26.3二次函数与一元二次方程--教学设计2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3 二次函数与一元二次方程 课题名称 26.3 二次函数与一元二次方程 课型 新授课 教学资源 课件 教学内容解析 内容 二次函数与一元二次方程 内容解析 《二次函数与一元二次方程》是在学生已经学习了二次函数的图象和性质、一元二次方程的解法的基础上，进一步研究两者之间的内在联系。本节课主要内容包括：二次函数与x轴的交点和一元二次方程根的关系、判别式Δ与交点个数的关系、利用二次函数图象求一元二次方程的近似解。 从知识体系来看，本节课起着承上启下的作用：它既是对二次函数图象和性质的应用与深化，又为后续学习二次函数的实际应用奠定基础。通过本节课的学习，学生将建立函数与方程之间的联系，体会数形结合的数学思想。 目标与目标解析 单元整体目标 本章是在学生已经学习了一次函数、反比例函数等知识的基础上，进一步研究二次函数的图象、性质及其应用。本章的主要内容包括：二次函数的概念、二次函数的图象和性质、二次函数与一元二次方程的关系、二次函数的实际应用。二次函数是初中函数体系的重要组成部分，也是中考的重点和难点。 对应课标： ①会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。 ②通过实际问题分析数量关系和变化规律，体会二次函数是刻画现实世界数量关系的重要数学模型。 ③能根据已知条件确定二次函数的表达式。 ④理解二次函数与一元二次方程的关系。 ⑤能利用二次函数解决简单的实际问题。 课时目标 1.理解二次函数与一元二次方程的关系，知道抛物线与x轴的交点对应一元二次方程的根。（几何直观、推理能力） 2.能根据判别式Δ=b²-4ac的值判断抛物线与x轴的交点个数，反之能根据交点个数判断Δ的符号。（运算能力、推理能力） 3.会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。（几何直观、运算能力） 课时目标解析 达成目标1的标志是：学生能说出抛物线与x轴的交点横坐标就是当y=0时一元二次方程的根。 达成目标2的标志是：学生能根据Δ的三种情况（Δ>0、Δ=0、Δ<0）判断交点个数，反之亦然。 达成目标3的标志是：学生能通过观察抛物线与x轴的交点位置，估算方程根的近似值。 学情分析 已有的知识、认知水平 九年级学生已经学习了二次函数的图象和性质，掌握了抛物线的开口方向、对称轴、顶点等基本概念，也学习了一元二次方程的四种解法（直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法），了解了判别式Δ=b²-4ac与方程根的情况的关系。学生具备了一定的数形结合思想基础，能够将函数图象与方程的解联系起来思考问题。 困惑点或探索点 学生容易混淆“函数”和“方程”两个概念，不清楚两者之间的联系；对利用图象求近似解的方法可能不够熟练；对判别式与交点个数的对应关系可能记忆不牢固。 教学 重难点 教学重点 二次函数与一元二次方程的关系，判别式Δ与交点个数的关系。 教学难点 理解二次函数与一元二次方程的内在联系，利用图象求方程近似解。 教学策略分析 （为什么学、学什么、怎么学） 为什么学：函数与方程是初中数学的核心内容，两者之间有着密切的联系。理解二次函数与一元二次方程的关系，能帮助我们更好地认识函数的本质，也为解决实际问题提供了新的思路。 学什么：抛物线与x轴交点和方程根的关系、判别式Δ与交点个数的三种情况、利用图象求方程近似解。 怎么学：采用“观察图象—提出问题—探究关系—归纳结论—应用拓展”的教学思路。通过让学生观察具体的抛物线与x轴的交点，引导他们发现交点横坐标与方程根的对应关系，再通过分类讨论归纳出判别式与交点个数的三种情况。 教学过程 教学环节 学习任务设计 师生活动 评价要点 设计意图 新知导入 复习回顾 创设情境 复习引入 师：我们已经学过一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0），它的根的情况由什么决定？ 生：由判别式Δ=b²-4ac决定。 师：很好。Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；Δ=0时，方程有两个相等的实数根；Δ<0时，方程没有实数根。 师：那如果我们从函数的角度来看，y=ax²+bx+c这个二次函数，当y=0时，它就变成了什么？ 生：变成了一元二次方程ax²+bx+c=0。 师：对。那抛物线y=ax²+bx+c与x轴的交点，和这个一元二次方程的根有什么关系呢？这就是我们今天要学习的内容。 学生能回忆起一元二次方程根的判别式及其三种情况。 学生能想到当y=0时二次函数就变成了一元二次方程。 通过复习一元二次方程的判别式，为学习新课做好铺垫。 通过创设问题情境，引导学生思考函数与方程的联系，激发探究欲望。 