)的解析式． 例题讲解 例7　 ①用分段函数的形式表示函数f(x)；②画出函数f(x)的图象；③写出函数f(x)的值域． 方法归纳 1．由分段函数的图象确定函数解析式的步骤 2．作分段函数图象的注意点 作分段函数的图象时，定义域内各分界点处的取值情况决定着图象在分界点处的断开或连接，特别要注意端点处是实心点还是空心圈．　　 针对训练 5．设x∈R，则函数y＝2|x－1|－3|x|的值域为_______． 针对训练 针对训练 课堂总结 解：这个函数的定义域为{x|1≤x<10，x∈N*}． ①解析法：S＝2＋2. 将上式整理得S＝x2－x＋，x∈{x|1≤x<10，x∈N*}． 一段铁丝长x/cm 1 2 3 4 5 6 7 8 9 两个正方形的面积之和S/cm2 [解]　(1)当x∈[0,2]时，图象是直线y＝2x＋1的一部分，观察图象可知，其值域为[1,5]． (3)当－2≤x≤2时，图象是抛物线y＝x2＋2x的一部分． 由图可得函数的值域是[－1,8]． (2)y＝，x∈[2，＋∞)； (3)y＝x2＋2x，x∈[－2,2]． [解]　(2)当x∈[2，＋∞)时，图象是反比例函数y＝的一部分，观察图象可知其值域为(0,1]． ∴解得∴f(x)＝x2－x＋1. 例4 已知函数f(＋1)＝x＋2，求f(x)； [解]　(1)法一：换元法 设t＝＋1，则x＝(t－1)2(t≥1)． ∴f(t)＝(t－1)2＋2(t－1)＝t2－2t＋1＋2t－2＝t2－1， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 例4 已知函数f(＋1)＝x＋2，求f(x)； 法二：配凑法 ∵x＋2＝()2＋2＋1－1＝(＋1)2－1， ∴f(＋1)＝(＋1)2－1(＋1≥1)， ∴f(x)＝x2－1(x≥1)． 解：法一：配凑法 ∵f(x＋1)＝x2－3x＋2＝(x＋1)2－5x＋1＝(x＋1)2－5(x＋1)＋6， ∴f(x)＝x2－5x＋6. 法二：换元法 令t＝x＋1，则x＝t－1， ∴f(t)＝(t－1)2－3(t－1)＋2＝t2－5t＋6， 即f(x)＝x2－5x＋6. 联立可得 消去f(－x)可得f(x)＝x－1. 3．已知f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x，求f(x)． 解：∵f(x)＋2f(－x)＝x2＋2x， ① ∴将x换成－x，得f(－x)＋2f(x)＝x2－2x. ② ∴由①②，得3f(x)＝x2－6x， ∴f(x)＝x2－2x. 知f(－5)＝－5＋1＝－4， f(－)＝(－)2＋2×(－)＝3－2. ∵f ＝－＋1＝－，且－2<－<2， ∴f ＝f＝f 2＋2×f ＝－3＝－. 例6　已知函数f(x)＝ (1)求f(－5)，f(－)，f的值； [解]　(1)由－5∈(－∞，－2]，－∈(－2,2)，－∈(－∞，－2]， 例6　已知函数f(x)＝ ( (2) 若 f ( a ) ＝ 3 ，求实数 a 的值； ) 例6　已知函数f(x)＝ ( (3)若f(x)>2x，求x的取值范围． ) （2）当x0≤2时，f(x0)＝x＋2＝8，即x＝6，∴x0＝－或x0＝(舍去)；当x0>2时，f(x0)＝x0＝8，∴x0＝10.综上可知，x0＝－或x0＝10. 4．（1）设f(x)＝则f(f(－2))＝________. （2）函数f(x)＝若f(x0)＝8，则x0＝________. 解析：（1）∵f(－2)＝(－2)2＝4，∴f(f(－2))＝f(4)＝4－2＝2. 令f(x)＝f(1)，得x＝－3，1，3， 所以当f(x)＞f(1)时，必有x∈(－3,1)∪(3，＋∞)． 4．（3）已知函数f(x)＝则不等式f(x)＞f(1)的解集是________． 解析：作出函数f(x)的图象如图所示， 当1<x≤2时，设f(x)＝kx＋b(k≠0)， 则解得此时f(x)＝x－2. 综上，f(x)＝ [解]　(1)当0≤x≤1时，f(x)＝－1； (2)①当0≤x≤2时，f(x)＝1＋＝1， 当－2<x<0时，f(x)＝1＋＝1－x. 所以f(x)＝ ②函数f(x)的图象如图所示． ③由②知，f(x)在(－2,2]上的值域为[1,3)． (2)已知函数f(x)＝1＋(－2<x≤2)． 解析：当x≥1时，y＝2(x－1)－3x＝－x－2； 当0≤x＜1时，y＝－2(x－1)－3x＝－5x＋2； 当x＜0时，y＝－2(x－1)＋3x＝x＋2. 故y＝ 根据函数解析式作出函数图象，如图所示． 由图象可以看出，函数的值域为{y|y≤2}． 6.某超市元旦期间搞促销活动，规定：顾客购物总金额不超过500元，不享受任何折扣；如果顾客购物的总金额超过500元，则超过的部分享受一定的折扣优惠，并按下表折扣分别累计计算： 可享受的折扣优惠金额 折扣率 不超过400元的部分 10% 超过400元的部分 20% 若某顾客在此超市获得的折扣金为60元，求此人购物实际所付金额． 解：设此人购物总金额为x元，可获得购物折扣金额为y元， 则y＝ 当x＝900时，y＝0.1×(900－500)＝40， ∵60>40，∴x>900，∴0.2(x－900)＋40＝60，解得x＝1 000，故此人购物实际所付金额为1 000－60＝940(元). $