26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 教学设计 2026—2027学年人教版九年级数学上册 学科 数学 年级 九年级 课题 26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 课时 1课时 教材 人教版九年级上册 课型 新授课 一、素养目标 目标维度 具体目标 会用数学的眼光观察现实世界 （几何直观、抽象能力） 1. 能观察二次函数图象与x轴的交点，发展几何直观。 2. 能发现二次函数与一元二次方程的关系，发展抽象能力。 会用数学的思维思考现实世界 （推理能力、运算能力） 1. 能通过二次函数图象判断一元二次方程根的情况，发展推理能力。 2. 能利用二次函数求一元二次方程的近似根，发展运算能力。 会用数学的语言表达现实世界 （符号意识、模型观念） 1. 能用符号表示二次函数与一元二次方程的关系。 2. 能运用数形结合的思想解决问题，发展模型观念。 二、教学重难点 【教学重点】 1. 二次函数与一元二次方程的关系； 2. 二次函数图象与x轴交点个数与一元二次方程根的关系。 【教学难点】 1. 理解二次函数与一元二次方程的内在联系； 2. 利用二次函数图象求一元二次方程的近似根。 三、教学准备 1. 教师准备：多媒体课件、坐标系挂图。 2. 学生准备：复习二次函数的图象和性质。 四、教学过程 （一）复习导入（约5分钟） 【教师活动】 1. 提问：二次函数y = ax² + bx + c（a≠0）的图象是什么？它与x轴的交点怎么求？ 2. 提问：一元二次方程ax² + bx + c = 0（a≠0）的根的情况怎么判断？ 3. 引入：二次函数与一元二次方程之间有什么关系呢？今天我们就来研究这个问题。 【学生活动】 1. 回答问题：二次函数的图象是抛物线。 2. 令y = 0，解一元二次方程ax² + bx + c = 0，得到的根就是与x轴交点的横坐标。 3. 回答问题：判别式Δ = b² - 4ac。 当Δ > 0时，方程有两个不相等的实数根； 当Δ = 0时，方程有两个相等的实数根； 当Δ < 0时，方程没有实数根。 【设计意图】 复习二次函数与一元二次方程的相关知识，为学习它们之间的关系做铺垫。 （二）新知探究（约22分钟） 探究1：二次函数与x轴交点与一元二次方程根的关系 【教师活动】 1. 探究：求二次函数y = x² - 2x - 3的图象与x轴的交点。 2. 分析解答： 令y = 0，得 x² - 2x - 3 = 0； 解方程：(x - 3)(x + 1) = 0； 得 x₁ = 3，x₂ = -1。 所以，图象与x轴的交点是(3, 0)和(-1, 0)。 3. 归纳： 二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴的交点的横坐标，就是一元二次方程ax² + bx + c = 0的根。 【学生活动】 1. 探究二次函数与x轴交点的求法。 2. 理解交点与方程根的关系。 【设计意图】 通过具体例子，让学生理解二次函数与一元二次方程的关系。 探究2：交点个数与根的个数的关系 【教师活动】 1. 探究：二次函数y = x² - 2x + 1的图象与x轴有几个交点？ 2. 分析： 令y = 0，得 x² - 2x + 1 = 0； 解得 x₁ = x₂ = 1。 所以，图象与x轴有一个交点(1, 0)。 3. 探究：二次函数y = x² - 2x + 2的图象与x轴有几个交点？ 4. 分析： 令y = 0，得 x² - 2x + 2 = 0； Δ = (-2)² - 4×1×2 = 4 - 8 = -4 < 0； 方程没有实数根。 所以，图象与x轴没有交点。 5. 归纳： 二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴的交点个数： （1）当Δ = b² - 4ac > 0时，有两个交点； （2）当Δ = b² - 4ac = 0时，有一个交点（顶点）； （3）当Δ = b² - 4ac < 0时，没有交点。 【学生活动】 1. 探究交点个数与根的个数的关系。 2. 理解判别式的意义。 【设计意图】 通过探究，让学生理解交点个数与判别式的关系。 探究3：利用二次函数图象求一元二次方程的近似根 【教师活动】 1. 例题：利用二次函数y = x² - 2x - 2的图象，求一元二次方程x² - 2x - 2 = 0的近似根。 2. 分析解答： （1）画出二次函数y = x² - 2x - 2的图象； （2）观察图象与x轴的交点； （3）从图象可以看出，交点的横坐标大约是-0.7和2.7。 所以，方程x² - 2x - 2 = 0的近似根是x₁ ≈ -0.7，x₂ ≈ 2.7。 3. 方法总结： 利用二次函数图象求一元二次方程近似根的步骤： （1）画出二次函数的图象； （2）观察图象与x轴的交点； （3）估计交点的横坐标，就是方程的近似根。 【学生活动】 1. 学习利用图象求近似根的方法。 2. 体会数形结合的思想。 【设计意图】 通过例题，让学习利用二次函数图象求一元二次方程的近似根。 （三）巩固练习（约10分钟） 【练习1】二次函数y = x² - 4x + 3的图象与x轴有几个交点？ 答案： Δ = (-4)² - 4×1×3 = 16 - 12 = 4 > 0； 所以，图象与x轴有两个交点。 【练习2】已知二次函数y = x² + bx + c的图象与x轴只有一个交点(2, 0)，求b、c的值。 答案： 因为图象与x轴只有一个交点，所以方程x² + bx + c = 0有两个相等的实数根x = 2； 由韦达定理：-b = 2 + 2 = 4，所以 b = -4； c = 2×2 = 4。 所以，b = -4，c = 4。 【练习3】利用二次函数y = x² - x - 1的图象，求方程x² - x - 1 = 0的近似根。 答案： 画出图象后，观察与x轴的交点，大约是-0.6和1.6。 所以，方程的近似根是x₁ ≈ -0.6，x₂ ≈ 1.6。 【设计意图】 通过练习巩固二次函数与一元二次方程的关系。 （四）课堂小结（约3分钟） 1. 关系： 二次函数y = ax² + bx + c的图象与x轴交点的横坐标，就是一元二次方程ax² + bx + c = 0的根。 2. 交点个数： Δ > 0：两个交点；Δ = 0：一个交点；Δ < 0：没有交点。 3. 方法： 利用图象求方程的近似根。 （五）布置作业（约2分钟） 1. 教材课后习题第1、2题； 2. 思考：二次函数与x轴的交点坐标怎么求？ 五、板书设计 26.3 第1课时 二次函数与一元二次方程 一、关系 交点横坐标 = 方程的根 二、交点个数 Δ > 0：两个交点 Δ = 0：一个交点 Δ < 0：没有交点 三、求近似根 画图象→找交点→估横坐标 六、教学反思 本节课通过探究，让学生理解了二次函数与一元二次方程的关系。 成功之处： 1. 数形结合，直观易懂； 2. 探究过程清晰； 3. 重点突出。 不足之处： 1. 部分学生对判别式的应用还不熟练； 2. 利用图象求近似根的精度还不够。 改进措施： 1. 加强判别式的应用训练； 2. 增加画图象的练习。 学科网（北京）股份有限公司 $