概念探究 探究二次函数与一元二次方程的关系 探究1：观察具体例子 师：我们来看一个具体的例子：二次函数y=x²-4x+3的图象。 师：请大家观察这个抛物线与x轴有几个交点？交点坐标是什么？ 生：有两个交点，分别是(1, 0)和(3, 0)。 师：那当x=1和x=3时，y的值是多少？ 生：y=0。 师：也就是说，当x=1和x=3时，x²-4x+3=0。 师：那x=1和x=3是不是方程x²-4x+3=0的根？ 生：是。 师：对。所以抛物线与x轴交点的横坐标，就是当y=0时一元二次方程的根。 （教师展示二次函数与一元二次方程关系的示意图。） 探究2：分类讨论三种情况 师：我们再来看三个不同的二次函数，看看它们的图象与x轴的交点情况。 （1）y = x² - 2x - 3：Δ = (-2)² - 4×1×(-3) = 16 > 0，抛物线与x轴有两个交点。 （2）y = x² - 2x + 1：Δ = (-2)² - 4×1×1 = 0，抛物线与x轴有一个交点（顶点在x轴上）。 （3）y = x² - 2x + 2：Δ = (-2)² - 4×1×2 = -4 < 0，抛物线与x轴没有交点。 师：大家发现了什么规律？ 生：判别式Δ的值决定了抛物线与x轴交点的个数。 师：很好。我们总结一下： （1）当Δ = b² - 4ac > 0时，抛物线与x轴有两个交点，方程有两个不相等的实数根； （2）当Δ = b² - 4ac = 0时，抛物线与x轴有一个交点，方程有两个相等的实数根； （3）当Δ = b² - 4ac < 0时，抛物线与x轴没有交点，方程没有实数根。 （教师展示三种情况的对比图。） 探究3：利用图象求方程近似解 师：我们已经知道，抛物线与x轴交点的横坐标就是方程的根。那如果方程的根不是整数，我们怎么求呢？ 生：可以通过观察抛物线与x轴的交点位置来估算。 师：对。比如求方程x²-2x-2=0的近似解。 师：我们先画出y=x²-2x-2的图象，找到它与x轴的交点。 师：从图象上可以看到，一个交点在-1和0之间，另一个交点在2和3之间。 师：如果我们取更精确的值，可以估算出x₁≈-0.7，x₂≈2.7。 师：这种方法就是利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。 （教师展示求近似解的示意图。） 学生能说出抛物线与x轴交点的横坐标就是对应方程的根。 学生能根据Δ的三种情况判断交点个数，反之亦然。 学生能利用图象估算方程的近似解。 通过观察具体例子，让学生直观感受函数与方程的联系，培养几何直观。 通过分类讨论三种情况，让学生经历从特殊到一般的探究过程，培养推理能力。 通过利用图象求近似解，让学生体会数形结合的思想，发展运算能力。 课堂练习 知识巩固 辨析应用 练习1：判断下列抛物线与x轴的交点个数： （1）y = x² - 6x + 9 （2）y = 2x² + 3x + 1 （3）y = -x² + x - 1 参考答案： （1）Δ=36-36=0，一个交点； （2）Δ=9-8=1>0，两个交点； （3）Δ=1-4=-3<0，没有交点。 练习2：已知抛物线y = x² - 2x + k与x轴有两个交点，求k的取值范围。 参考答案： Δ = 4 - 4k > 0，所以k < 1。 练习3：利用图象估计方程x² - 3x + 1 = 0的根的大致范围。 参考答案： 一个根在0和1之间，另一个根在2和3之间。 学生能根据判别式判断抛物线与x轴的交点个数。 学生能根据交点个数反求参数的取值范围。 学生能利用图象估算方程根的大致范围。 通过基础练习题，巩固判别式与交点个数的关系。 通过辨析题，加深学生对函数与方程关系的理解。 通过综合应用题，培养学生的运算能力和数形结合思想。 反思总结 学生为主体发言总结 师：通过本节课的学习，你有哪些收获？ 生1：我知道了抛物线与x轴交点的横坐标就是对应方程的根。 生2：我记住了判别式Δ的三种情况对应的交点个数。 生3：我学会了利用图象求方程的近似解。 生4：我体会到了数形结合的数学思想。 师：本节课你还有哪些疑惑？ 生：怎么更精确地估算方程的近似解？ 师：这个问题我们可以通过不断缩小范围来逼近真实值，大家课后可以多做练习。 学生能主动归纳本节课所学的主要内容，形成知识体系。 学生能提出自己的疑惑和问题，养成反思的习惯。 通过学生自主总结，梳理本节课的知识脉络，加深对函数与方程关系的理解。 通过提出疑惑，激发学生进一步学习的兴趣。 板书设计 26.3 二次函数与一元二次方程 1. 关系： 抛物线y=ax²+bx+c与x轴交点的横坐标 就是方程ax²+bx+c=0的根 2. 判别式Δ与交点个数： Δ > 0：两个交点，两个不相等的实根 Δ = 0：一个交点，两个相等的实根 Δ < 0：没有交点，没有实根 3. 利用图象求近似解： 画抛物线→找与x轴交点→估算横坐标 提纲挈领，重点突出，便于学生梳理知识体系。 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $